dsagfffdfzsd

Bài 1: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định tính chất của tam giác cân và các đường trung tuyến. 2. Xác định tính chất của tứ giác BNMC dựa trên các đường trung tuyến và trung điểm đã cho. Bước 1: Xác định tính chất của tam giác cân và các đường trung tuyến. - Tam giác ABC cân tại A, tức là AB = AC. - Các đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại O, đây là trọng tâm của tam giác ABC. - Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, nghĩa là BO = 2OD và CO = 2OE. Bước 2: Xác định tính chất của tứ giác BNMC dựa trên các đường trung tuyến và trung điểm đã cho. - D là trung điểm của MO, tức là MD = DO. - E là trung điểm của ON, tức là NE = EO. Do đó, tứ giác BNMC là hình bình hành vì: - MN song song và bằng nửa AC (vì M và N là trung điểm của BD và CE, và BD, CE là đường trung tuyến của tam giác ABC). - BM song song và bằng nửa AC (vì B là đỉnh của tam giác ABC và M là trung điểm của BD). Vậy tứ giác BNMC là hình bình hành. Đáp số: Tứ giác BNMC là hình bình hành. Bài 2: a) Ta có $\Delta ABC$ vuông tại A, AM là đường trung tuyến nên M là trung điểm của BC. Do đó, AM = BM = CM và $\Delta ABM = \Delta ACM$ (cùng chung AM, AB = AC, $\angle BAM = \angle CAM$). Từ đó ta có $\angle BAM = \angle CAM$. Ta cũng có $\angle IAM = \angle KAM$ (vì $\angle IAM = \angle KAM = 90^\circ - \angle BAM$). Do đó, $\Delta IAM = \Delta KAM$ (góc - cạnh - góc). Từ đó ta có IA = KA và $\angle IAM = \angle KAM$. Vậy $\Delta IAK$ cân tại A và $\angle IAM = \angle KAM$. Do đó, IK // BC (hai đường thẳng song song nếu có một đường thẳng cắt chúng tạo thành các góc đồng vị bằng nhau). b) Ta có $\Delta IAM = \Delta KAM$ nên $\frac{IA}{AB} = \frac{KA}{AC}$. Mặt khác, ta có $\frac{IA}{AB} = \frac{KA}{AC} = \frac{IK}{BC}$ (tỉ số giữa các đoạn thẳng tương ứng trong hai tam giác đồng dạng). Do đó, $\frac{IK}{BC} = \frac{1}{3}$. Vậy để $IK = \frac{1}{3}BC$, ta cần $\frac{IA}{AB} = \frac{1}{3}$. Từ đó ta có $\frac{DA}{AM} = \frac{1}{3}$. Vậy điểm D nằm trên AM sao cho $\frac{DA}{AM} = \frac{1}{3}$. Bài 3: a) Ta có $\widehat{BAC}=\widehat{AHB}=90^\circ$ $\Rightarrow$ Tam giác ABC và tam giác ABH có chung góc B $\Rightarrow$ Tam giác ABC đồng dạng với tam giác ABH(cặp góc kề cạnh huyền đồng đo) $\Rightarrow \frac{AB}{AC}=\frac{AH}{AB}$ $\Rightarrow AB^2=AC\times AH$ Mặt khác, I là trung điểm của AB nên AI=$\frac{1}{2}$AB $\Rightarrow AI^2=\frac{1}{4}\times AB^2=\frac{1}{4}\times AC\times AH$ $\Rightarrow AI^2=\frac{1}{4}\times AC\times AH$ Tương tự, ta có AK=$\frac{1}{2}$AC $\Rightarrow AK^2=\frac{1}{4}\times AC^2$ Ta có IK là đường trung bình của tam giác ABC $\Rightarrow IK=\frac{1}{2}BC$ $\Rightarrow IK^2=\frac{1}{4}\times BC^2$ Theo định lý Pythagoras, ta có: $BC^2=AC^2+AB^2$ $\Rightarrow IK^2=\frac{1}{4}\times (AC^2+AB^2)$ $\Rightarrow IK^2=AK^2+AI^2$ $\Rightarrow \widehat{IAK}=90^\circ$ b) Ta có I, K lần lượt là trung điểm của AB, AC $\Rightarrow IK$ là đường trung bình của tam giác ABC $\Rightarrow IK=\frac{1}{2}BC$ Chu vi tam giác ABC là: $AB+AC+BC$ Chu vi tam giác IHK là: $HI+IK+HK$ $=\frac{1}{2}(AB+AC+BC)$ $=\frac{1}{2}$ chu vi tam giác ABC Vậy chu vi tam giác IHK bằng nửa chu vi tam giác ABC. Bài 4: a. Ta có M là trung điểm của AB và MN = MH nên tứ giác ANBH là hình bình hành. Mà $\angle BAH = 90^\circ$ nên tứ giác ANBH là hình chữ nhật. b. Ta có H là trung điểm của BE và AH = HF nên tứ giác ABFE là hình bình hành. Mà $\angle BAH = 90^\circ$ nên tứ giác ABFE là hình thoi. c. Ta có M là trung điểm của AB và I là giao điểm của AH và NE. Ta cần chứng minh MI // BC. - Xét tam giác ABE, ta có M là trung điểm của AB và I là giao điểm của AH và NE. Vì AH = HF và H là trung điểm của BE nên NE // AF. Do đó, I là trung điểm của AE. - Xét tam giác AEC, ta có M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AE. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có MI // BC. d. Ta cần chứng minh 3 điểm J, I, M thẳng hàng. - Ta đã biết M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AE. Ta cần chứng minh J là trung điểm của AC. - Xét tam giác AEC, ta có M là trung điểm của AB và I là trung điểm của AE. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có MI // BC. - Xét tam giác ABC, ta có M là trung điểm của AB và J là trung điểm của AC. Theo định lý đường trung bình trong tam giác, ta có MJ // BC. - Vì MI // BC và MJ // BC nên MI và MJ cùng song song với BC. Do đó, 3 điểm J, I, M thẳng hàng. Bài 5: a) Ta có $\widehat{MHD}=\widehat{MHF}=90^{\circ}$ (H là trực tâm của tam giác MNP) $\widehat{MEH}=\widehat{MFH}=90^{\circ}$ (E, F là chân đường cao hạ từ H) Do đó tứ giác MDHE có 3 góc vuông nên là hình chữ nhật. b) Ta có $\widehat{DHE}=90^{\circ}$ (MDHE là hình chữ nhật) A là trung điểm của HP nên HA = AP Do đó tam giác DHA = tam giác DPA (cạnh huyền và cạnh góc vuông) Suy ra $\widehat{ADH}=\widehat{ADP}$ Mà $\widehat{ADH}+\widehat{ADP}=180^{\circ}$ (hai góc kề bù) Nên $\widehat{ADH}=\widehat{ADP}=90^{\circ}:2=45^{\circ}$ Từ đó $\widehat{ADE}=90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$ Vậy tam giác DEA có $\widehat{ADE}=\widehat{AED}=45^{\circ}$ nên là tam giác vuông cân. c) Để $DE=2EA$, ta cần thêm điều kiện $MN=2MP$. Bài 6: a) Ta có I là trung điểm của AC nên AI = IC. Lại có MI = IK nên MAKC là hình chữ nhật (vì có hai đường chéo cắt nhau và bằng nhau). b) Ta có M là trung điểm của BC nên BM = MC. Lại có MAKC là hình chữ nhật nên MA = KC. Do đó, ABMK là hình bình hành (vì có hai cặp cạnh đối song song và bằng nhau). c) Ta có I là trung điểm của AC nên AI = IC. Lại có M là trung điểm của BC nên BM = MC. Do đó, AIMB là hình thang (vì có hai cạnh đối song song và bằng nhau). d) Ta có O là trung điểm của AM nên AO = OM. Lại có MAKC là hình chữ nhật nên AK = MC. Do đó, B, Q, K thẳng hàng (vì có ba điểm thẳng hàng khi đường thẳng đi qua hai điểm trong đó đi qua điểm thứ ba).