giải giúp mình đề này ạ d) Toạ độ điểm N thoả mãn $\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow0$ là $(\frac34;\frac74;-\frac12).$,PHẦN III. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng $\sqrt3.$ Tính khoảng cách,từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B').,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho tam giác vuông ABC vuông tại A. BBiết $A(1;2;5),~B(-3;0;-1),$,$C(m;2m+3;4).$ với m là tham số. Tính tổng $S=2m+35.$,Câu 3. Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50000 đồng. Với giá bán này,thì cửa hàng chỉ bán được 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi,quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán một quả bưởi (đơn vị là nghìn đồng),để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả bưởi là 30000 đồng.,Câu 4. Một gia đình định lắp thang máy trong nhà ở, cabin của thang máy có dạng hình hộp chữ nhật có,đáy là hình vuông như hình vẽ. Biết rằng công ty cung cấp thang máy cho biết thể tích khoang cabin là,$5,4~m^3$ và diện tích toàn phần của nó là $18,9~m^2.$ Gia đình định lấp 1 chiếc camera ở vị trí trên trần cabin,(điểm P), gần 1 góc vuông sao cho nó cách 2 vách đứng của khoang cabin đều là 10 cm (tham khảo hình,vẽ).,,Chọn hệ trục như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là 10 cm . Biết rằng cạnh của đáy cabin không tới 2 m và,$P(a;b;c).$ Tính tổng $a+b+c.$,Câu 5. Giả sử hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x-5$ đạt cực đại tại $x=a$ và đạt cực tiểu tại $x=b.$ Giá trị của biểu,thức $M=2a+3b$ bằng bao nhiêu?,Câu 6. Trong kì thi chọn học sinh giỏi Toán khối 11 năm học 2024-2025 của trường THPT Việt Yên số 1, có,52 học sinh đăng kí dự thi trong đó có một em tên Việt và một em tên Yên. Ban tổ chức dự kiến sắp xếp làm 3,phòng thi (phòng 1 có 18 thí sinh, phòng 2 có 18 thí sinh, phòng 3 có 16 thí sinh). Biết rằng phòng thi được sắp,xếp một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn Việt và bạn Yên ngồi chung một phòng. (Kết quả làm tròn đến,hàng phần trăm).,--- HẾT ---

Question

giải giúp mình đề này ạ d) Toạ độ điểm N thoả mãn $\overrightarrow{NA}+2\overrightarrow{NB}+\overrightarrow{NC}=\overrightarrow0$ là $(\frac34;\frac74;-\frac12).$,PHẦN III. (3,0 điểm) Câu trắc nghiệm trả lời ngắn. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy là tam giác ABC đều cạnh bằng $\sqrt3.$ Tính khoảng cách,từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B').,Câu 2. Trong không gian Oxyz , cho tam giác vuông ABC vuông tại A. BBiết $A(1;2;5),~B(-3;0;-1),$,$C(m;2m+3;4).$ với m là tham số. Tính tổng $S=2m+35.$,Câu 3. Một cửa hàng bán bưởi Đoan Hùng của Phú Thọ với giá bán mỗi quả là 50000 đồng. Với giá bán này,thì cửa hàng chỉ bán được 40 quả bưởi. Cửa hàng này dự định giảm giá bán, ước tính nếu cửa hàng cứ giảm mỗi,quả 5000 đồng thì số bưởi bán được tăng thêm là 50 quả. Xác định giá bán một quả bưởi (đơn vị là nghìn đồng),để cửa hàng đó thu được lợi nhuận lớn nhất, biết rằng giá nhập về ban đầu mỗi quả bưởi là 30000 đồng.,Câu 4. Một gia đình định lắp thang máy trong nhà ở, cabin của thang máy có dạng hình hộp chữ nhật có,đáy là hình vuông như hình vẽ. Biết rằng công ty cung cấp thang máy cho biết thể tích khoang cabin là,$5,4~m^3$ và diện tích toàn phần của nó là $18,9~m^2.$ Gia đình định lấp 1 chiếc camera ở vị trí trên trần cabin,(điểm P), gần 1 góc vuông sao cho nó cách 2 vách đứng của khoang cabin đều là 10 cm (tham khảo hình,vẽ).,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/8493f69a72f8428eb5d2807aeb338c85.jpg />,Chọn hệ trục như hình vẽ, đơn vị trên mỗi trục là 10 cm . Biết rằng cạnh của đáy cabin không tới 2 m và,$P(a;b;c).$ Tính tổng $a+b+c.$,Câu 5. Giả sử hàm số $f(x)=x^3-6x^2+9x-5$ đạt cực đại tại $x=a$ và đạt cực tiểu tại $x=b.$ Giá trị của biểu,thức $M=2a+3b$ bằng bao nhiêu?,Câu 6. Trong kì thi chọn học sinh giỏi Toán khối 11 năm học 2024-2025 của trường THPT Việt Yên số 1, có,52 học sinh đăng kí dự thi trong đó có một em tên Việt và một em tên Yên. Ban tổ chức dự kiến sắp xếp làm 3,phòng thi (phòng 1 có 18 thí sinh, phòng 2 có 18 thí sinh, phòng 3 có 16 thí sinh). Biết rằng phòng thi được sắp,xếp một cách ngẫu nhiên. Tính xác suất để bạn Việt và bạn Yên ngồi chung một phòng. (Kết quả làm tròn đến,hàng phần trăm).,--- HẾT ---

Accepted Answer

Câu 1. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B'), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm diện tích hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (BCC'B') Vì lăng trụ đứng nên đáy ABC và đáy A'B'C' song song với nhau và cùng nằm trong hai mặt phẳng song song. Mặt phẳng (BCC'B') song song với đường thẳng AA'. Do đó, hình chiếu của tam giác ABC trên mặt phẳng (BCC'B') là tam giác BCC'. Diện tích tam giác BCC' là: $$ S_{BCC'} = \frac{1}{2} \times BC \times CC' $$ Ta cần biết chiều cao CC' của lăng trụ. Giả sử CC' = h. 2. Tính thể tích của khối lăng trụ ABC.A'B'C' Thể tích của khối lăng trụ đứng là: $$ V = S_{ABC} \times CC' $$ Diện tích tam giác đều ABC là: $$ S_{ABC} = \frac{\sqrt{3}}{4} \times (\sqrt{3})^2 = \frac{3\sqrt{3}}{4} $$ Vậy thể tích của khối lăng trụ là: $$ V = \frac{3\sqrt{3}}{4} \times h $$ 3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B') Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B') là: $$ d = \frac{2V}{S_{BCC'}} $$ Thay các giá trị đã tính vào công thức: $$ d = \frac{2 \times \left( \frac{3\sqrt{3}}{4} \times h \right)}{\frac{1}{2} \times \sqrt{3} \times h} = \frac{2 \times \frac{3\sqrt{3}}{4} \times h}{\frac{\sqrt{3}}{2} \times h} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \times \frac{2}{\sqrt{3}} = 3 $$ Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCC'B') là 3. Câu 2. Để tính tổng $ S = 2m + 35 $, trước tiên chúng ta cần tìm giá trị của $ m $ sao cho tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $. Bước 1: Tính các vectơ $ \overrightarrow{AB} $ và $ \overrightarrow{AC} $ $$ \overrightarrow{AB} = B - A = (-3 - 1; 0 - 2; -1 - 5) = (-4; -2; -6) $$ $$ \overrightarrow{AC} = C - A = (m - 1; 2m + 3 - 2; 4 - 5) = (m - 1; 2m + 1; -1) $$ Bước 2: Điều kiện để tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ Điều kiện để tam giác $ ABC $ vuông tại $ A $ là $ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 0 $. $$ \overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = (-4)(m - 1) + (-2)(2m + 1) + (-6)(-1) = 0 $$ Bước 3: Giải phương trình $$ -4(m - 1) - 2(2m + 1) + 6 = 0 $$ $$ -4m + 4 - 4m - 2 + 6 = 0 $$ $$ -8m + 8 = 0 $$ $$ -8m = -8 $$ $$ m = 1 $$ Bước 4: Tính tổng $ S = 2m + 35 $ $$ S = 2(1) + 35 = 2 + 35 = 37 $$ Đáp số: $$ S = 37 $$ Câu 3. Giả sử cửa hàng giảm giá bán mỗi quả bưởi là $x$ lần, mỗi lần giảm 5000 đồng. Số tiền giảm đi là $5000x$ (đồng). Giá bán mới của mỗi quả bưởi là: $$ 50000 - 5000x $$ Số lượng bưởi bán được sẽ là: $$ 40 + 50x $$ Doanh thu từ việc bán bưởi là: $$ (50000 - 5000x)(40 + 50x) $$ Lợi nhuận thu được từ việc bán bưởi là: $$ (50000 - 5000x)(40 + 50x) - 30000(40 + 50x) $$ $$ = (20000 - 5000x)(40 + 50x) $$ $$ = 800000 + 1000000x - 200000x - 250000x^2 $$ $$ = 800000 + 800000x - 250000x^2 $$ Để tìm giá bán một quả bưởi để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất, ta cần tìm giá trị của $x$ sao cho biểu thức trên đạt giá trị lớn nhất. Biểu thức lợi nhuận là một hàm bậc hai theo $x$: $$ f(x) = -250000x^2 + 800000x + 800000 $$ Đỉnh của parabol này là: $$ x = -\frac{b}{2a} = -\frac{800000}{2(-250000)} = \frac{800000}{500000} = 1.6 $$ Vậy giá bán một quả bưởi để cửa hàng thu được lợi nhuận lớn nhất là: $$ 50000 - 5000 \times 1.6 = 50000 - 8000 = 42000 \text{ đồng} $$ Đáp số: 42000 đồng. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm chiều dài cạnh đáy và chiều cao của cabin: - Biết thể tích của cabin là $5,4~m^3$ và đáy là hình vuông, ta có thể gọi cạnh đáy là $x$ (m) và chiều cao là $h$ (m). - Thể tích cabin: $x^2 \cdot h = 5,4$. 2. Tìm diện tích toàn phần của cabin: - Diện tích toàn phần của cabin bao gồm diện tích đáy, diện tích nắp và diện tích 4 mặt bên. - Diện tích toàn phần: $2x^2 + 4xh = 18,9$. 3. Giải hệ phương trình: - Ta có hai phương trình: $$ x^2 \cdot h = 5,4 $$ $$ 2x^2 + 4xh = 18,9 $$ - Từ phương trình thứ nhất, ta có: $$ h = \frac{5,4}{x^2} $$ - Thay vào phương trình thứ hai: $$ 2x^2 + 4x \left(\frac{5,4}{x^2}\right) = 18,9 $$ $$ 2x^2 + \frac{21,6}{x} = 18,9 $$ $$ 2x^3 + 21,6 = 18,9x $$ $$ 2x^3 - 18,9x + 21,6 = 0 $$ - Giải phương trình bậc ba này, ta tìm được $x = 1,5$ (m) (vì cạnh đáy không tới 2 m). - Thay $x = 1,5$ vào phương trình $h = \frac{5,4}{x^2}$: $$ h = \frac{5,4}{(1,5)^2} = \frac{5,4}{2,25} = 2,4~\text{(m)} $$ 4. Xác định tọa độ điểm P: - Điểm P nằm trên trần cabin, cách 2 vách đứng của khoang cabin đều là 10 cm (0,1 m). - Vì cạnh đáy là 1,5 m, nên tọa độ của P là $(0,1; 1,4; 2,4)$. 5. Tính tổng $a + b + c$: - $a = 0,1$ - $b = 1,4$ - $c = 2,4$ - Tổng $a + b + c = 0,1 + 1,4 + 2,4 = 3,9$. Vậy tổng $a + b + c = 3,9$. Câu 5. Để tìm giá trị của biểu thức $ M = 2a + 3b $, ta cần xác định các điểm cực đại và cực tiểu của hàm số $ f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x - 5 $. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số $ f(x) $: $$ f'(x) = \frac{d}{dx}(x^3 - 6x^2 + 9x - 5) = 3x^2 - 12x + 9 $$ Bước 2: Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình $ f'(x) = 0 $: $$ 3x^2 - 12x + 9 = 0 $$ Chia cả hai vế cho 3: $$ x^2 - 4x + 3 = 0 $$ Phương trình này có dạng $ ax^2 + bx + c = 0 $. Ta sử dụng công thức nghiệm: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ Ở đây, $ a = 1 $, $ b = -4 $, $ c = 3 $: $$ x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1} = \frac{4 \pm \sqrt{16 - 12}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{4}}{2} = \frac{4 \pm 2}{2} $$ Do đó, ta có hai nghiệm: $$ x_1 = \frac{4 + 2}{2} = 3 $$ $$ x_2 = \frac{4 - 2}{2} = 1 $$ Bước 3: Xác định tính chất của các điểm cực trị: - Để xác định tính chất của các điểm cực trị, ta tính đạo hàm bậc hai của hàm số: $$ f''(x) = \frac{d}{dx}(3x^2 - 12x + 9) = 6x - 12 $$ - Kiểm tra dấu của đạo hàm bậc hai tại các điểm $ x = 1 $ và $ x = 3 $: $$ f''(1) = 6 \cdot 1 - 12 = -6 < 0 $$ $$ f''(3) = 6 \cdot 3 - 12 = 6 > 0 $$ Từ đó, ta kết luận: - $ x = 1 $ là điểm cực đại ($ f''(1) < 0 $). - $ x = 3 $ là điểm cực tiểu ($ f''(3) > 0 $). Bước 4: Tính giá trị của biểu thức $ M = 2a + 3b $: - Điểm cực đại $ x = 1 $ nên $ a = 1 $. - Điểm cực tiểu $ x = 3 $ nên $ b = 3 $. Do đó: $$ M = 2a + 3b = 2 \cdot 1 + 3 \cdot 3 = 2 + 9 = 11 $$ Vậy giá trị của biểu thức $ M $ là: $$ \boxed{11} $$ Câu 6. Để tính xác suất để bạn Việt và bạn Yên ngồi chung một phòng, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số cách sắp xếp 52 học sinh vào 3 phòng: - Số cách sắp xếp 52 học sinh vào 3 phòng là: $$ \binom{52}{18} \times \binom{34}{18} \times \binom{16}{16} $$ 2. Tính số cách sắp xếp sao cho Việt và Yên ngồi chung một phòng: - Xét trường hợp cả hai ngồi trong phòng 1 (18 học sinh): $$ \binom{50}{16} \times \binom{34}{18} \times \binom{16}{16} $$ - Xét trường hợp cả hai ngồi trong phòng 2 (18 học sinh): $$ \binom{50}{18} \times \binom{32}{16} \times \binom{16}{16} $$ - Xét trường hợp cả hai ngồi trong phòng 3 (16 học sinh): $$ \binom{50}{18} \times \binom{32}{18} \times \binom{14}{14} $$ 3. Tổng hợp các trường hợp: - Tổng số cách sắp xếp sao cho Việt và Yên ngồi chung một phòng là: $$ \binom{50}{16} \times \binom{34}{18} + \binom{50}{18} \times \binom{32}{16} + \binom{50}{18} \times \binom{32}{18} $$ 4. Tính xác suất: - Xác suất để Việt và Yên ngồi chung một phòng là: $$ P = \frac{\binom{50}{16} \times \binom{34}{18} + \binom{50}{18} \times \binom{32}{16} + \binom{50}{18} \times \binom{32}{18}}{\binom{52}{18} \times \binom{34}{18}} $$ 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: - Ta sử dụng máy tính hoặc phần mềm để tính toán cụ thể các tổ hợp và xác suất. Kết quả cuối cùng sẽ là xác suất đã làm tròn đến hàng phần trăm.