Bài 5.
a) Ta có:
- \(AB = AC\) (tam giác cân)
- \(BM = MC\) (M là trung điểm của BC)
- \(AM\) chung
Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - cạnh - cạnh), ta có \(\Delta AMB = \Delta AMC\).
b) Ta có:
- \(MD = MA\) (theo đề bài)
- \(AM\) chung
- \(\angle AMD = \angle AMB\) (tia đối)
Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có \(\Delta AMD = \Delta AMB\).
Từ đó, ta có \(\angle DAM = \angle BAM\).
Vì \(\angle DAM = \angle BAM\) nên \(AB // DC\) (hai góc so le trong bằng nhau).
c) Ta có:
- \(BE = CF\) (theo đề bài)
- \(AB = AC\) (tam giác cân)
- \(MD = MA\) (theo đề bài)
Do đó, ta có \(AE = DF\) (vì \(AB = AC\) và \(BE = CF\)).
Ta cũng có:
- \(AM\) chung
- \(\angle EAM = \angle FDM\) (vì \(AB // DC\) và \(AM\) là đường cao hạ từ đỉnh chung)
Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh - góc - cạnh), ta có \(\Delta EAM = \Delta FDM\).
Từ đó, ta có \(EM = FM\).
Vậy ba điểm E, M, F thẳng hàng.
Bài 6.
Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A = 2024 + (2x - 3y)^2 + |xy - 24| \), chúng ta sẽ xem xét từng thành phần của biểu thức này.
1. Phân tích từng thành phần:
- \( (2x - 3y)^2 \): Đây là bình phương của một biểu thức, do đó nó luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Giá trị nhỏ nhất của \( (2x - 3y)^2 \) là 0, đạt được khi \( 2x - 3y = 0 \).
- \( |xy - 24| \): Đây là giá trị tuyệt đối của một biểu thức, do đó nó cũng luôn lớn hơn hoặc bằng 0. Giá trị nhỏ nhất của \( |xy - 24| \) là 0, đạt được khi \( xy = 24 \).
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \):
- Để \( A \) đạt giá trị nhỏ nhất, cả hai thành phần \( (2x - 3y)^2 \) và \( |xy - 24| \) đều phải bằng 0.
- Điều này có nghĩa là:
\[
2x - 3y = 0 \quad \text{và} \quad xy = 24
\]
3. Giải hệ phương trình:
- Từ \( 2x - 3y = 0 \), ta có \( 2x = 3y \) hay \( x = \frac{3}{2}y \).
- Thay \( x = \frac{3}{2}y \) vào \( xy = 24 \):
\[
\left( \frac{3}{2}y \right) y = 24 \implies \frac{3}{2}y^2 = 24 \implies y^2 = 16 \implies y = 4 \quad \text{hoặc} \quad y = -4
\]
- Nếu \( y = 4 \), thì \( x = \frac{3}{2} \times 4 = 6 \).
- Nếu \( y = -4 \), thì \( x = \frac{3}{2} \times (-4) = -6 \).
4. Kiểm tra các giá trị \( (x, y) \):
- Với \( (x, y) = (6, 4) \):
\[
A = 2024 + (2 \cdot 6 - 3 \cdot 4)^2 + |6 \cdot 4 - 24| = 2024 + 0 + 0 = 2024
\]
- Với \( (x, y) = (-6, -4) \):
\[
A = 2024 + (2 \cdot (-6) - 3 \cdot (-4))^2 + |-6 \cdot (-4) - 24| = 2024 + 0 + 0 = 2024
\]
Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( A \) là 2024, đạt được khi \( (x, y) = (6, 4) \) hoặc \( (x, y) = (-6, -4) \).
Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của \( A \) là 2024.