Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg . Sau ngày đầu , trước mỗi lần uống , hàn lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5% . Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài?

Question

Bạch Dương · Accepted Answer

Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày đầu tiên là 150 mg .
Sau ngày đầu, trước mỗi lần uống, hàm lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn $5 \%$.
Do đó, lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ hai là

$
150+150.5 \%=150(1+0,05)
$
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ ba là

$
150+150(1+0,05) \cdot 5 \%=150+150\left(0,05+0,05^2 ight)=150\left(1+0,05+0,05^2 ight)
$
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ tư là

$
150+150\left(1+0,05+0,05^2 ight) \cdot 5 \%=150\left(1+0,05+0,05^2+0,05^3 ight)
$
Lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân sau khi uống viên thuốc của ngày thứ năm là

$
\begin{aligned}
& 150+150\left(1+0,05+0,05^2+0,05^3 ight) \cdot 5 \%=150\left(1+0,05+0,05^2+0,05^3+0,05^4 ight) \
& =157,8946875(\mathrm{mg}) .
\end{aligned}
$
Cứ tiếp tục như vậy, ta ước tính lượng thuốc trong cơ thể bệnh nhân nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là

$
S=150\left(1+0,05+0,05^2+0,05^3+0,05^4+\ldots ight)(\mathrm{mg})
$
Lại có $1+0,05+0,05^2+0,05^3+0,05^4+\ldots$ là tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1=1$ và công bội $q$ $=0,05$.
Do đó, $1+0,05+0,05^2+0,05^3+0,05^4+\ldots=\frac{u_1}{1-q}=\frac{1}{1-0,05}=\frac{20}{19}$.
Suy ra $S=150 \cdot \frac{20}{19}=\frac{400}{361}(\mathrm{mg})$.

Timi · Answer

Sau ngày thứ nhất, lượng thuốc còn lại trong cơ thể bệnh nhân là:
$$ 150 \times 0.05 = 7.5 \text{ mg} $$

Ngày thứ hai, bệnh nhân uống thêm một viên thuốc 150 mg nữa, nhưng trước đó lượng thuốc còn lại trong cơ thể là 7.5 mg. Vậy tổng lượng thuốc trong cơ thể trước khi uống viên thuốc mới là:
$$ 7.5 + 150 = 157.5 \text{ mg} $$

Sau khi uống viên thuốc mới, lượng thuốc còn lại trong cơ thể bệnh nhân là:
$$ 157.5 \times 0.05 = 7.875 \text{ mg} $$

Ngày thứ ba, bệnh nhân uống thêm một viên thuốc 150 mg nữa, nhưng trước đó lượng thuốc còn lại trong cơ thể là 7.875 mg. Vậy tổng lượng thuốc trong cơ thể trước khi uống viên thuốc mới là:
$$ 7.875 + 150 = 157.875 \text{ mg} $$

Sau khi uống viên thuốc mới, lượng thuốc còn lại trong cơ thể bệnh nhân là:
$$ 157.875 \times 0.05 = 7.89375 \text{ mg} $$

Ta thấy rằng, sau mỗi ngày, lượng thuốc còn lại trong cơ thể bệnh nhân sẽ tiếp tục tăng dần và tiến đến một giới hạn nhất định. Để ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài, ta có thể xem xét giới hạn của dãy số này.

Giả sử sau một thời gian dài, lượng thuốc còn lại trong cơ thể bệnh nhân là $ x $ mg. Trước khi uống viên thuốc mới, lượng thuốc còn lại trong cơ thể bệnh nhân là:
$$ x - 150 $$

Sau khi uống viên thuốc mới, lượng thuốc còn lại trong cơ thể bệnh nhân là:
$$ (x - 150) \times 0.05 + 150 = x $$

Bây giờ, ta giải phương trình này để tìm $ x $:
$$ (x - 150) \times 0.05 + 150 = x $$
$$ 0.05x - 7.5 + 150 = x $$
$$ 0.05x + 142.5 = x $$
$$ 142.5 = x - 0.05x $$
$$ 142.5 = 0.95x $$
$$ x = \frac{142.5}{0.95} $$
$$ x = 150 \text{ mg} $$

Vậy, ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc trong một thời gian dài là 150 mg.

Một bệnh nhân hàng ngày phải uống một viên thuốc 150mg . Sau ngày đầu , trước mỗi lần uống , hàn lượng thuốc cũ trong cơ thể vẫn còn 5% . Ước tính lượng thuốc trong cơ thể nếu bệnh nhân sử dụng thuốc t...