khai căn bậc hai với phép nhân và phép chia

Bài 3: a) $\sqrt{5}(\sqrt{125} + \sqrt{5})$ Ta có: \[ \sqrt{125} = \sqrt{25 \times 5} = \sqrt{25} \times \sqrt{5} = 5\sqrt{5} \] Do đó: \[ \sqrt{5}(\sqrt{125} + \sqrt{5}) = \sqrt{5}(5\sqrt{5} + \sqrt{5}) = \sqrt{5} \times 5\sqrt{5} + \sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5 \times 5 + 5 = 25 + 5 = 30 \] b) $(\sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5}$ Ta có: \[ \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4} \times \sqrt{5} = 2\sqrt{5} \] \[ \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5} \] Do đó: \[ (\sqrt{20} + \sqrt{45} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = (2\sqrt{5} + 3\sqrt{5} - \sqrt{5}) \cdot \sqrt{5} = (2 + 3 - 1)\sqrt{5} \cdot \sqrt{5} = 4 \times 5 = 20 \] c) $(\sqrt{12} + \sqrt{3})(\sqrt{27} - \sqrt{3})$ Ta có: \[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4} \times \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \] \[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9} \times \sqrt{3} = 3\sqrt{3} \] Do đó: \[ (\sqrt{12} + \sqrt{3})(\sqrt{27} - \sqrt{3}) = (2\sqrt{3} + \sqrt{3})(3\sqrt{3} - \sqrt{3}) = (2 + 1)\sqrt{3} \times (3 - 1)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} = 3 \times 2 \times 3 = 18 \] d) $(\sqrt{5} - \sqrt{3} + 1)(\sqrt{5} - 1)$ Ta có: \[ (\sqrt{5} - \sqrt{3} + 1)(\sqrt{5} - 1) = \sqrt{5}(\sqrt{5} - 1) - \sqrt{3}(\sqrt{5} - 1) + 1(\sqrt{5} - 1) \] \[ = \sqrt{5} \times \sqrt{5} - \sqrt{5} \times 1 - \sqrt{3} \times \sqrt{5} + \sqrt{3} \times 1 + \sqrt{5} - 1 \] \[ = 5 - \sqrt{5} - \sqrt{15} + \sqrt{3} + \sqrt{5} - 1 \] \[ = 5 - 1 - \sqrt{15} + \sqrt{3} = 4 - \sqrt{15} + \sqrt{3} \] Đáp số: a) 30 b) 20 c) 18 d) $4 - \sqrt{15} + \sqrt{3}$ Bài 4: a) $(\sqrt{7} + \sqrt{3})^2$ Áp dụng công thức $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$, ta có: \[ (\sqrt{7} + \sqrt{3})^2 = (\sqrt{7})^2 + 2 \cdot \sqrt{7} \cdot \sqrt{3} + (\sqrt{3})^2 \] \[ = 7 + 2\sqrt{21} + 3 \] \[ = 10 + 2\sqrt{21} \] b) $(\sqrt{8} - \sqrt{2})^2$ Áp dụng công thức $(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, ta có: \[ (\sqrt{8} - \sqrt{2})^2 = (\sqrt{8})^2 - 2 \cdot \sqrt{8} \cdot \sqrt{2} + (\sqrt{2})^2 \] \[ = 8 - 2\sqrt{16} + 2 \] \[ = 8 - 2 \cdot 4 + 2 \] \[ = 8 - 8 + 2 \] \[ = 2 \] c) $(5\sqrt{3} - 2\sqrt{7})(5\sqrt{3} + 2\sqrt{7})$ Áp dụng công thức $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$, ta có: \[ (5\sqrt{3} - 2\sqrt{7})(5\sqrt{3} + 2\sqrt{7}) = (5\sqrt{3})^2 - (2\sqrt{7})^2 \] \[ = 25 \cdot 3 - 4 \cdot 7 \] \[ = 75 - 28 \] \[ = 47 \] Đáp số: a) $10 + 2\sqrt{21}$ b) $2$ c) $47$ Bài 5: Để rút gọn biểu thức $(\sqrt{14}+\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}}$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân biểu thức với $\sqrt{5+\sqrt{21}}$ để tạo ra một biểu thức có dạng $(a+b)(a-b)$, giúp dễ dàng hơn trong việc rút gọn. $(\sqrt{14}+\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}} = (\sqrt{14}+\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}} \cdot \frac{\sqrt{5+\sqrt{21}}}{\sqrt{5+\sqrt{21}}}$ Bước 2: Nhân liên hợp ở tử số và mẫu số. $= \frac{(\sqrt{14}+\sqrt{6})\sqrt{(5-\sqrt{21})(5+\sqrt{21})}}{\sqrt{5+\sqrt{21}}}$ Bước 3: Áp dụng công thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ để rút gọn biểu thức trong căn bậc hai ở tử số. $= \frac{(\sqrt{14}+\sqrt{6})\sqrt{25-21}}{\sqrt{5+\sqrt{21}}}$ $= \frac{(\sqrt{14}+\sqrt{6})\sqrt{4}}{\sqrt{5+\sqrt{21}}}$ Bước 4: Rút gọn biểu thức trong căn bậc hai ở tử số. $= \frac{(\sqrt{14}+\sqrt{6}) \cdot 2}{\sqrt{5+\sqrt{21}}}$ Bước 5: Nhân biểu thức ở tử số với 2. $= \frac{2\sqrt{14}+2\sqrt{6}}{\sqrt{5+\sqrt{21}}}$ Bước 6: Nhân liên hợp ở mẫu số để loại bỏ căn bậc hai ở mẫu số. $= \frac{(2\sqrt{14}+2\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}}}{\sqrt{(5+\sqrt{21})(5-\sqrt{21})}}$ Bước 7: Áp dụng công thức $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ để rút gọn biểu thức trong căn bậc hai ở mẫu số. $= \frac{(2\sqrt{14}+2\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}}}{\sqrt{25-21}}$ $= \frac{(2\sqrt{14}+2\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}}}{\sqrt{4}}$ Bước 8: Rút gọn biểu thức trong căn bậc hai ở mẫu số. $= \frac{(2\sqrt{14}+2\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}}}{2}$ Bước 9: Chia biểu thức ở tử số cho 2. $= (\sqrt{14}+\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}}$ Như vậy, biểu thức đã được rút gọn thành $(\sqrt{14}+\sqrt{6})\sqrt{5-\sqrt{21}}$.