Hãy giải bài tập trong ảnh sau

Câu 1: Để kiểm tra tính đúng sai của các mệnh đề, chúng ta sẽ lần lượt xét từng mệnh đề dựa trên công thức tổng quát của dãy số \(u_n = \frac{n+1}{n+2}\). Mệnh đề a) \(u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+3)(n+2)}\) Ta tính \(u_{n+1}\): \[ u_{n+1} = \frac{(n+1)+1}{(n+1)+2} = \frac{n+2}{n+3} \] Sau đó, ta tính hiệu \(u_{n+1} - u_n\): \[ u_{n+1} - u_n = \frac{n+2}{n+3} - \frac{n+1}{n+2} \] \[ = \frac{(n+2)^2 - (n+1)(n+3)}{(n+3)(n+2)} \] \[ = \frac{n^2 + 4n + 4 - (n^2 + 4n + 3)}{(n+3)(n+2)} \] \[ = \frac{1}{(n+3)(n+2)} \] Vậy mệnh đề a) là Đúng. Mệnh đề b) \(u_{n+1} < u_n,~\forall n \in \mathbb{N}^\bullet\) Từ phần trên, ta đã chứng minh: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{1}{(n+3)(n+2)} > 0 \] Do đó: \[ u_{n+1} > u_n \] Vậy mệnh đề b) là Sai. Mệnh đề c) Dãy số \((u_n)\) là dãy số giảm. Từ phần trên, ta đã chứng minh: \[ u_{n+1} > u_n \] Vậy dãy số \((u_n)\) là dãy số tăng, không phải là dãy số giảm. Vậy mệnh đề c) là Sai. Mệnh đề d) Dãy số \((u_n)\) là dãy số bị chặn. Ta xét giới hạn của \(u_n\) khi \(n \to \infty\): \[ \lim_{n \to \infty} u_n = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{n+2} = \lim_{n \to \infty} \frac{1 + \frac{1}{n}}{1 + \frac{2}{n}} = 1 \] Vì \(u_n\) luôn dương và có giới hạn là 1 khi \(n \to \infty\), nên dãy số \((u_n)\) bị chặn dưới bởi 0 và bị chặn trên bởi 1. Vậy mệnh đề d) là Đúng. Kết luận - Mệnh đề a) Đúng - Mệnh đề b) Sai - Mệnh đề c) Sai - Mệnh đề d) Đúng