Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là chữ nhật, tam giác $S A C$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $(A B C D), S A=a, S C=a \sqrt{3}$ và số đo $\alpha$ của góc nhị diện $[S, A D, B]$ thỏa mãn $ an \alpha=\frac{4 \sqrt{15}}{5}$. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $3 \overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I C}+4 \overrightarrow{I S}=\overrightarrow{0}$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A I$ và lần lượt cắt các tia $S B, S C, S D$ tại ba điểm phân biệt $M, N, P$. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp $S \cdot M N P$ (làm tròn đến hàng đơn vị và lấy $a=15$ ).

Question

Cho hình chóp $S . A B C D$ có đáy $A B C D$ là chữ nhật, tam giác $S A C$ vuông tại $S$ và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy $(A B C D), S A=a, S C=a \sqrt{3}$ và số đo $\alpha$ của góc nhị diện $[S, A D, B]$ thỏa mãn $	an \alpha=\frac{4 \sqrt{15}}{5}$. Gọi $I$ là điểm thỏa mãn $3 \overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I C}+4 \overrightarrow{I S}=\overrightarrow{0}$. Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua $A I$ và lần lượt cắt các tia $S B, S C, S D$ tại ba điểm phân biệt $M, N, P$. Tính giá trị nhỏ nhất của thể tích khối chóp $S \cdot M N P$ (làm tròn đến hàng đơn vị và lấy $a=15$ ).

Accepted Answer

Gọi $H$ là hình chiếu của $S$ trên $A C \Rightarrow A C=2 a, S H=\frac{a \sqrt{3}}{2}, A H=\frac{a}{2}$.
Mà $(S A C) \perp(A B C D) \Rightarrow S H \perp(A B C D) \Rightarrow S H \perp A D$.
Dựng $H K \perp A D, K \in A D \Rightarrow S K \perp A D$.
$\Rightarrow \widetilde{S K H}$ là góc phẳng nhị diện $[S, A D, B] \Rightarrow an \overline{S K} \bar{H}=\frac{4 \sqrt{15}}{5}$.
+) $S H \perp(A B C D) \Rightarrow S H \perp H K$.
$\Rightarrow \frac{S H}{K H}=\frac{4 \sqrt{15}}{5} \Rightarrow K H=\frac{a \sqrt{5}}{8}$.
$\Rightarrow D C=\frac{A C}{A H} \cdot K H=\frac{a \sqrt{5}}{2} \Rightarrow A D=\frac{a \sqrt{11}}{2}$.
$V_{S . A B C D}=\frac{1}{3} S H \cdot S_{A B C D}=\frac{1}{3} \cdot \frac{a \sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{5}}{2} \cdot \frac{a \sqrt{11}}{2}=\frac{a^3 \sqrt{165}}{24}$.
Gọi $N$ là điềm thỏa mãn $\overrightarrow{N C}+2 \overrightarrow{N S}=\overrightarrow{0}$.
Vi $3 \overrightarrow{I A}+2 \overrightarrow{I C}+4 \overrightarrow{I S}=\overrightarrow{0} \Rightarrow 3 \overrightarrow{I A}+6 \overrightarrow{I N}=\overrightarrow{0}$.

$\Rightarrow N=S C \cap A I \Rightarrow N=S C \cap(\alpha) ext { và } \frac{S N}{S C}=\frac{1}{3}$
\begin{aligned}
& ext { Đặt } \frac{S M}{S B}=x, \frac{S N}{S D}=y(x, y>0) . \
& \frac{V_{S . M N P}}{V_{S . B C D}}=\frac{x y}{3} \Rightarrow V_{S . M N P}=\frac{x y}{3} V_{S . B C D} \
& ext { Ta có } \quad \frac{V_{S . A . N V}}{2 V_{S . A B C}}+\frac{V_{S . A N P}}{2 V_{S . A C D}}=\frac{V_{S . A M P}}{2 V_{S . A B D}}+\frac{V_{S . M N P}}{2 V_{S . B C D}} \
& \Leftrightarrow x \cdot \frac{1}{3}+\frac{1}{3} \cdot y=x y+x \cdot \frac{1}{3} \cdot y \Leftrightarrow \frac{1}{x}+\frac{1}{y}=4 . \
& \Rightarrow 4=\frac{1}{x}+\frac{1}{y} \geq \frac{1}{x y} \Rightarrow x y \geq \frac{1}{4} \
& \Rightarrow V_{S . M N P}=\frac{x y}{3} V_{S . B C D} \geq \frac{1}{12} \frac{a^3 \sqrt{165}}{48}=\frac{a^3 \sqrt{165}}{576} \
& ext { Dấu " }= ext { " xảy ra khi } \frac{1}{x}=\frac{1}{y}=2 \Leftrightarrow x=y=\frac{1}{2} .
\end{aligned}

Suy ra khối chóp $S \cdot M N P$ có thể tích nhỏ nhất là $V_{\min }=\frac{a^3 \sqrt{165}}{576}$. Khi $a=15 \Rightarrow V_{\min } \approx 33,5$.

Cho hình chóp có đáy là chữ nhật, tam giác vuông tại và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy và số đo của góc nhị diện...