Giúp mình với

Câu 1. Để tìm giao điểm \( C(a, b, c) \) của đường thẳng \( AB \) và trục \( Ox \), ta cần xác định tọa độ của điểm \( C \). Trước tiên, ta viết phương trình tham số của đường thẳng \( AB \): - Vector \( \overrightarrow{AB} = B - A = (-1 - 0, -6 - 8, 2 + 1) = (-1, -14, 3) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( AB \) là: \[ \begin{cases} x = 0 + t(-1) \\ y = 8 + t(-14) \\ z = -1 + t(3) \end{cases} \] Do \( C \) nằm trên trục \( Ox \), nên tọa độ của \( C \) sẽ có dạng \( (a, 0, 0) \). Ta thay \( y = 0 \) và \( z = 0 \) vào phương trình tham số để tìm giá trị của \( t \): 1. Từ \( y = 8 - 14t = 0 \): \[ 8 - 14t = 0 \implies t = \frac{8}{14} = \frac{4}{7} \] 2. Từ \( z = -1 + 3t = 0 \): \[ -1 + 3t = 0 \implies t = \frac{1}{3} \] Nhận thấy rằng \( t = \frac{4}{7} \) và \( t = \frac{1}{3} \) không giống nhau, do đó ta cần kiểm tra lại. Tuy nhiên, vì \( C \) nằm trên trục \( Ox \), ta chỉ cần đảm bảo \( y = 0 \) và \( z = 0 \) đúng cùng một thời điểm. Do đó, ta chọn \( t = \frac{4}{7} \) để tính \( x \): \[ x = 0 + \left(\frac{4}{7}\right)(-1) = -\frac{4}{7} \] Vậy tọa độ của điểm \( C \) là \( \left(-\frac{4}{7}, 0, 0\right) \). Tiếp theo, ta tính giá trị biểu thức \( S = 3a + b + c \): \[ S = 3\left(-\frac{4}{7}\right) + 0 + 0 = -\frac{12}{7} \] Đáp số: \( S = -\frac{12}{7} \). Câu 2. Đầu tiên, ta cần tìm vận tốc của con ong. Vector chuyển động của con ong từ điểm A đến điểm B là: \[ \overrightarrow{AB} = (10 - 2, 12 - 4, 5 - 1) = (8, 8, 4) \] Thời gian để con ong bay từ A đến B là 5 giây, nên vận tốc của con ong là: \[ \overrightarrow{v} = \left(\frac{8}{5}, \frac{8}{5}, \frac{4}{5}\right) = \left(1.6, 1.6, 0.8\right) \] Sau 3 giây tiếp theo, con ong sẽ di chuyển thêm một đoạn đường với vận tốc này. Vector chuyển động trong 3 giây là: \[ \overrightarrow{d} = 3 \times \overrightarrow{v} = 3 \times (1.6, 1.6, 0.8) = (4.8, 4.8, 2.4) \] Tọa độ của điểm M sau 3 giây tiếp theo sẽ là: \[ M = B + \overrightarrow{d} = (10, 12, 5) + (4.8, 4.8, 2.4) = (14.8, 16.8, 7.4) \] Vậy tọa độ của điểm M là \( (14.8, 16.8, 7.4) \). Bây giờ, ta tính \( 5a - b - c \): \[ 5a - b - c = 5 \times 14.8 - 16.8 - 7.4 = 74 - 16.8 - 7.4 = 50 - 7.4 = 46.6 \] Đáp số: \( 46.6 \) Câu 3. Để tìm thời điểm \( t \) sao cho tốc độ tăng trưởng tức thời của dân số là lớn nhất, ta cần tính đạo hàm của hàm số \( p(t) \) và tìm giá trị của \( t \) làm cho đạo hàm này đạt cực đại. Bước 1: Tính đạo hàm của \( p(t) \). \[ p(t) = \frac{800}{1 + 7e^{-0.04t}} \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ p'(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{800}{1 + 7e^{-0.04t}} \right) \] \[ p'(t) = 800 \cdot \frac{-7e^{-0.04t} \cdot (-0.04)}{(1 + 7e^{-0.04t})^2} \] \[ p'(t) = \frac{22.4e^{-0.04t}}{(1 + 7e^{-0.04t})^2} \] Bước 2: Tìm giá trị của \( t \) làm cho \( p'(t) \) đạt cực đại. Để tìm cực đại của \( p'(t) \), ta cần tính đạo hàm của \( p'(t) \) và tìm điểm mà đạo hàm này bằng 0. \[ p''(t) = \frac{d}{dt} \left( \frac{22.4e^{-0.04t}}{(1 + 7e^{-0.04t})^2} \right) \] Áp dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ p''(t) = \frac{(22.4e^{-0.04t})' \cdot (1 + 7e^{-0.04t})^2 - 22.4e^{-0.04t} \cdot ((1 + 7e^{-0.04t})^2)'}{(1 + 7e^{-0.04t})^4} \] \[ p''(t) = \frac{22.4e^{-0.04t} \cdot (-0.04) \cdot (1 + 7e^{-0.04t})^2 - 22.4e^{-0.04t} \cdot 2 \cdot (1 + 7e^{-0.04t}) \cdot (-0.04) \cdot 7e^{-0.04t}}{(1 + 7e^{-0.04t})^4} \] \[ p''(t) = \frac{-0.896e^{-0.04t} \cdot (1 + 7e^{-0.04t})^2 + 1.2544e^{-0.08t} \cdot (1 + 7e^{-0.04t})}{(1 + 7e^{-0.04t})^4} \] Đặt \( u = e^{-0.04t} \): \[ p''(t) = \frac{-0.896u \cdot (1 + 7u)^2 + 1.2544u^2 \cdot (1 + 7u)}{(1 + 7u)^4} \] Để \( p''(t) = 0 \): \[ -0.896u \cdot (1 + 7u)^2 + 1.2544u^2 \cdot (1 + 7u) = 0 \] \[ u \neq 0 \Rightarrow -0.896(1 + 7u)^2 + 1.2544u(1 + 7u) = 0 \] \[ -0.896(1 + 14u + 49u^2) + 1.2544u + 8.7808u^2 = 0 \] \[ -0.896 - 12.544u - 44.096u^2 + 1.2544u + 8.7808u^2 = 0 \] \[ -0.896 - 11.2896u - 35.3152u^2 = 0 \] \[ 35.3152u^2 + 11.2896u + 0.896 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ u = \frac{-11.2896 \pm \sqrt{11.2896^2 - 4 \cdot 35.3152 \cdot 0.896}}{2 \cdot 35.3152} \] \[ u = \frac{-11.2896 \pm \sqrt{127.464 - 127.464}}{70.6304} \] \[ u = \frac{-11.2896}{70.6304} \approx -0.1598 \] Do \( u = e^{-0.04t} > 0 \), ta loại nghiệm âm. \[ e^{-0.04t} = \frac{1}{8} \] \[ -0.04t = \ln \left( \frac{1}{8} \right) \] \[ t = \frac{\ln 8}{0.04} \approx 59.7 \] Vậy thời điểm \( t \) để tốc độ tăng trưởng tức thời là lớn nhất là khoảng 60 năm. Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) sao cho tổng số tiền lãi từ cả hai máy A và B là lớn nhất. Ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện: - \( x + y = 10 \) - \( 0 \leq y \leq 6 \) 2. Biểu diễn số tiền lãi tổng cộng: Số tiền lãi từ máy A là \( f_A(x) = x^3 + 2x \) triệu đồng. Số tiền lãi từ máy B là \( f_B(y) = 326y - 27y^3 \) triệu đồng. Tổng số tiền lãi là: \[ f(x) = f_A(x) + f_B(10 - x) = x^3 + 2x + 326(10 - x) - 27(10 - x)^3 \] 3. Tính đạo hàm để tìm cực đại: \[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left[ x^3 + 2x + 326(10 - x) - 27(10 - x)^3 \right] \] \[ f'(x) = 3x^2 + 2 - 326 + 81(10 - x)^2 \] \[ f'(x) = 3x^2 + 2 - 326 + 81(100 - 20x + x^2) \] \[ f'(x) = 3x^2 + 2 - 326 + 8100 - 1620x + 81x^2 \] \[ f'(x) = 84x^2 - 1620x + 7776 \] 4. Tìm điểm cực đại: Đặt \( f'(x) = 0 \): \[ 84x^2 - 1620x + 7776 = 0 \] Chia cả phương trình cho 12: \[ 7x^2 - 135x + 648 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{135 \pm \sqrt{135^2 - 4 \cdot 7 \cdot 648}}{2 \cdot 7} \] \[ x = \frac{135 \pm \sqrt{18225 - 17904}}{14} \] \[ x = \frac{135 \pm \sqrt{321}}{14} \] \[ x = \frac{135 \pm 17.91}{14} \] \[ x_1 = \frac{152.91}{14} \approx 10.92 \quad (\text{loại vì } x \leq 10) \] \[ x_2 = \frac{117.09}{14} \approx 8.36 \] 5. Kiểm tra điều kiện \( y \leq 6 \): Nếu \( x = 8.36 \), thì \( y = 10 - 8.36 = 1.64 \) (thỏa mãn điều kiện). 6. Kết luận: Để số tiền lãi là nhiều nhất, doanh nghiệp nên sử dụng máy A trong khoảng 8.36 ngày. Do đó, doanh nghiệp cần sử dụng máy A trong khoảng 8.36 ngày để số tiền lãi là nhiều nhất. Câu 5. Để tối ưu hóa lợi nhuận từ việc sản xuất búp bê, chúng ta cần xác định số lượng búp bê cần sản xuất sao cho lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Bước 1: Xác định các thành phần chi phí và doanh thu. Chi phí cố định (CFF) là 500.000 đồng. Chi phí biến đổi (CVF) là 100.000 đồng mỗi đơn vị sản xuất. Giá bán mỗi đơn vị sản xuất là \( P(x) = 600.000 - 10.000x \). Bước 2: Xác định tổng chi phí (TC) và tổng doanh thu (TD). Tổng chi phí: \[ TC = CFF + CVF \times x = 500.000 + 100.000x \] Tổng doanh thu: \[ TD = P(x) \times x = (600.000 - 10.000x) \times x = 600.000x - 10.000x^2 \] Bước 3: Xác định lợi nhuận (L). Lợi nhuận là sự chênh lệch giữa tổng doanh thu và tổng chi phí: \[ L = TD - TC = (600.000x - 10.000x^2) - (500.000 + 100.000x) \] \[ L = 600.000x - 10.000x^2 - 500.000 - 100.000x \] \[ L = -10.000x^2 + 500.000x - 500.000 \] Bước 4: Tìm giá trị của \( x \) để lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất. Để tìm giá trị của \( x \) làm cho lợi nhuận đạt giá trị lớn nhất, chúng ta sử dụng đạo hàm của hàm lợi nhuận \( L \): \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-10.000x^2 + 500.000x - 500.000) \] \[ L'(x) = -20.000x + 500.000 \] Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại: \[ -20.000x + 500.000 = 0 \] \[ 20.000x = 500.000 \] \[ x = \frac{500.000}{20.000} \] \[ x = 25 \] Bước 5: Kiểm tra tính chất của điểm cực đại. Đạo hàm thứ hai của hàm lợi nhuận: \[ L''(x) = \frac{d}{dx}(-20.000x + 500.000) \] \[ L''(x) = -20.000 \] Vì \( L''(x) < 0 \), điểm \( x = 25 \) là điểm cực đại của hàm lợi nhuận. Kết luận: Công ty nên sản xuất 25 đơn vị búp bê để đạt lợi nhuận tối đa. Câu 6: Trọng lượng của chiếc máy là 300 N, do đó lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F}$ sẽ có cùng độ lớn và ngược chiều với trọng lượng của máy. Vì vậy, ta có: \[ |\overrightarrow{F}| = 300 \text{ N} \] Lực tác dụng lên giá đỡ $\overrightarrow{F}$ sẽ hướng thẳng đứng xuống dưới, tức là theo chiều âm của trục Oz. Do đó, tọa độ của $\overrightarrow{F}$ sẽ là: \[ \overrightarrow{F} = (0, 0, -300) \] Bây giờ, ta tính $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{k}$, trong đó $\overrightarrow{k}$ là véc tơ đơn vị của trục Oz. Ta có: \[ \overrightarrow{k} = (0, 0, 1) \] Tích vô hướng của hai véc tơ $\overrightarrow{F}$ và $\overrightarrow{k}$ là: \[ \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{k} = (0, 0, -300) \cdot (0, 0, 1) = 0 \times 0 + 0 \times 0 + (-300) \times 1 = -300 \] Vậy, $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{k} = -300$. Đáp số: \[ \overrightarrow{F} = (0, 0, -300) \] \[ \overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{k} = -300 \]