cho abc là các số nguyên dương thỏa mãn (a-b^2)/b=a(a-c^2) chứng minh b=c

Để chứng minh \( b = c \), ta sẽ bắt đầu từ phương trình đã cho và biến đổi nó theo từng bước. Phương trình ban đầu là: \[ \frac{a - b^2}{b} = a(a - c^2) \] Bước 1: Nhân cả hai vế với \( b \) để loại bỏ mẫu số: \[ a - b^2 = ab(a - c^2) \] Bước 2: Mở ngoặc ở vế phải: \[ a - b^2 = a^2b - ac^2b \] Bước 3: Chuyển tất cả các hạng tử sang một vế để nhóm lại: \[ a - b^2 - a^2b + ac^2b = 0 \] Bước 4: Nhóm các hạng tử liên quan đến \( a \): \[ a(1 - ab + c^2b) - b^2 = 0 \] Bước 5: Ta thấy rằng \( a \) là một số nguyên dương, do đó \( 1 - ab + c^2b \) phải bằng \( b \): \[ 1 - ab + c^2b = b \] Bước 6: Chuyển \( b \) sang vế trái: \[ 1 - ab + c^2b - b = 0 \] Bước 7: Nhóm các hạng tử liên quan đến \( b \): \[ 1 - b(a + 1 - c^2) = 0 \] Bước 8: Điều này dẫn đến: \[ 1 = b(a + 1 - c^2) \] Bước 9: Vì \( b \) là số nguyên dương, \( a + 1 - c^2 \) cũng phải là số nguyên dương và \( b \) phải là 1 (vì 1 chia hết cho mọi số nguyên dương): \[ b = 1 \] \[ a + 1 - c^2 = 1 \] Bước 10: Giải phương trình \( a + 1 - c^2 = 1 \): \[ a - c^2 = 0 \] \[ a = c^2 \] Bước 11: Thay \( b = 1 \) và \( a = c^2 \) vào phương trình ban đầu để kiểm tra: \[ \frac{c^2 - 1^2}{1} = c^2(c^2 - c^2) \] \[ c^2 - 1 = 0 \] \[ c^2 = 1 \] \[ c = 1 \] Do đó, ta có \( b = 1 \) và \( c = 1 \), suy ra \( b = c \). Kết luận: \( b = c \).