phân tích đa thức thành nhân tử

Bài 1 a) \(2x^2 - 4x\) Ta thấy cả hai hạng tử đều có thừa số chung là \(2x\), do đó ta có thể phân tích như sau: \[2x^2 - 4x = 2x(x - 2)\] b) \(3x^2y - 6x^3y^2 + 9xy\) Ta thấy cả ba hạng tử đều có thừa số chung là \(3xy\), do đó ta có thể phân tích như sau: \[3x^2y - 6x^3y^2 + 9xy = 3xy(x - 2x^2y + 3)\] c) \(2x^3 - 2x^2 - 5x + 5\) Ta nhóm các hạng tử lại để dễ dàng nhận ra các thừa số chung: \[2x^3 - 2x^2 - 5x + 5 = (2x^3 - 2x^2) - (5x - 5)\] \[= 2x^2(x - 1) - 5(x - 1)\] \[= (x - 1)(2x^2 - 5)\] d) \((3x - 6y)x - y(2y - x)\) Ta nhóm các hạng tử lại để dễ dàng nhận ra các thừa số chung: \[(3x - 6y)x - y(2y - x) = 3x^2 - 6xy - 2y^2 + xy\] \[= 3x^2 - 5xy - 2y^2\] e) \(2x^3(x - 3) - x(x - 3)\) Ta thấy cả hai hạng tử đều có thừa số chung là \((x - 3)\), do đó ta có thể phân tích như sau: \[2x^3(x - 3) - x(x - 3) = (x - 3)(2x^3 - x)\] \[= x(x - 3)(2x^2 - 1)\] f) \(5(x + 3y) - 15x(x + 3y)\) Ta thấy cả hai hạng tử đều có thừa số chung là \((x + 3y)\), do đó ta có thể phân tích như sau: \[5(x + 3y) - 15x(x + 3y) = (x + 3y)(5 - 15x)\] \[= 5(x + 3y)(1 - 3x)\] Đáp số: a) \(2x(x - 2)\) b) \(3xy(x - 2x^2y + 3)\) c) \((x - 1)(2x^2 - 5)\) d) \(3x^2 - 5xy - 2y^2\) e) \(x(x - 3)(2x^2 - 1)\) f) \(5(x + 3y)(1 - 3x)\) Bài 2 a) \( x^2 - 4x + 4 \) Ta nhận thấy đây là dạng hằng đẳng thức \( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \), với \( a = x \) và \( b = 2 \). Do đó: \[ x^2 - 4x + 4 = (x - 2)^2 \] b) \( x^2 - 5 \) Ta nhận thấy đây là dạng hiệu hai bình phương \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \), với \( a = x \) và \( b = \sqrt{5} \). Do đó: \[ x^2 - 5 = (x - \sqrt{5})(x + \sqrt{5}) \] c) \( x^3 + 8 \) Ta nhận thấy đây là dạng tổng hai lập phương \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \), với \( a = x \) và \( b = 2 \). Do đó: \[ x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \] d) \( 8x^6 + 12x^4y + 6x^2y^2 + y^3 \) Ta nhận thấy đây là dạng hằng đẳng thức \( (a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 \), với \( a = 2x^2 \) và \( b = y \). Do đó: \[ 8x^6 + 12x^4y + 6x^2y^2 + y^3 = (2x^2 + y)^3 \] e) \( x^3 - 125y^3 \) Ta nhận thấy đây là dạng hiệu hai lập phương \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \), với \( a = x \) và \( b = 5y \). Do đó: \[ x^3 - 125y^3 = (x - 5y)(x^2 + 5xy + 25y^2) \] f) \( x^6 + y^6 \) Ta nhận thấy đây là dạng tổng hai bình phương \( a^2 + b^2 \), với \( a = x^3 \) và \( b = y^3 \). Do đó: \[ x^6 + y^6 = (x^3)^2 + (y^3)^2 \] Tuy nhiên, \( x^6 + y^6 \) không thể phân tích thành nhân tử theo các hằng đẳng thức cơ bản. Bài 3 a) \( x^4 + x^3 + x + 1 \) Ta nhóm các hạng tử lại để dễ dàng nhận thấy các nhân tử chung: \[ x^4 + x^3 + x + 1 = x^3(x + 1) + 1(x + 1) \] Nhận thấy \( (x + 1) \) là nhân tử chung: \[ = (x + 1)(x^3 + 1) \] b) \( x^2y + xy^2 - x - y \) Ta nhóm các hạng tử lại để dễ dàng nhận thấy các nhân tử chung: \[ x^2y + xy^2 - x - y = xy(x + y) - 1(x + y) \] Nhận thấy \( (x + y) \) là nhân tử chung: \[ = (x + y)(xy - 1) \] c) \( x^2 + 4xy + 4y^2 - 9 \) Ta nhận thấy \( x^2 + 4xy + 4y^2 \) là dạng hằng đẳng thức \( (x + 2y)^2 \): \[ x^2 + 4xy + 4y^2 - 9 = (x + 2y)^2 - 3^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ = (x + 2y - 3)(x + 2y + 3) \] d) \( 49y^2 - x^2 + 6x - 9 \) Ta nhận thấy \( 49y^2 \) là \( (7y)^2 \) và \( x^2 - 6x + 9 \) là \( (x - 3)^2 \): \[ 49y^2 - x^2 + 6x - 9 = (7y)^2 - (x - 3)^2 \] Áp dụng hằng đẳng thức \( a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) \): \[ = (7y - (x - 3))(7y + (x - 3)) \] \[ = (7y - x + 3)(7y + x - 3) \] e) \( x^2 - 6(x + 3) - 6x^2 - 9 \) Ta nhóm các hạng tử lại để dễ dàng nhận thấy các nhân tử chung: \[ x^2 - 6(x + 3) - 6x^2 - 9 = x^2 - 6x - 18 - 6x^2 - 9 \] \[ = -5x^2 - 6x - 27 \] f) \( x + 4x^2 - 5 \) Ta nhóm các hạng tử lại để dễ dàng nhận thấy các nhân tử chung: \[ x + 4x^2 - 5 = 4x^2 + x - 5 \] Đáp số: a) \( (x + 1)(x^3 + 1) \) b) \( (x + y)(xy - 1) \) c) \( (x + 2y - 3)(x + 2y + 3) \) d) \( (7y - x + 3)(7y + x - 3) \) e) \( -5x^2 - 6x - 27 \) f) \( 4x^2 + x - 5 \)