tìm gtnn của biểu thức A = (x mũ 2 + 5x + 6)(x - 1)(x + 6) + 2057

Question

tìm gtnn của biểu thức  A = (x mũ 2 + 5x + 6)(x - 1)(x + 6) + 2057

lê anh thái · Accepted Answer

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
A=\left( x^{2} +5x+6 ight)( x-1)( x+6) +2057\
A=\left( x^{2} +5x+6 ight)\left( x^{2} +5x-6 ight) +2057\
A=\left( x^{2} +5x ight)^{2} -36+2057\
A=\left( x^{2} +5x ight)^{2} +2021
\end{array}$
Ta có: $\displaystyle \left( x^{2} +5x ight)^{2} \geqslant 0$
$\displaystyle \Rightarrow \left( x^{2} +5x ight)^{2} +2021\geqslant 2021$
Dấu "=" xảy ra khi $\displaystyle x^{2} +5x=0\Leftrightarrow x=0,\ x=-5$
Vậy GTNN của A là 2021 khi $\displaystyle x=0,\ x=-5$

Timi · Answer

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A = (x^2 + 5x + 6)(x - 1)(x + 6) + 2057 $, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ)
- Biểu thức $ A $ không chứa phân thức hoặc căn thức nên ĐKXĐ là $ x $ thuộc tập số thực.

Bước 2: Rút gọn biểu thức
- Ta thấy rằng $ x^2 + 5x + 6 $ có thể phân tích thành nhân tử:
$$ x^2 + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3) $$

Do đó, biểu thức $ A $ trở thành:
$$ A = (x + 2)(x + 3)(x - 1)(x + 6) + 2057 $$

Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
- Để tìm giá trị nhỏ nhất của $ A $, ta cần xem xét biểu thức $ (x + 2)(x + 3)(x - 1)(x + 6) $.

Ta nhận thấy rằng $ (x + 2)(x + 3)(x - 1)(x + 6) $ là một đa thức bậc 4. Để tìm giá trị nhỏ nhất của nó, ta có thể sử dụng phương pháp biến đổi biểu thức.

- Ta nhóm lại các cặp nhân tử:
$$ (x + 2)(x + 6) = x^2 + 8x + 12 $$
$$ (x + 3)(x - 1) = x^2 + 2x - 3 $$

Do đó, biểu thức $ A $ trở thành:
$$ A = (x^2 + 8x + 12)(x^2 + 2x - 3) + 2057 $$

Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ (x^2 + 8x + 12)(x^2 + 2x - 3) $
- Ta nhận thấy rằng $ x^2 + 8x + 12 $ và $ x^2 + 2x - 3 $ đều là các đa thức bậc 2. Để tìm giá trị nhỏ nhất của tích của chúng, ta cần xem xét các giá trị của $ x $ làm cho các đa thức này nhỏ nhất.

- Ta thấy rằng $ x^2 + 8x + 12 $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ x = -4 $:
$$ x^2 + 8x + 12 = (-4)^2 + 8(-4) + 12 = 16 - 32 + 12 = -4 $$

- Ta cũng thấy rằng $ x^2 + 2x - 3 $ đạt giá trị nhỏ nhất khi $ x = -1 $:
$$ x^2 + 2x - 3 = (-1)^2 + 2(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4 $$

Tuy nhiên, để tìm giá trị nhỏ nhất của tích của chúng, ta cần xem xét các giá trị của $ x $ làm cho cả hai đa thức cùng đạt giá trị nhỏ nhất. Ta thấy rằng khi $ x = -4 $ và $ x = -1 $, cả hai đa thức đều đạt giá trị nhỏ nhất là $-4$.

Do đó, giá trị nhỏ nhất của $ (x^2 + 8x + 12)(x^2 + 2x - 3) $ là:
$$ (-4)(-4) = 16 $$

Bước 5: Kết luận giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $
- Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $ là:
$$ A = 16 + 2057 = 2073 $$

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $ là 2073, đạt được khi $ x = -4 $ hoặc $ x = -1 $.

Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $ A $ là 2073, đạt được khi $ x = -4 $ hoặc $ x = -1 $.

Cardpupppp · Answer

A=(x^2 + 5x + 6)(x-1)(x+6)+2057
A=(x^2 +5x + 6)(x^2 + 5x - 6)+2057
Đặt x^2 + 5x = u
Khi đó, ta có:
A= (u+6)(u-6)+2057
A=u^2 - 36+2057
A=u^2 + 2021
Vì u^2 >= 0
Nên u^2 + 2021 >= 2021
Hay A >= 2021

Dấu bằng xảy ra khi:
u=0
Hay
X^2 + 5x =0
x(x+5)=0
TH1. x=0
TH2. x+5=0
x=-5
Vậy GTNN A là 2021 khi x=0 hoặc x=-5