Xin cách giải

Câu 9: Để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tính $\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}$: \[ \overrightarrow{a} + \overrightarrow{b} = (1; 0; 3) + (-2; 2; 5) = (1 - 2; 0 + 2; 3 + 5) = (-1; 2; 8) \] Bước 2: Tính tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$: \[ \overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b}) = (1; 0; 3) \cdot (-1; 2; 8) = 1 \cdot (-1) + 0 \cdot 2 + 3 \cdot 8 = -1 + 0 + 24 = 23 \] Vậy tích vô hướng $\overrightarrow{a} \cdot (\overrightarrow{a} + \overrightarrow{b})$ bằng 23. Đáp án đúng là: B. 23. Câu 10: Để ba điểm \( A, B, M \) thẳng hàng, vectơ \( \overrightarrow{AB} \) và vectơ \( \overrightarrow{AM} \) phải cùng phương. Ta tính vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, -3 + 2, 4 - 3) = (1, -1, 1) \] Giả sử \( M(a, b, 0) \) vì \( M \in (Oxy) \). Ta tính vectơ \( \overrightarrow{AM} \): \[ \overrightarrow{AM} = (a - 1, b + 2, 0 - 3) = (a - 1, b + 2, -3) \] Để \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AM} \) cùng phương, ta có: \[ \frac{a - 1}{1} = \frac{b + 2}{-1} = \frac{-3}{1} \] Từ đây, ta có hai phương trình: \[ a - 1 = -3 \quad \Rightarrow \quad a = -2 \] \[ b + 2 = 3 \quad \Rightarrow \quad b = 1 \] Vậy điểm \( M \) là \( (-2, 1, 0) \). Do đó, đáp án đúng là: D. \( M(-2, 1, 0) \). Câu 11: Khoảng tứ phân vị của một mẫu số liệu ghép nhóm được tính bằng cách lấy tứ phân vị thứ ba trừ đi tứ phân vị thứ nhất. Cụ thể, khoảng tứ phân vị được tính theo công thức: \[ KQ = Q_3 - Q_1 \] Trong đó: - \( Q_1 \) là tứ phân vị thứ nhất (hay còn gọi là phần tử ở vị trí 25% trong dãy số đã sắp xếp). - \( Q_3 \) là tứ phân vị thứ ba (hay còn gọi là phần tử ở vị trí 75% trong dãy số đã sắp xếp). Do đó, đáp án đúng là: \[ C.~Q_3 - Q_1 \] Câu 12: Để tìm khoảng biến thiên của mẫu số liệu, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trong dãy số liệu từ biểu đồ. 2. Tính khoảng biến thiên bằng cách lấy giá trị lớn nhất trừ đi giá trị nhỏ nhất. Bước 1: Xác định giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất: - Từ biểu đồ, ta thấy giá trị lớn nhất là 5,5 (tăng trưởng GDP năm 1990). - Giá trị nhỏ nhất là 0,4 (tăng trưởng GDP năm 2001). Bước 2: Tính khoảng biến thiên: \[ \text{Khoảng biến thiên} = 5,5 - 0,4 = 5,1 \] Vậy khoảng biến thiên của mẫu số liệu là 5,1. Đáp án đúng là: A. 5,1 Câu 1: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số để xác định các điểm cực trị và khoảng đồng biến, nghịch biến. 2. Xác định các điểm cực trị và giá trị cực đại, cực tiểu. 3. Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn [-1; 4] để tìm giá trị lớn nhất. 4. Xác định hình dạng đồ thị hàm số. Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số \[ y = x^3 - 3x^2 - 9x + 1 \] \[ y' = 3x^2 - 6x - 9 \] Bước 2: Xác định các điểm cực trị Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ 3x^2 - 6x - 9 = 0 \] \[ x^2 - 2x - 3 = 0 \] \[ (x - 3)(x + 1) = 0 \] \[ x = 3 \text{ hoặc } x = -1 \] Bước 3: Xác định khoảng đồng biến và nghịch biến - Khi \( x < -1 \), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. - Khi \( -1 < x < 3 \), \( y' < 0 \) nên hàm số nghịch biến. - Khi \( x > 3 \), \( y' > 0 \) nên hàm số đồng biến. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \) và nghịch biến trên khoảng \( (-1, 3) \). Bước 4: Xác định giá trị cực đại và cực tiểu - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 1 = -1 - 3 + 9 + 1 = 6 \] - Tại \( x = 3 \): \[ y(3) = 3^3 - 3(3)^2 - 9(3) + 1 = 27 - 27 - 27 + 1 = -26 \] Bước 5: Kiểm tra giá trị của hàm số tại các điểm biên của đoạn [-1; 4] - Tại \( x = -1 \): \[ y(-1) = 6 \] - Tại \( x = 4 \): \[ y(4) = 4^3 - 3(4)^2 - 9(4) + 1 = 64 - 48 - 36 + 1 = -19 \] Từ các kết quả trên, giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [-1; 4] là 6, đạt được khi \( x = -1 \). Bước 6: Xác định hình dạng đồ thị hàm số Hình dạng đồ thị hàm số sẽ có hai điểm cực trị tại \( x = -1 \) và \( x = 3 \), với giá trị cực đại là 6 và giá trị cực tiểu là -26. Đồ thị sẽ đồng biến từ \( -\infty \) đến -1, nghịch biến từ -1 đến 3, và đồng biến từ 3 đến \( +\infty \). Kết luận: a. Hàm số đồng biến trên khoảng \( (-\infty, -1) \cup (3, +\infty) \), không phải \( (-1, 3) \). b. Hàm số có 2 cực trị đúng. c. Giá trị lớn nhất của hàm số bằng 6 trên đoạn [-1; 4], đúng. d. Đồ thị hàm số có dạng đúng như mô tả. Đáp án: b, c, d.