giải bài toán

Câu 1. Để tìm số mét vải lụa cần sản xuất mỗi ngày để lợi nhuận đạt tối đa, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định doanh thu và chi phí: - Doanh thu từ việc bán x mét vải lụa là: \[ R(x) = 220x \] - Chi phí sản xuất x mét vải lụa là: \[ C(x) = x^3 - 3x^2 - 20x + 500 \] 2. Xác định lợi nhuận: - Lợi nhuận \(L(x)\) khi bán x mét vải lụa là: \[ L(x) = R(x) - C(x) \] Thay các giá trị vào: \[ L(x) = 220x - (x^3 - 3x^2 - 20x + 500) \] \[ L(x) = 220x - x^3 + 3x^2 + 20x - 500 \] \[ L(x) = -x^3 + 3x^2 + 240x - 500 \] 3. Tìm giá trị cực đại của hàm lợi nhuận \(L(x)\): - Để tìm giá trị cực đại của \(L(x)\), ta tính đạo hàm của \(L(x)\): \[ L'(x) = \frac{d}{dx}(-x^3 + 3x^2 + 240x - 500) \] \[ L'(x) = -3x^2 + 6x + 240 \] - Đặt \(L'(x) = 0\) để tìm điểm cực trị: \[ -3x^2 + 6x + 240 = 0 \] Chia cả hai vế cho -3: \[ x^2 - 2x - 80 = 0 \] - Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = -2\), \(c = -80\): \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} \] \[ x = \frac{2 \pm 18}{2} \] \[ x = 10 \quad \text{hoặc} \quad x = -8 \] - Vì \(x\) là số lượng mét vải sản xuất mỗi ngày, nên ta loại bỏ giá trị âm: \[ x = 10 \] 4. Kiểm tra tính chất cực đại: - Tính đạo hàm thứ hai của \(L(x)\): \[ L''(x) = \frac{d}{dx}(-3x^2 + 6x + 240) \] \[ L''(x) = -6x + 6 \] - Thay \(x = 10\) vào \(L''(x)\): \[ L''(10) = -6(10) + 6 = -60 + 6 = -54 \] - Vì \(L''(10) < 0\), nên \(x = 10\) là điểm cực đại của \(L(x)\). Kết luận: Để lợi nhuận đạt tối đa, hộ làm nghề dệt vải lụa tơ tằm cần sản xuất 10 mét vải mỗi ngày. Câu 2. Để tìm đoạn đường ngắn nhất mà con tàu có thể đi từ đảo A đến bờ sông rồi sang đảo B, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp phản xạ điểm B qua bờ sông để tạo ra điểm B'. Sau đó, ta sẽ tìm khoảng cách ngắn nhất từ A đến B' và sau đó tính lại khoảng cách thực tế từ A đến bờ sông rồi sang B. Bước 1: Xác định tọa độ của các điểm: - Đảo A cách bờ sông 4 km. - Đảo B cách bờ sông 13 km. - Khoảng cách giữa A và B là 15 km. Bước 2: Phản xạ điểm B qua bờ sông để tạo ra điểm B': - Điểm B' sẽ nằm ở vị trí đối xứng với B qua bờ sông, do đó khoảng cách từ B' đến bờ sông cũng là 13 km. Bước 3: Tính khoảng cách từ A đến B': - Khoảng cách từ A đến bờ sông là 4 km. - Khoảng cách từ B' đến bờ sông là 13 km. - Khoảng cách giữa A và B là 15 km. Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính khoảng cách từ A đến B': \[ AB' = \sqrt{(15)^2 + (13 - 4)^2} = \sqrt{15^2 + 9^2} = \sqrt{225 + 81} = \sqrt{306} \] Bước 4: Tính khoảng cách thực tế từ A đến bờ sông rồi sang B: - Khoảng cách từ A đến bờ sông là 4 km. - Khoảng cách từ bờ sông đến B là 13 km. Do đó, tổng khoảng cách thực tế là: \[ 4 + 13 = 17 \text{ km} \] Tuy nhiên, ta cần kiểm tra xem liệu có đường đi nào ngắn hơn không. Ta thấy rằng đoạn đường ngắn nhất từ A đến B' đã được tính là $\sqrt{306}$, nhưng vì yêu cầu là số nguyên dương, ta cần làm tròn lên hoặc xuống. \[ \sqrt{306} \approx 17.5 \text{ km} \] Vậy đoạn đường ngắn nhất mà con tàu có thể đi là 17 km. Đáp số: 17 km. Câu 3. Để xác định cạnh của hình vuông bị cắt sao cho chiếc hộp có thể tích lớn nhất, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định biến và điều kiện: Gọi cạnh của hình vuông bị cắt là \( x \). Khi đó chiều dài và chiều rộng của tấm bìa sau khi cắt sẽ là: - Chiều dài mới: \( 29,5 - 2x \) - Chiều rộng mới: \( 21 - 2x \) 2. Biểu diễn thể tích của hộp: Thể tích \( V \) của hộp là: \[ V = x \times (29,5 - 2x) \times (21 - 2x) \] 3. Tìm điều kiện xác định: Để đảm bảo rằng các kích thước mới đều dương, ta có: \[ 29,5 - 2x > 0 \quad \text{và} \quad 21 - 2x > 0 \] Điều này dẫn đến: \[ x < 14,75 \quad \text{và} \quad x < 10,5 \] Vậy \( x \) phải thỏa mãn: \[ 0 < x < 10,5 \] 4. Tìm giá trị cực đại của thể tích: Ta sẽ tìm đạo hàm của \( V \) theo \( x \): \[ V = x(29,5 - 2x)(21 - 2x) \] Đặt \( f(x) = x(29,5 - 2x)(21 - 2x) \). Tính đạo hàm \( f'(x) \): \[ f'(x) = (29,5 - 2x)(21 - 2x) + x \left[ (29,5 - 2x)(-2) + (21 - 2x)(-2) \right] \] \[ f'(x) = (29,5 - 2x)(21 - 2x) - 4x(29,5 - 2x) - 4x(21 - 2x) \] \[ f'(x) = (29,5 - 2x)(21 - 2x) - 4x(29,5 - 2x + 21 - 2x) \] \[ f'(x) = (29,5 - 2x)(21 - 2x) - 4x(50,5 - 4x) \] \[ f'(x) = (29,5 - 2x)(21 - 2x) - 4x(50,5 - 4x) \] Đặt \( f'(x) = 0 \) để tìm điểm cực đại: \[ (29,5 - 2x)(21 - 2x) = 4x(50,5 - 4x) \] Giải phương trình này để tìm \( x \): \[ 620,5 - 100x + 4x^2 = 202x - 16x^2 \] \[ 20x^2 - 302x + 620,5 = 0 \] Áp dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \( a = 20 \), \( b = -302 \), \( c = 620,5 \): \[ x = \frac{302 \pm \sqrt{(-302)^2 - 4 \cdot 20 \cdot 620,5}}{2 \cdot 20} \] \[ x = \frac{302 \pm \sqrt{91204 - 49640}}{40} \] \[ x = \frac{302 \pm \sqrt{41564}}{40} \] \[ x = \frac{302 \pm 203,87}{40} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{302 + 203,87}{40} \approx 12,65 \] \[ x_2 = \frac{302 - 203,87}{40} \approx 2,45 \] Vì \( x \) phải thỏa mãn \( 0 < x < 10,5 \), nên ta chọn \( x = 2,45 \). 5. Kết luận: Cạnh của hình vuông bị cắt để thu được hộp có thể tích lớn nhất là \( x \approx 2,45 \) cm. Đáp số: \( x \approx 2,45 \) cm. Câu 4. Trọng lực tác dụng lên chậu cây có độ lớn 40 N và được phân bố thành bốn lực \( F_1, F_2, F_3, F_4 \) có độ lớn bằng nhau. Do đó, mỗi lực sẽ có độ lớn là: \[ F_1 = F_2 = F_3 = F_4 = \frac{40}{4} = 10 \text{ N} \] Vậy độ lớn lực \( F_1 \) là 10 N. Đáp số: 10 N.