Giải chi tiết ạ

Câu 1. Để giải quyết các khẳng định về hàm số $y=\frac{x^2+4x+4}{x+1}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Kiểm tra đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: \[ y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 1} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương hai hàm số: \[ y' = \frac{(x^2 + 4x + 4)'(x + 1) - (x^2 + 4x + 4)(x + 1)'}{(x + 1)^2} \] Tính đạo hàm của tử số và mẫu số: \[ (x^2 + 4x + 4)' = 2x + 4 \] \[ (x + 1)' = 1 \] Thay vào công thức: \[ y' = \frac{(2x + 4)(x + 1) - (x^2 + 4x + 4)}{(x + 1)^2} \] Rút gọn biểu thức: \[ y' = \frac{2x^2 + 2x + 4x + 4 - x^2 - 4x - 4}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2x}{(x + 1)^2} \] \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] Như vậy, khẳng định a) là sai vì đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \] b) Kiểm tra dấu của đạo hàm trong khoảng (-2; 0) Ta xét dấu của đạo hàm \( y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} \) trên khoảng (-2; 0). - Khi \( x \in (-2; -1) \): - \( x < 0 \) - \( x + 2 > 0 \) - \( x + 1 < 0 \) - Do đó, \( y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} < 0 \) - Khi \( x \in (-1; 0) \): - \( x < 0 \) - \( x + 2 > 0 \) - \( x + 1 > 0 \) - Do đó, \( y' = \frac{x(x + 2)}{(x + 1)^2} < 0 \) Như vậy, khẳng định b) là sai vì \( y' < 0 \) khi \( x \in (-2; 0) \). c) Kiểm tra bảng biến thiên Bảng biến thiên của hàm số \( y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 1} \): - Khi \( x \to -1^- \), \( y \to -\infty \) - Khi \( x \to -1^+ \), \( y \to +\infty \) - Khi \( x \to -\infty \), \( y \to -\infty \) - Khi \( x \to +\infty \), \( y \to +\infty \) Điểm cực tiểu xảy ra tại \( x = -2 \): \[ y(-2) = \frac{(-2)^2 + 4(-2) + 4}{-2 + 1} = \frac{4 - 8 + 4}{-1} = 0 \] Điểm cực đại xảy ra tại \( x = 0 \): \[ y(0) = \frac{0^2 + 4(0) + 4}{0 + 1} = 4 \] Bảng biến thiên đúng là: | \( x \) | \( -\infty \) | \( -2 \) | \( -1 \) | \( 0 \) | \( +\infty \) | |---------|---------------|----------|----------|--------|---------------| | \( y' \)| \( - \) | \( 0 \) | \( DNE \) | \( 0 \) | \( + \) | | \( y \) | \( -\infty \) | \( 0 \) | \( DNE \) | \( 4 \) | \( +\infty \) | Như vậy, khẳng định c) là đúng. d) Kiểm tra đồ thị Đồ thị của hàm số \( y = \frac{x^2 + 4x + 4}{x + 1} \) có các đặc điểm sau: - Tiệm cận đứng: \( x = -1 \) - Tiệm cận斜渐近线：\( y = x + 3 \) - 极小值点在 \( x = -2 \)，\( y = 0 \) - 极大值点在 \( x = 0 \)，\( y = 4 \) 因此，断言d）是正确的。 综上所述： a) 错误 b) 错误 c) 正确 d) 正确