giup minh nheee cac ban

Câu 3: a) Điểm A thuộc trục hoành Ox. - Đúng vì tọa độ của điểm A là (3;0;0), tức là nó nằm trên trục Ox. b) $\overrightarrow{AB} = (-3, -2, 0)$. - Đúng vì $\overrightarrow{AB} = B - A = (0 - 3, -2 - 0, 0 - 0) = (-3, -2, 0)$. c) Diện tích tam giác OAB bằng 3. - Ta tính diện tích tam giác OAB bằng công thức diện tích tam giác trong không gian: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \| \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \| \] \[ \overrightarrow{OA} = (3, 0, 0), \quad \overrightarrow{OB} = (0, -2, 0) \] Tích vector: \[ \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 3 & 0 & 0 \\ 0 & -2 & 0 \end{vmatrix} = (0, 0, -6) \] \[ \| \overrightarrow{OA} \times \overrightarrow{OB} \| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-6)^2} = 6 \] Do đó: \[ S_{OAB} = \frac{1}{2} \times 6 = 3 \] - Đúng. d) Thể tích tứ diện OABC bằng 1. - Ta tính thể tích tứ diện OABC bằng công thức: \[ V_{OABC} = \frac{1}{6} | \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}) | \] \[ \overrightarrow{OA} = (3, 0, 0), \quad \overrightarrow{OB} = (0, -2, 0), \quad \overrightarrow{OC} = (0, 0, -1) \] Tích vector: \[ \overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{vmatrix} = (2, 0, 0) \] Sau đó, ta tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{OA} \cdot (\overrightarrow{OB} \times \overrightarrow{OC}) = (3, 0, 0) \cdot (2, 0, 0) = 3 \times 2 + 0 \times 0 + 0 \times 0 = 6 \] Do đó: \[ V_{OABC} = \frac{1}{6} \times |6| = 1 \] - Đúng. Kết luận: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng Câu 4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tổng số lượt (cỡ mẫu n): - Tổng số lượt = 22 + 38 + 2? + 8 + 4 + 1 = 100 - Vậy cỡ mẫu n = 100. 2. Xác định khoảng biến thiên: - Khoảng biến thiên = Giá trị lớn nhất - Giá trị nhỏ nhất - Giá trị lớn nhất trong bảng là 33 phút (khoảng [30; 33)) - Giá trị nhỏ nhất trong bảng là 15 phút (khoảng [15; 18)) - Khoảng biến thiên = 33 - 15 = 18 phút. 3. Tìm tứ phân vị thứ nhất (Q1): - Q1 nằm ở vị trí $\frac{n}{4} = \frac{100}{4} = 25$ (vị trí thứ 25) - Tính tổng số lượt từ dưới lên: - [15; 18): 22 lượt - [18; 21): 38 lượt - Vị trí thứ 25 nằm trong khoảng [18; 21) - Ta có thể tính Q1 bằng công thức: \[ Q_1 = 18 + \left( \frac{25 - 22}{38} \right) \times 3 = 18 + \frac{3}{38} \times 3 = 18 + \frac{9}{38} = \frac{684}{38} \] - Vậy $Q_1 = \frac{684}{38}$. 4. Tìm khoảng tứ phân vị ($\Delta_Q$): - Khoảng tứ phân vị = Q3 - Q1 - Q3 nằm ở vị trí $\frac{3n}{4} = \frac{3 \times 100}{4} = 75$ (vị trí thứ 75) - Tính tổng số lượt từ dưới lên: - [15; 18): 22 lượt - [18; 21): 38 lượt - [21; 24): 2? lượt - [24; 27): 8 lượt - [27; 30): 4 lượt - [30; 33): 1 lượt - Vị trí thứ 75 nằm trong khoảng [24; 27) - Ta có thể tính Q3 bằng công thức: \[ Q_3 = 24 + \left( \frac{75 - 68}{8} \right) \times 3 = 24 + \frac{7}{8} \times 3 = 24 + \frac{21}{8} = \frac{213}{8} \] - Vậy $Q_3 = \frac{213}{8}$. - Khoảng tứ phân vị: \[ \Delta_Q = Q_3 - Q_1 = \frac{213}{8} - \frac{684}{38} = \frac{213 \times 38 - 684 \times 8}{8 \times 38} = \frac{8094 - 5472}{304} = \frac{2622}{304} = \frac{1311}{152} \] Kết luận: - Đáp án đúng là: a) Cỡ mẫu n = 100. - Đáp án sai là: b) Khoảng biến thiên của mẫu số liệu ghép nhóm là 15 phút. - Đáp án sai là: c) Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu ghép nhóm là $Q_1 = \frac{683}{38}$. - Đáp án sai là: d) Khoảng tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm là $\Delta_Q = \frac{505}{114}$. Câu 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ dựa vào đồ thị của hàm số \( y = \frac{ax + b}{x + c} \) để tìm các thông tin cần thiết về các tham số \( a \), \( b \), và \( c \). 1. Xác định đường tiệm cận đứng: - Đường tiệm cận đứng của hàm số \( y = \frac{ax + b}{x + c} \) là \( x = -c \). - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận đứng là \( x = -1 \). Do đó, ta có: \[ -c = -1 \implies c = 1 \] 2. Xác định đường tiệm cận ngang: - Đường tiệm cận ngang của hàm số \( y = \frac{ax + b}{x + c} \) là \( y = a \). - Từ đồ thị, ta thấy đường tiệm cận ngang là \( y = 2 \). Do đó, ta có: \[ a = 2 \] 3. Xác định điểm giao với trục \( Oy \): - Điểm giao của đồ thị với trục \( Oy \) là \( y = \frac{b}{c} \). - Từ đồ thị, ta thấy điểm giao với trục \( Oy \) là \( y = -1 \). Do đó, ta có: \[ \frac{b}{c} = -1 \implies \frac{b}{1} = -1 \implies b = -1 \] 4. Tính giá trị của biểu thức \( a - 3b + 2c \): - Thay các giá trị đã tìm được vào biểu thức: \[ a - 3b + 2c = 2 - 3(-1) + 2(1) = 2 + 3 + 2 = 7 \] Vậy giá trị của biểu thức \( a - 3b + 2c \) là \( 7 \). Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm các vectơ \(\overrightarrow{MA}\), \(\overrightarrow{MB}\), và \(\overrightarrow{MC}\): - \(\overrightarrow{MA} = A - M = (1 - a, -1 - b, 3 - c)\) - \(\overrightarrow{MB} = B - M = (2 - a, -3 - b, 5 - c)\) - \(\overrightarrow{MC} = C - M = (-1 - a, -2 - b, 6 - c)\) 2. Thay vào phương trình đã cho: \[ \overrightarrow{MA} + 2\overrightarrow{MB} - 2\overrightarrow{MC} = \overrightarrow{0} \] Thay các vectơ vào phương trình: \[ (1 - a, -1 - b, 3 - c) + 2(2 - a, -3 - b, 5 - c) - 2(-1 - a, -2 - b, 6 - c) = (0, 0, 0) \] 3. Tính toán từng thành phần: - Thành phần thứ nhất: \[ 1 - a + 2(2 - a) - 2(-1 - a) = 0 \] \[ 1 - a + 4 - 2a + 2 + 2a = 0 \] \[ 7 - a = 0 \implies a = 7 \] - Thành phần thứ hai: \[ -1 - b + 2(-3 - b) - 2(-2 - b) = 0 \] \[ -1 - b - 6 - 2b + 4 + 2b = 0 \] \[ -3 - b = 0 \implies b = -3 \] - Thành phần thứ ba: \[ 3 - c + 2(5 - c) - 2(6 - c) = 0 \] \[ 3 - c + 10 - 2c - 12 + 2c = 0 \] \[ 1 - c = 0 \implies c = 1 \] 4. Tính \(a - b + c\): \[ a - b + c = 7 - (-3) + 1 = 7 + 3 + 1 = 11 \] Vậy, giá trị của \(a - b + c\) là 11. Câu 3: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tính trung bình cộng của mẫu số liệu. 2. Tính phương sai của mẫu số liệu. Bước 1: Tính trung bình cộng của mẫu số liệu Ta tính trung bình cộng của mẫu số liệu theo công thức: \[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i x_i}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Trong đó: - \( f_i \) là tần số của nhóm thứ i. - \( x_i \) là giá trị trung tâm của nhóm thứ i. Ta tính giá trị trung tâm của mỗi nhóm: - Nhóm [20; 25): Giá trị trung tâm là \( x_1 = 22.5 \) - Nhóm [25; 30): Giá trị trung tâm là \( x_2 = 27.5 \) - Nhóm [30; 35): Giá trị trung tâm là \( x_3 = 32.5 \) - Nhóm [35; 40): Giá trị trung tâm là \( x_4 = 37.5 \) - Nhóm [40; 45): Giá trị trung tâm là \( x_5 = 42.5 \) Tần số của các nhóm lần lượt là: \( f_1 = 6 \), \( f_2 = 6 \), \( f_3 = 4 \), \( f_4 = 1 \), \( f_5 = 1 \) Tính tổng tần số: \[ \sum_{i=1}^{5} f_i = 6 + 6 + 4 + 1 + 1 = 18 \] Tính trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{6 \times 22.5 + 6 \times 27.5 + 4 \times 32.5 + 1 \times 37.5 + 1 \times 42.5}{18} \] \[ \bar{x} = \frac{135 + 165 + 130 + 37.5 + 42.5}{18} \] \[ \bar{x} = \frac{510}{18} \] \[ \bar{x} = 28.33 \] Bước 2: Tính phương sai của mẫu số liệu Phương sai của mẫu số liệu được tính theo công thức: \[ s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{k} f_i (x_i - \bar{x})^2}{\sum_{i=1}^{k} f_i} \] Ta tính \( (x_i - \bar{x})^2 \) cho mỗi nhóm: - Nhóm [20; 25): \( (22.5 - 28.33)^2 = (-5.83)^2 = 33.9889 \) - Nhóm [25; 30): \( (27.5 - 28.33)^2 = (-0.83)^2 = 0.6889 \) - Nhóm [30; 35): \( (32.5 - 28.33)^2 = (4.17)^2 = 17.3889 \) - Nhóm [35; 40): \( (37.5 - 28.33)^2 = (9.17)^2 = 84.0889 \) - Nhóm [40; 45): \( (42.5 - 28.33)^2 = (14.17)^2 = 200.8889 \) Tính tổng \( f_i (x_i - \bar{x})^2 \): \[ \sum_{i=1}^{5} f_i (x_i - \bar{x})^2 = 6 \times 33.9889 + 6 \times 0.6889 + 4 \times 17.3889 + 1 \times 84.0889 + 1 \times 200.8889 \] \[ = 203.9334 + 4.1334 + 69.5556 + 84.0889 + 200.8889 \] \[ = 562.6002 \] Tính phương sai: \[ s^2 = \frac{562.6002}{18} \] \[ s^2 = 31.2556 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm trên là khoảng 31.26 (đến hàng phần trăm). Câu 4: Trước tiên, ta xác định các vectơ liên quan đến các điểm trong hình học. - Ta biết rằng O là trọng tâm của tam giác BCD, do đó: \[ \overrightarrow{OB} + \overrightarrow{OC} + \overrightarrow{OD} = \overrightarrow{0} \] - M là trung điểm của AD, do đó: \[ \overrightarrow{AM} = \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] Ta cần tìm biểu thức của \(\overrightarrow{OM}\) theo các vectơ \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\), và \(\overrightarrow{AD}\). Bước 1: Xác định \(\overrightarrow{OM}\): \[ \overrightarrow{OM} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AM} \] Bước 2: Xác định \(\overrightarrow{OA}\): \[ \overrightarrow{OA} = -\overrightarrow{AO} \] \[ \overrightarrow{AO} = \frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \] \[ \overrightarrow{OA} = -\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) \] Bước 3: Thay vào biểu thức của \(\overrightarrow{OM}\): \[ \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{3}(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} + \overrightarrow{AD}) + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] Bước 4: Gộp các vectơ lại: \[ \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \left(-\frac{1}{3} + \frac{1}{2}\right)\overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \left(\frac{-2 + 3}{6}\right)\overrightarrow{AD} \] \[ \overrightarrow{OM} = -\frac{1}{3}\overrightarrow{AB} - \frac{1}{3}\overrightarrow{AC} + \frac{1}{6}\overrightarrow{AD} \] So sánh với biểu thức ban đầu: \[ \overrightarrow{OM} = a\overrightarrow{AB} + b\overrightarrow{AC} + c\overrightarrow{AD} \] Ta có: \[ a = -\frac{1}{3} \] \[ b = -\frac{1}{3} \] \[ c = \frac{1}{6} \] Bước cuối cùng: Tính \(3a + b + 2c\): \[ 3a + b + 2c = 3\left(-\frac{1}{3}\right) + \left(-\frac{1}{3}\right) + 2\left(\frac{1}{6}\right) \] \[ 3a + b + 2c = -1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \] \[ 3a + b + 2c = -1 \] Vậy, \(3a + b + 2c = -1\). Câu 5: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của đỉnh A. 2. Tìm tọa độ của đỉnh C. 3. Tính tổng \(a + b + c\). Bước 1: Tìm tọa độ của đỉnh A Do A thuộc mặt phẳng (Oxy), tọa độ của A có dạng \(A(x, y, 0)\). Hình vuông ABCD có các cạnh bằng nhau và góc vuông giữa các cạnh. Ta có thể sử dụng tính chất của hình vuông để tìm tọa độ của A. Tọa độ của B là \(B(3, 0, 8)\) và tọa độ của D là \(D(-5, -4, 0)\). Ta tính vectơ \(\overrightarrow{BD}\): \[ \overrightarrow{BD} = (-5 - 3, -4 - 0, 0 - 8) = (-8, -4, -8) \] Do A thuộc mặt phẳng (Oxy), ta có thể suy ra rằng tọa độ của A sẽ nằm trên đường thẳng song song với trục Oz và đi qua điểm B hoặc D. Vì vậy, ta có thể suy ra tọa độ của A từ tọa độ của B hoặc D. Giả sử A có tọa độ \(A(x, y, 0)\). Ta có thể sử dụng tính chất của hình vuông để tìm tọa độ của A. Ta biết rằng: \[ AB = AD \] Ta tính khoảng cách AB và AD: \[ AB = \sqrt{(x - 3)^2 + (y - 0)^2 + (0 - 8)^2} \] \[ AD = \sqrt{(x + 5)^2 + (y + 4)^2 + (0 - 0)^2} \] Vì AB = AD, ta có: \[ \sqrt{(x - 3)^2 + y^2 + 64} = \sqrt{(x + 5)^2 + (y + 4)^2} \] Bình phương cả hai vế: \[ (x - 3)^2 + y^2 + 64 = (x + 5)^2 + (y + 4)^2 \] Mở rộng các bình phương: \[ x^2 - 6x + 9 + y^2 + 64 = x^2 + 10x + 25 + y^2 + 8y + 16 \] Rút gọn: \[ -6x + 9 + 64 = 10x + 25 + 8y + 16 \] \[ -6x + 73 = 10x + 25 + 8y + 16 \] \[ -6x + 73 = 10x + 41 + 8y \] \[ -16x + 32 = 8y \] \[ -2x + 4 = y \] \[ y = -2x + 4 \] Vì A thuộc mặt phẳng (Oxy) và tọa độ là số nguyên, ta thử các giá trị x để tìm y là số nguyên. Giả sử x = 0: \[ y = -2(0) + 4 = 4 \] Vậy tọa độ của A là \(A(0, 4, 0)\). Bước 2: Tìm tọa độ của đỉnh C Ta biết rằng trong hình vuông, các đỉnh đối diện có tọa độ trung điểm giống nhau. Ta tính trung điểm của BD: \[ M_{BD} = \left( \frac{3 + (-5)}{2}, \frac{0 + (-4)}{2}, \frac{8 + 0}{2} \right) = \left( \frac{-2}{2}, \frac{-4}{2}, \frac{8}{2} \right) = (-1, -2, 4) \] Trung điểm của AC cũng là M: \[ M_{AC} = \left( \frac{x_A + x_C}{2}, \frac{y_A + y_C}{2}, \frac{z_A + z_C}{2} \right) = (-1, -2, 4) \] Thay tọa độ của A vào: \[ \left( \frac{0 + a}{2}, \frac{4 + b}{2}, \frac{0 + c}{2} \right) = (-1, -2, 4) \] Ta có: \[ \frac{a}{2} = -1 \Rightarrow a = -2 \] \[ \frac{4 + b}{2} = -2 \Rightarrow 4 + b = -4 \Rightarrow b = -8 \] \[ \frac{c}{2} = 4 \Rightarrow c = 8 \] Vậy tọa độ của C là \(C(-2, -8, 8)\). Bước 3: Tính tổng \(a + b + c\) \[ a + b + c = -2 + (-8) + 8 = -2 \] Đáp số: \(a + b + c = -2\) Câu 6: Khối lượng của bóng đèn là $m = \sqrt{3} \cdot \frac{2^2}{3} = \sqrt{3} \cdot \frac{4}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3} \text{ g}$. Đổi đơn vị khối lượng sang kg: \[ m = \frac{4\sqrt{3}}{3} \times 10^{-3} \text{ kg} \] Lực hấp dẫn tác dụng lên bóng đèn là: \[ F_g = m \cdot g = \left( \frac{4\sqrt{3}}{3} \times 10^{-3} \right) \cdot 10 = \frac{40\sqrt{3}}{3} \times 10^{-3} \text{ N} \] Trong trạng thái cân bằng, tổng các lực tác dụng lên bóng đèn phải bằng không. Do đó, hai lực căng của sợi dây phải tạo thành một lực cân bằng với lực hấp dẫn. Gọi lực căng của mỗi nửa sợi dây là \( T \). Vì góc giữa hai nửa sợi dây là \( 60^\circ \), nên mỗi nửa sợi dây tạo với đường thẳng đứng một góc \( 30^\circ \). Phân tích lực căng \( T \) thành hai thành phần: thành phần dọc theo phương thẳng đứng và thành phần ngang. Thành phần dọc của lực căng \( T \) là: \[ T_y = T \cdot \cos(30^\circ) = T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \] Vì hai thành phần dọc của lực căng từ hai nửa sợi dây phải cân bằng với lực hấp dẫn, ta có: \[ 2 \cdot T_y = F_g \] \[ 2 \cdot T \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{40\sqrt{3}}{3} \times 10^{-3} \] \[ T \cdot \sqrt{3} = \frac{40\sqrt{3}}{3} \times 10^{-3} \] \[ T = \frac{40\sqrt{3}}{3} \times 10^{-3} \div \sqrt{3} \] \[ T = \frac{40}{3} \times 10^{-3} \text{ N} \] \[ T = \frac{40}{3000} \text{ N} \] \[ T = \frac{4}{300} \text{ N} \] \[ T = \frac{2}{150} \text{ N} \] \[ T = \frac{1}{75} \text{ N} \] Vậy lực căng của mỗi nửa sợi dây là: \[ T = \frac{1}{75} \text{ N} \]