sôss giải toán

Câu 2: Để tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lượng các giá trị trong mẫu số liệu: Tổng số cây dừa là: \[ 4 + 6 + 7 + 5 + 3 = 25 \] 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lượng giá trị là 25 (số lẻ), trung vị sẽ nằm ở vị trí thứ: \[ \frac{25 + 1}{2} = 13 \] Vậy trung vị nằm ở vị trí thứ 13. 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm [0;10) có 4 giá trị. - Nhóm [10;20) có 6 giá trị. - Nhóm [20;30) có 7 giá trị. Tính tổng số giá trị từ nhóm đầu tiên đến nhóm trước nhóm chứa trung vị: \[ 4 + 6 = 10 \] Do đó, trung vị nằm trong nhóm [20;30). 4. Áp dụng công thức tính trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm: Công thức trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm là: \[ M_e = x_l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l-1}}{f_i} \right) \times c \] Trong đó: - \(x_l\) là giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị. - \(n\) là tổng số giá trị trong mẫu. - \(F_{l-1}\) là tổng số giá trị của các nhóm trước nhóm chứa trung vị. - \(f_i\) là tần số của nhóm chứa trung vị. - \(c\) là khoảng rộng của nhóm chứa trung vị. Áp dụng vào bài toán: - \(x_l = 20\) - \(n = 25\) - \(F_{l-1} = 10\) - \(f_i = 7\) - \(c = 10\) Thay vào công thức: \[ M_e = 20 + \left( \frac{\frac{25}{2} - 10}{7} \right) \times 10 \] \[ M_e = 20 + \left( \frac{12.5 - 10}{7} \right) \times 10 \] \[ M_e = 20 + \left( \frac{2.5}{7} \right) \times 10 \] \[ M_e = 20 + \frac{25}{7} \] \[ M_e = \frac{140}{7} + \frac{25}{7} = \frac{165}{7} \] Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm này là: \[ M_e = \frac{165}{7} \] Đáp án đúng là: \(C.~M_e=\frac{165}{7}\). Câu 3: Để tìm nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta cần xác định nhóm có tần số lớn nhất. Ta có bảng phân bố tần số như sau: - Nhóm [0;10) có 4 cây. - Nhóm [10;20) có 6 cây. - Nhóm [20;30) có 7 cây. - Nhóm [30;40) có 5 cây. - Nhóm [40;50) có 3 cây. Nhóm có tần số lớn nhất là nhóm [20;30) với 7 cây. Vậy nhóm chứa mốt của mẫu số liệu ghép nhóm này là: \[ D.~[20;30). \] Câu 4: Để tìm thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của các em học sinh, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định trung điểm của mỗi khoảng thời gian: - Trung điểm của khoảng [4;8) là $\frac{4 + 8}{2} = 6$. - Trung điểm của khoảng [8;12) là $\frac{8 + 12}{2} = 10$. - Trung điểm của khoảng [12;16) là $\frac{12 + 16}{2} = 14$. - Trung điểm của khoảng [16;20) là $\frac{16 + 20}{2} = 18$. 2. Tính tổng thời gian của tất cả các học sinh: - Tổng thời gian của 2 học sinh trong khoảng [4;8) là $2 \times 6 = 12$. - Tổng thời gian của 4 học sinh trong khoảng [8;12) là $4 \times 10 = 40$. - Tổng thời gian của 7 học sinh trong khoảng [12;16) là $7 \times 14 = 98$. - Tổng thời gian của 4 học sinh trong khoảng [16;20) là $4 \times 18 = 72$. 3. Tính tổng số học sinh: - Tổng số học sinh là $2 + 4 + 7 + 4 + 3 = 20$. 4. Tính thời gian trung bình: - Thời gian trung bình là $\frac{12 + 40 + 98 + 72}{20} = \frac{222}{20} = 11,1$. Vậy thời gian trung bình để hoàn thành bài tập của các em học sinh là 11,1 phút. Do đó, đáp án đúng là B. 11,3. Câu 5. Để tính giá trị của $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{4n+1}{n+2}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Chia cả tử và mẫu cho n để đơn giản hóa biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4n+1}{n+2} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{\frac{4n}{n} + \frac{1}{n}}{\frac{n}{n} + \frac{2}{n}} = \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} \] Bước 2: Xét giới hạn của các phân số trong biểu thức khi \( n \rightarrow +\infty \): - \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{1}{n} = 0\) - \(\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{2}{n} = 0\) Bước 3: Thay các giới hạn này vào biểu thức: \[ \lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = \frac{4 + 0}{1 + 0} = \frac{4}{1} = 4 \] Vậy giá trị của $\lim_{n\rightarrow+\infty}\frac{4n+1}{n+2}$ là 4. Đáp án đúng là: B. 4. Câu 6. Để tìm giá trị của $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2n+1}{2-n}$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định dạng của giới hạn: $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2n+1}{2-n}$ có dạng $\frac{\infty}{-\infty}$. Bước 2: Chia cả tử và mẫu cho n: $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2n+1}{2-n} = \lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{2}{n} - 1}$ Bước 3: Tính giới hạn của các phân số trong biểu thức: - $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{1}{n} = 0$ - $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2}{n} = 0$ Bước 4: Thay các giới hạn đã tính vào biểu thức: $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2 + \frac{1}{n}}{\frac{2}{n} - 1} = \frac{2 + 0}{0 - 1} = \frac{2}{-1} = -2$ Vậy giá trị của $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{2n+1}{2-n}$ là -2. Đáp án đúng là: A. -2. Câu 7. Giá trị của $\lim_{x\rightarrow3}3$ bằng: Đáp án đúng là: A Giải thích: - Khi x tiến đến 3, giá trị của hằng số 3 không thay đổi. Do đó, $\lim_{x\rightarrow3}3 = 3$. Vậy đáp án đúng là A. Câu 8. Để tính giá trị của $\lim_{x\rightarrow3}(x+1)$, chúng ta sẽ thay giá trị giới hạn vào biểu thức. Bước 1: Thay \( x = 3 \) vào biểu thức \( x + 1 \). \[ \lim_{x\rightarrow3}(x+1) = 3 + 1 = 4 \] Vậy giá trị của $\lim_{x\rightarrow3}(x+1)$ là 4. Đáp án đúng là: C. 4. Câu 9. Để xác định hàm số nào liên tục trên $\mathbb R$, ta cần kiểm tra tính liên tục của từng hàm số. A. Hàm số $y = 10x + 3$: - Đây là hàm số bậc nhất, và tất cả các hàm số bậc nhất đều liên tục trên $\mathbb R$. Do đó, hàm số này liên tục trên $\mathbb R$. B. Hàm số $y = \frac{x+1}{x-2}$: - Hàm số này là hàm phân thức, và nó không liên tục tại điểm làm mẫu số bằng 0, tức là tại $x = 2$. Do đó, hàm số này không liên tục trên $\mathbb R$. C. Hàm số $y = \sqrt{x^2 - 2}$: - Hàm số này là hàm căn thức, và nó chỉ liên tục trên miền xác định của nó, tức là khi $x^2 - 2 \geq 0$. Điều này tương đương với $|x| \geq \sqrt{2}$. Do đó, hàm số này không liên tục trên toàn bộ $\mathbb R$. D. Hàm số $y = \cot x$: - Hàm số cotangent ($\cot x$) không liên tục tại các điểm mà $\sin x = 0$, tức là tại $x = k\pi$ với $k$ là số nguyên. Do đó, hàm số này không liên tục trên $\mathbb R$. Từ các phân tích trên, chỉ có hàm số $y = 10x + 3$ là liên tục trên $\mathbb R$. Vậy khẳng định đúng là: A. Hàm số $y = 10x + 3$ liên tục trên $\mathbb R$.