Câu 18: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD là hình thang cân, cạnh bên BC = V5, hai đáy AB = 11,CD = 7. Mặt phẳng (a) song song với (ABCD) và cắt cạnh SO tại / sao cho 290 = 5S . Tính diện tích thiết diện...

Câu 18: Để tính diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha)$ và hình chóp SABCD, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định thiết diện: - Mặt phẳng $(\alpha)$ song song với đáy (ABCD) và cắt cạnh SO tại điểm O' sao cho $\frac{SO'}{SO} = \frac{5}{9}$. - Thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha)$ và hình chóp SABCD là một hình thang cân S'A'B'C'D', trong đó A', B', C', D' lần lượt là giao điểm của $(\alpha)$ với SA, SB, SC, SD. 2. Tính tỉ lệ giữa các đoạn thẳng: - Vì $(\alpha)$ song song với (ABCD), nên các đoạn thẳng từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy ABCD sẽ có cùng tỉ lệ với các đoạn thẳng từ đỉnh S đến các đỉnh của đáy S'A'B'C'D'. - Do đó, $\frac{SA'}{SA} = \frac{SB'}{SB} = \frac{SC'}{SC} = \frac{SD'}{SD} = \frac{SO'}{SO} = \frac{5}{9}$. 3. Tính độ dài các cạnh của thiết diện: - Độ dài đáy S'A' = $\frac{5}{9} \times AB = \frac{5}{9} \times 11 = \frac{55}{9}$. - Độ dài đáy S'D' = $\frac{5}{9} \times CD = \frac{5}{9} \times 7 = \frac{35}{9}$. - Độ dài các cạnh bên S'B' = S'C' = $\frac{5}{9} \times BC = \frac{5}{9} \times \sqrt{5} = \frac{5\sqrt{5}}{9}$. 4. Tính diện tích thiết diện: - Diện tích thiết diện S'A'B'C'D' là diện tích của một hình thang cân với đáy S'A' = $\frac{55}{9}$, đáy S'D' = $\frac{35}{9}$ và chiều cao h. - Chiều cao h của hình thang cân S'A'B'C'D' là $\frac{5}{9}$ lần chiều cao của hình thang cân ABCD. - Chiều cao của hình thang cân ABCD là: \[ h_{ABCD} = \sqrt{BC^2 - \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2} = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - \left(\frac{11 - 7}{2}\right)^2} = \sqrt{5 - 4} = 1 \] - Chiều cao của hình thang cân S'A'B'C'D' là: \[ h_{S'A'B'C'D'} = \frac{5}{9} \times 1 = \frac{5}{9} \] - Diện tích thiết diện S'A'B'C'D' là: \[ S_{S'A'B'C'D'} = \frac{1}{2} \times (S'A' + S'D') \times h_{S'A'B'C'D'} = \frac{1}{2} \times \left(\frac{55}{9} + \frac{35}{9}\right) \times \frac{5}{9} = \frac{1}{2} \times \frac{90}{9} \times \frac{5}{9} = \frac{1}{2} \times 10 \times \frac{5}{9} = \frac{25}{9} \] Vậy diện tích thiết diện tạo bởi mặt phẳng $(\alpha)$ và hình chóp SABCD là $\frac{25}{9}$.