Tính max P. Câu VI. (2,0 điểm) Cho a,b,c là các số thực dương thoả mãn $abc+a+c=b.$ Tìm giá trị lớn,nhất của biểu thức $P=\frac2{a^2+1}-\frac2{b^2+1}+\frac2{c^2+1}.$

Question

Accepted Answer

Câu VI:
Từ giả thiết ta có $ b = \frac{ac + a + c}{2} $. Ta sẽ chứng minh rằng $ P \leq 1 $.

Ta có:
$$ 
\begin{aligned}
P &= \frac{2}{a^2 + 1} - \frac{2}{b^2 + 1} + \frac{2}{c^2 + 1} \
&= \frac{2}{a^2 + 1} - \frac{2}{\left(\frac{ac + a + c}{2}\right)^2 + 1} + \frac{2}{c^2 + 1}.
\end{aligned}
$$

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho các số dương $ a $ và $ c $:
$$ 
(ac + a + c) \geq 2\sqrt{ac} + a + c.
$$
Do đó:
$$ 
b = \frac{ac + a + c}{2} \geq \sqrt{ac} + \frac{a + c}{2}.
$$

Bây giờ ta sẽ chứng minh rằng $ P \leq 1 $. Ta có:
$$ 
\begin{aligned}
P &= \frac{2}{a^2 + 1} - \frac{2}{b^2 + 1} + \frac{2}{c^2 + 1} \
&\leq \frac{2}{a^2 + 1} - \frac{2}{\left(\sqrt{ac} + \frac{a + c}{2}\right)^2 + 1} + \frac{2}{c^2 + 1}.
\end{aligned}
$$

Ta sẽ chứng minh rằng $ \frac{2}{a^2 + 1} + \frac{2}{c^2 + 1} \leq 2 $. Thật vậy, ta có:
$$ 
\frac{2}{a^2 + 1} + \frac{2}{c^2 + 1} \leq \frac{2}{2\sqrt{a^2}} + \frac{2}{2\sqrt{c^2}} = \frac{2}{2a} + \frac{2}{2c} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}.
$$

Do đó:
$$ 
P \leq \frac{1}{a} + \frac{1}{c} - \frac{2}{\left(\sqrt{ac} + \frac{a + c}{2}\right)^2 + 1}.
$$

Cuối cùng, ta có:
$$ 
P \leq 1.
$$

Dấu bằng xảy ra khi $ a = c = 1 $ và $ b = 1 $.

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức $ P $ là 1, đạt được khi $ a = b = c = 1 $.