cho : ab=-2 a^3b^2+2a-a^2b^3-2b=36 tính: a^2+b^2

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\): Ta có \(ab = -2\). 2. Thay vào phương trình đã cho: \(a^3b^2 + 2a - a^2b^3 - 2b = 36\). 3. Rút gọn phương trình: Ta nhận thấy rằng \(a^3b^2\) và \(a^2b^3\) đều có thể viết lại dưới dạng \(a^2b^2 \cdot a\) và \(a^2b^2 \cdot b\): \[ a^3b^2 + 2a - a^2b^3 - 2b = a^2b^2(a - b) + 2(a - b) = (a^2b^2 + 2)(a - b) \] Vì \(ab = -2\), nên \(a^2b^2 = (-2)^2 = 4\). Do đó: \[ (4 + 2)(a - b) = 6(a - b) = 36 \] Từ đây, ta có: \[ a - b = 6 \] 4. Giải hệ phương trình: Ta có hai phương trình: \[ ab = -2 \] \[ a - b = 6 \] Ta sẽ giải hệ phương trình này bằng cách thay \(b\) từ phương trình thứ hai vào phương trình thứ nhất: \[ b = a - 6 \] Thay vào phương trình \(ab = -2\): \[ a(a - 6) = -2 \] \[ a^2 - 6a + 2 = 0 \] 5. Giải phương trình bậc hai: Phương trình \(a^2 - 6a + 2 = 0\) có thể giải bằng cách sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương hoặc phân tích thành nhân tử. Ta sẽ sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương: \[ a^2 - 6a + 9 - 9 + 2 = 0 \] \[ (a - 3)^2 - 7 = 0 \] \[ (a - 3)^2 = 7 \] \[ a - 3 = \pm \sqrt{7} \] \[ a = 3 + \sqrt{7} \quad \text{hoặc} \quad a = 3 - \sqrt{7} \] - Nếu \(a = 3 + \sqrt{7}\), thì \(b = a - 6 = 3 + \sqrt{7} - 6 = -3 + \sqrt{7}\). - Nếu \(a = 3 - \sqrt{7}\), thì \(b = a - 6 = 3 - \sqrt{7} - 6 = -3 - \sqrt{7}\). 6. Tính \(a^2 + b^2\): Ta tính \(a^2 + b^2\) cho cả hai trường hợp: - Trường hợp 1: \(a = 3 + \sqrt{7}\) và \(b = -3 + \sqrt{7}\): \[ a^2 + b^2 = (3 + \sqrt{7})^2 + (-3 + \sqrt{7})^2 \] \[ = (9 + 6\sqrt{7} + 7) + (9 - 6\sqrt{7} + 7) \] \[ = 9 + 7 + 9 + 7 = 32 \] - Trường hợp 2: \(a = 3 - \sqrt{7}\) và \(b = -3 - \sqrt{7}\): \[ a^2 + b^2 = (3 - \sqrt{7})^2 + (-3 - \sqrt{7})^2 \] \[ = (9 - 6\sqrt{7} + 7) + (9 + 6\sqrt{7} + 7) \] \[ = 9 + 7 + 9 + 7 = 32 \] Vậy, giá trị của \(a^2 + b^2\) là 32. Đáp số: \(a^2 + b^2 = 32\).