Giup voi a

Câu 12. Để tìm khoảng từ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số ngày: Tổng số ngày = 6 + s + 4 + 2 = 12 + s 2. Xác định phân vị: Ta cần tìm phân vị 0.75 của mẫu số liệu. Số thứ tự của phân vị này là: \[ i = 0.75 \times (12 + s) \] 3. Xác định nhóm chứa phân vị: - Nhóm $(2,7; 3,0)$ có 6 ngày. - Nhóm $[3,0; 3,3)$ có s ngày. - Nhóm $(3,3; 3,6)$ có 4 ngày. - Nhóm $(3,6; 3,9)$ có 2 ngày. Để xác định nhóm chứa phân vị, ta so sánh giá trị của \(i\) với tổng số ngày của các nhóm: - Nếu \(i \leq 6\), phân vị nằm trong nhóm $(2,7; 3,0)$. - Nếu \(6 < i \leq 6 + s\), phân vị nằm trong nhóm $[3,0; 3,3)$. - Nếu \(6 + s < i \leq 6 + s + 4\), phân vị nằm trong nhóm $(3,3; 3,6)$. - Nếu \(6 + s + 4 < i \leq 12 + s\), phân vị nằm trong nhóm $(3,6; 3,9)$. 4. Xác định giá trị của \(i\): \[ i = 0.75 \times (12 + s) \] Ta thấy rằng \(i\) sẽ nằm trong khoảng từ 9 đến 12 + s, do đó phân vị 0.75 sẽ nằm trong nhóm $(3,3; 3,6)$. 5. Kết luận: Khoảng từ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $(3,3; 3,6)$. Do đó, đáp án đúng là: C. $(3,3; 3,6)$ Câu 13: Câu hỏi: Cho hàm số $y = f(x) = x^2 - 3x$ a) Tìm tập xác định của hàm số. b) Tìm đạo hàm của hàm số. c) Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số. d) Vẽ đồ thị của hàm số. Câu trả lời: a) Tập xác định của hàm số là $\mathbb{R}$. b) Đạo hàm của hàm số: \[ f'(x) = 2x - 3 \] c) Xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến của hàm số: - Để xác định các khoảng đồng biến và nghịch biến, ta giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ f'(x) = 2x - 3 = 0 \] \[ 2x = 3 \] \[ x = \frac{3}{2} \] - Ta xét dấu của đạo hàm $f'(x)$ trên các khoảng $( -\infty, \frac{3}{2})$ và $(\frac{3}{2}, +\infty)$: - Khi $x < \frac{3}{2}$, ta có $f'(x) < 0$, do đó hàm số nghịch biến trên khoảng $( -\infty, \frac{3}{2})$. - Khi $x > \frac{3}{2}$, ta có $f'(x) > 0$, do đó hàm số đồng biến trên khoảng $(\frac{3}{2}, +\infty)$. d) Vẽ đồ thị của hàm số: - Điểm cực tiểu của hàm số là $(\frac{3}{2}, f(\frac{3}{2}))$. Ta tính giá trị của hàm số tại điểm này: \[ f\left( \frac{3}{2} \right) = \left( \frac{3}{2} \right)^2 - 3 \left( \frac{3}{2} \right) = \frac{9}{4} - \frac{9}{2} = \frac{9}{4} - \frac{18}{4} = -\frac{9}{4} \] Do đó, điểm cực tiểu là $\left( \frac{3}{2}, -\frac{9}{4} \right)$. - Đồ thị của hàm số $y = x^2 - 3x$ là một parabol mở rộng lên trên, với đỉnh là điểm cực tiểu $\left( \frac{3}{2}, -\frac{9}{4} \right)$. Đồ thị của hàm số như sau: | | | | | | | | | ----------------------> x -1 3 Đáp số: a) Tập xác định: $\mathbb{R}$ b) Đạo hàm: $f'(x) = 2x - 3$ c) Khoảng nghịch biến: $(-\infty, \frac{3}{2})$ Khoảng đồng biến: $(\frac{3}{2}, +\infty)$ d) Đồ thị của hàm số như trên. Câu 14. Trước tiên, ta xác định tọa độ các điểm trong hình lập phương ABCD.A'B'C'D': - A(0, 0, 0) - B(1, 0, 0) - C(1, 1, 0) - D(0, 1, 0) - A'(0, 0, 1) - B'(1, 0, 1) - C'(1, 1, 1) - D'(0, 1, 1) M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, BC, C'D': - M là trung điểm của AB: M = $\left(\frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 0, 0\right)$ - N là trung điểm của BC: N = $\left(\frac{1+1}{2}, \frac{0+1}{2}, \frac{0+0}{2}\right) = \left(1, \frac{1}{2}, 0\right)$ - P là trung điểm của C'D': P = $\left(\frac{1+0}{2}, \frac{1+1}{2}, \frac{1+1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, 1, 1\right)$ a) Vectơ $\overline{MN}$ có tọa độ là: $\overline{MN} = N - M = \left(1 - \frac{1}{2}, \frac{1}{2} - 0, 0 - 0\right) = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ b) Tích vô hướng $\overline{MN} \cdot \overline{A'C}$: $\overline{A'C} = C - A' = (1 - 0, 1 - 0, 0 - 1) = (1, 1, -1)$ $\overline{MN} \cdot \overline{A'C} = \left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right) \cdot (1, 1, -1) = \frac{1}{2} \times 1 + \frac{1}{2} \times 1 + 0 \times (-1) = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$ c) Độ dài đoạn thẳng MN: $|\overline{MN}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2 + 0^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$ d) Diện tích tam giác MNP: Ta tính diện tích tam giác MNP bằng công thức diện tích tam giác khi biết tọa độ các đỉnh: $S_{MNP} = \frac{1}{2} |\overline{MN} \times \overline{MP}|$ $\overline{MP} = P - M = \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{2}, 1 - 0, 1 - 0\right) = (0, 1, 1)$ $\overline{MN} \times \overline{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i} \left(\frac{1}{2} \times 1 - 0 \times 1\right) - \mathbf{j} \left(\frac{1}{2} \times 1 - 0 \times 0\right) + \mathbf{k} \left(\frac{1}{2} \times 1 - \frac{1}{2} \times 0\right) = \mathbf{i} \left(\frac{1}{2}\right) - \mathbf{j} \left(\frac{1}{2}\right) + \mathbf{k} \left(\frac{1}{2}\right) = \left(\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)$ $|\overline{MN} \times \overline{MP}| = \sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2 + \left(-\frac{1}{2}\right)^2 + \left(\frac{1}{2}\right)^2} = \sqrt{\frac{1}{4} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \sqrt{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ $S_{MNP} = \frac{1}{2} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{4}$ Đáp số: a) Vectơ $\overline{MN}$ có tọa độ là $\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}, 0\right)$ b) Tích vô hướng $\overline{MN} \cdot \overline{A'C}$ bằng 1 c) Độ dài đoạn thẳng MN bằng $\frac{\sqrt{2}}{2}$ d) Diện tích tam giác MNP là $\frac{\sqrt{3}}{4}$ Câu 15. Để tìm vận tốc của chất điểm, ta cần tính đạo hàm của phương trình chuyển động \( x(t) \) theo thời gian \( t \). Phương trình chuyển động của chất điểm là: \[ x(t) = -t^2 + 18t^2 + t - 3 \] Đầu tiên, ta đơn giản hóa phương trình này: \[ x(t) = 17t^2 + t - 3 \] Bây giờ, ta tính đạo hàm của \( x(t) \) để tìm vận tốc \( v(t) \): \[ v(t) = \frac{dx}{dt} = \frac{d}{dt}(17t^2 + t - 3) \] \[ v(t) = 34t + 1 \] Vậy vận tốc của chất điểm tại thời điểm \( t \) là: \[ v(t) = 34t + 1 \] Đáp số: Vận tốc của chất điểm là \( v(t) = 34t + 1 \).