em cần ngay và luôn

a) Tập xác định của hàm số \( f(x) \) là \( \mathbb{R} \setminus \{3\} \). Lý do: Hàm số \( f(x) \) được định nghĩa cho mọi \( x \neq 3 \) và \( x = 3 \). Do đó, tập xác định của hàm số là \( \mathbb{R} \). Đáp án: SAI b) \( f(0) = -5 \). Lý do: Ta thay \( x = 0 \) vào biểu thức của hàm số: \[ f(0) = \frac{0^2 - 8 \cdot 0 + 15}{0 - 3} = \frac{15}{-3} = -5 \] Đáp án: ĐÚNG c) \( \lim_{x \to 3} f(x) = 2 \). Lý do: Ta tính giới hạn của hàm số khi \( x \to 3 \): \[ \lim_{x \to 3} f(x) = \lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 8x + 15}{x - 3} \] Phân tích tử số: \[ x^2 - 8x + 15 = (x - 3)(x - 5) \] Do đó: \[ \lim_{x \to 3} \frac{(x - 3)(x - 5)}{x - 3} = \lim_{x \to 3} (x - 5) = 3 - 5 = -2 \] Đáp án: SAI d) Hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Lý do: Để hàm số liên tục tại \( x = 3 \), ta cần: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = f(3) \] Ta đã tính được: \[ \lim_{x \to 3} f(x) = -2 \] Mà \( f(3) = 2 \) Vì \( \lim_{x \to 3} f(x) \neq f(3) \), nên hàm số không liên tục tại \( x = 3 \). Đáp án: SAI Kết luận: a) SAI b) ĐÚNG c) SAI d) SAI Câu 19. a) AMM'A' là hình vuông: - Để AMM'A' là hình vuông thì AM = MM' = M'A' và góc giữa chúng phải là 90°. - AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, MM' là đường trung trực của BB'C'C, M'A' là đường thẳng từ đỉnh A' đến trung điểm của cạnh CC'. - Vì không có thông tin về độ dài các đoạn thẳng này và góc giữa chúng, nên ta không thể kết luận AMM'A' là hình vuông. Suy ra: Sai. b) $\frac{AI}{AM} = \frac{AG}{AN} = \frac{2}{3}$: - AI là đường trung tuyến của tam giác ABC, do đó AI chia tam giác ABC thành hai phần bằng nhau và AI = $\frac{2}{3}$ AM. - AG là đường trung tuyến của tam giác ACC', do đó AG chia tam giác ACC' thành hai phần bằng nhau và AG = $\frac{2}{3}$ AN. Suy ra: Đúng. c) $(IKG) // (BCC'B')$: - I là trọng tâm của tam giác ABC, K là trọng tâm của tam giác A'B'C', G là trọng tâm của tam giác ACC'. - Mặt phẳng (IKG) đi qua các trọng tâm của tam giác ABC, A'B'C' và ACC', do đó nó song song với mặt phẳng (BCC'B'). Suy ra: Đúng. d) $(A'KG) // (AIB')$: - A'K là đường thẳng từ đỉnh A' đến trọng tâm của tam giác A'B'C', G là trọng tâm của tam giác ACC'. - Mặt phẳng (A'KG) đi qua đỉnh A' và trọng tâm của tam giác A'B'C' và ACC', do đó nó không song song với mặt phẳng (AIB'). Suy ra: Sai. Đáp án: b) Đúng, c) Đúng. Câu 20. Để giải bài toán này, ta cần tìm số bậc của cái thang dựa trên thông tin về chiều dài các thanh ngang và tổng chiều dài thanh gỗ. Chiều dài các thanh ngang lập thành một cấp số cộng với: - Số hạng đầu tiên \(a_1 = 50\) cm - Công sai \(d = -2\) cm (vì mỗi thanh ngang tiếp theo ngắn hơn 2 cm) Ta cần tìm số bậc \(n\) sao cho tổng chiều dài các thanh ngang không vượt quá 440 cm. Công thức tổng của n số hạng trong một cấp số cộng là: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2a_1 + (n-1)d\right) \] Thay các giá trị vào công thức: \[ S_n = \frac{n}{2} \left(2 \times 50 + (n-1) \times (-2)\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(100 - 2(n-1)\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(100 - 2n + 2\right) \] \[ S_n = \frac{n}{2} \left(102 - 2n\right) \] \[ S_n = n \left(51 - n\right) \] Ta cần \(S_n \leq 440\): \[ n(51 - n) \leq 440 \] Để tìm \(n\), ta giải bất phương trình: \[ n^2 - 51n + 440 \geq 0 \] Tìm nghiệm của phương trình \(n^2 - 51n + 440 = 0\) bằng công thức nghiệm: \[ n = \frac{51 \pm \sqrt{51^2 - 4 \times 440}}{2} \] \[ n = \frac{51 \pm \sqrt{2601 - 1760}}{2} \] \[ n = \frac{51 \pm \sqrt{841}}{2} \] \[ n = \frac{51 \pm 29}{2} \] Có hai nghiệm: \[ n = \frac{51 + 29}{2} = 40 \] \[ n = \frac{51 - 29}{2} = 11 \] Do đó, \(n\) nằm trong khoảng \(11 \leq n \leq 40\). Tuy nhiên, ta cần kiểm tra thêm điều kiện chiều dài các thanh ngang lớn hơn 20 cm. Chiều dài thanh ngang ở bậc thứ \(n\) là: \[ a_n = 50 + (n-1)(-2) \] \[ a_n = 50 - 2(n-1) \] \[ a_n = 52 - 2n \] Yêu cầu \(a_n > 20\): \[ 52 - 2n > 20 \] \[ 32 > 2n \] \[ n < 16 \] Vậy \(n\) phải thỏa mãn \(11 \leq n < 16\). Kiểm tra các giá trị \(n = 11, 12, 13, 14, 15\): - \(n = 11\): \[ S_{11} = 11 \times (51 - 11) = 11 \times 40 = 440 \] - \(n = 12\): \[ S_{12} = 12 \times (51 - 12) = 12 \times 39 = 468 \] (không thỏa mãn vì vượt quá 440) Vậy số bậc của cái thang là \(n = 11\). Đáp số: Cái thang có 11 bậc. Câu 21. Để tính giới hạn $\lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{3x+10}-4}{x-2}$, ta sẽ nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số để đơn giản hóa biểu thức. Bước 1: Nhân tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử số: \[ \lim_{x\rightarrow2}\frac{\sqrt{3x+10}-4}{x-2} = \lim_{x\rightarrow2}\frac{(\sqrt{3x+10}-4)(\sqrt{3x+10}+4)}{(x-2)(\sqrt{3x+10}+4)} \] Bước 2: Áp dụng hằng đẳng thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ vào tử số: \[ = \lim_{x\rightarrow2}\frac{(3x+10)-16}{(x-2)(\sqrt{3x+10}+4)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow2}\frac{3x-6}{(x-2)(\sqrt{3x+10}+4)} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức: \[ = \lim_{x\rightarrow2}\frac{3(x-2)}{(x-2)(\sqrt{3x+10}+4)} \] \[ = \lim_{x\rightarrow2}\frac{3}{\sqrt{3x+10}+4} \] Bước 4: Thay \( x = 2 \) vào biểu thức đã rút gọn: \[ = \frac{3}{\sqrt{3(2)+10}+4} \] \[ = \frac{3}{\sqrt{6+10}+4} \] \[ = \frac{3}{\sqrt{16}+4} \] \[ = \frac{3}{4+4} \] \[ = \frac{3}{8} \] Vậy, kết quả của giới hạn là: \[ \boxed{\frac{3}{8}} \] Câu 22. Để tìm trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tính tổng số lớp học: Tổng số lớp học là 95. 2. Xác định vị trí của trung vị: Vì số lớp học là 95 (số lẻ), trung vị sẽ nằm ở vị trí thứ $\frac{95 + 1}{2} = 48$. 3. Xác định nhóm chứa trung vị: - Nhóm [36;38) có 9 lớp học. - Nhóm [38;40) có 15 lớp học. - Nhóm [40;42) có 25 lớp học. - Nhóm [42;44) có 26 lớp học. - Nhóm [44;46) có 20 lớp học. Tính tổng tần số từ dưới lên: - Nhóm [36;38): 9 lớp học. - Nhóm [38;40): 9 + 15 = 24 lớp học. - Nhóm [40;42): 24 + 25 = 49 lớp học. Như vậy, trung vị nằm trong nhóm [40;42). 4. Áp dụng công thức tính trung vị của dãy số đã sắp xếp: Công thức trung vị của nhóm là: \[ M = x_l + \left( \frac{\frac{n}{2} - F_{l-1}}{f_l} \right) \times w \] Trong đó: - \(x_l\) là giới hạn dưới của nhóm chứa trung vị (ở đây là 40). - \(n\) là tổng số lớp học (95). - \(F_{l-1}\) là tổng tần số của các nhóm trước nhóm chứa trung vị (ở đây là 24). - \(f_l\) là tần số của nhóm chứa trung vị (ở đây là 25). - \(w\) là khoảng rộng của nhóm (ở đây là 2). Thay các giá trị vào công thức: \[ M = 40 + \left( \frac{48 - 24}{25} \right) \times 2 \] \[ M = 40 + \left( \frac{24}{25} \right) \times 2 \] \[ M = 40 + 0.96 \] \[ M = 40.96 \] Vậy trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm trên là 40.96.