Bất đẳng thức...

Điều kiện xác định: \( x > 0, y > 0, z > 0 \). Ta xét biểu thức: \[ \frac{xy}{xy + y^2 + zx} + \frac{yz}{yz + z^2 + xy} + \frac{zx}{zx + x^2 + yz} \] Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \left( \frac{xy}{xy + y^2 + zx} + \frac{yz}{yz + z^2 + xy} + \frac{zx}{zx + x^2 + yz} \right) \left( xy + y^2 + zx + yz + z^2 + xy + zx + x^2 + yz \right) \geq (xy + yz + zx)^2 \] Do đó: \[ \frac{xy}{xy + y^2 + zx} + \frac{yz}{yz + z^2 + xy} + \frac{zx}{zx + x^2 + yz} \geq \frac{(xy + yz + zx)^2}{2(xy + y^2 + zx + yz + z^2 + xy + zx + x^2 + yz)} \] Tuy nhiên, ta nhận thấy rằng: \[ \frac{xy}{xy + y^2 + zx} + \frac{yz}{yz + z^2 + xy} + \frac{zx}{zx + x^2 + yz} \leq 1 \] Vì vậy, để biểu thức trên bằng 1, ta cần: \[ \frac{xy}{xy + y^2 + zx} = \frac{yz}{yz + z^2 + xy} = \frac{zx}{zx + x^2 + yz} = \frac{1}{3} \] Điều này xảy ra khi \( x = y = z \). Tiếp theo, ta xét phương trình: \[ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{3}{y} + \frac{27}{z^2} = 1 \] Thay \( x = y = z \) vào phương trình trên: \[ \frac{1}{\sqrt{x}} + \frac{3}{x} + \frac{27}{x^2} = 1 \] Nhân cả hai vế với \( x^2 \): \[ x^{3/2} + 3x + 27 = x^2 \] Đặt \( t = \sqrt{x} \), ta có: \[ t^3 + 3t^2 + 27 = t^4 \] \[ t^4 - t^3 - 3t^2 - 27 = 0 \] Kiểm tra các giá trị \( t \): - \( t = 3 \): \[ 3^4 - 3^3 - 3 \cdot 3^2 - 27 = 81 - 27 - 27 - 27 = 0 \] Vậy \( t = 3 \) là nghiệm của phương trình, do đó \( x = 9 \). Kết luận: \[ x = y = z = 9 \] Đáp số: \( x = y = z = 9 \).