cho hình bình hành abcd tia phân giác góc a cắt cạnh bd tại h tia phân giác góc b cắt cạnh ac tại k chứng ming hk//bc

Để chứng minh HK // BC, ta sẽ sử dụng tính chất của hình bình hành và các tia phân giác. 1. Tính chất của hình bình hành: - Trong hình bình hành ABCD, ta có AB // CD và AD // BC. - Các đường chéo AC và BD cắt nhau tại điểm O và chia đôi nhau. 2. Tia phân giác góc A và góc B: - Tia phân giác góc A cắt cạnh BD tại H. - Tia phân giác góc B cắt cạnh AC tại K. 3. Xét tam giác ABD: - Vì AH là tia phân giác của góc DAB, nên ta có: \[ \angle DAH = \angle HAB \] - Vì BK là tia phân giác của góc ABC, nên ta có: \[ \angle ABK = \angle KBC \] 4. Xét tam giác AOB: - Vì O là giao điểm của các đường chéo AC và BD, nên ta có: \[ AO = OC \quad \text{và} \quad BO = OD \] 5. Xét tam giác AOH và tam giác BOK: - Ta thấy rằng: \[ \angle OAH = \angle OBK \quad (\text{vì } \angle DAB = \angle ABC) \] - Do đó, tam giác AOH và tam giác BOK có: \[ \angle OAH = \angle OBK \quad \text{và} \quad \angle AOH = \angle BOK \] - Điều này cho thấy tam giác AOH và tam giác BOK đồng dạng theo trường hợp góc - góc (g-g). 6. Từ tính đồng dạng của tam giác AOH và BOK: - Ta có: \[ \frac{AO}{BO} = \frac{OH}{OK} \] - Điều này cho thấy OH và OK là các đoạn thẳng tỉ lệ với AO và BO. 7. Xét tam giác AOD và tam giác BOC: - Vì AO = OC và BO = OD, nên tam giác AOD và tam giác BOC cũng đồng dạng theo trường hợp cạnh - góc - cạnh (c-g-c). 8. Từ tính đồng dạng của tam giác AOD và BOC: - Ta có: \[ \frac{AD}{BC} = \frac{OD}{OC} \] - Điều này cho thấy AD và BC là các đoạn thẳng tỉ lệ với OD và OC. 9. Kết luận: - Vì tam giác AOH và BOK đồng dạng, và tam giác AOD và BOC đồng dạng, nên ta có: \[ \frac{OH}{OK} = \frac{AD}{BC} \] - Điều này cho thấy OH và OK là các đoạn thẳng tỉ lệ với AD và BC. 10. Áp dụng định lý Thales: - Theo định lý Thales, nếu hai đường thẳng cắt ba đường thẳng song song thì các đoạn thẳng trên mỗi đường thẳng tỉ lệ với nhau. - Do đó, ta có: \[ HK // BC \] Vậy ta đã chứng minh được HK // BC.