Helpoooooopppoooppp

Câu 20. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định sai. A. MN // (ABD) - Trọng tâm M của tam giác BCD nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh B đến cạnh CD. - Trọng tâm N của tam giác ACD nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh CD. - Vì cả hai trọng tâm đều nằm trên đường trung tuyến đến cạnh CD, nên đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (ABD). B. MN = $\frac{2}{3} AB$ - Trọng tâm M của tam giác BCD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tức là M cách đỉnh B khoảng $\frac{1}{3}$ chiều dài đường trung tuyến từ B đến CD. - Tương tự, trọng tâm N của tam giác ACD chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tức là N cách đỉnh A khoảng $\frac{1}{3}$ chiều dài đường trung tuyến từ A đến CD. - Do đó, đoạn thẳng MN không thể bằng $\frac{2}{3} AB$, vì MN chỉ là đoạn thẳng giữa hai trọng tâm và không liên quan trực tiếp đến chiều dài AB. C. BM, AN, CD đồng quy - Trọng tâm M của tam giác BCD nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh B đến cạnh CD. - Trọng tâm N của tam giác ACD nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh CD. - Vì cả hai trọng tâm đều nằm trên đường trung tuyến đến cạnh CD, nên các đường thẳng BM, AN và CD sẽ đồng quy tại điểm trọng tâm của tam giác BCD và ACD. D. MN // (ABC) - Trọng tâm M của tam giác BCD nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh B đến cạnh CD. - Trọng tâm N của tam giác ACD nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh CD. - Vì cả hai trọng tâm đều nằm trên đường trung tuyến đến cạnh CD, nên đoạn thẳng MN song song với mặt phẳng (ABC). Từ các lập luận trên, khẳng định sai là: B. MN = $\frac{2}{3} AB$ Đáp án: B. MN = $\frac{2}{3} AB$ Câu 21. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai đoạn tỉ lệ 2:1, tính từ đỉnh đến trọng tâm. - Gọi O là trọng tâm của tam giác ACD, vậy O nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh CD và chia đường trung tuyến này thành tỉ lệ 2:1. - Gọi G là trọng tâm của tam giác BCD, vậy G nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh B đến cạnh CD và chia đường trung tuyến này thành tỉ lệ 2:1. Do đó, đường thẳng OG sẽ song song với đường thẳng AB vì: - Điểm O nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh A đến cạnh CD. - Điểm G nằm trên đường trung tuyến từ đỉnh B đến cạnh CD. - Vì O và G đều nằm trên đường trung tuyến đến cạnh CD và chia đường trung tuyến này theo cùng một tỉ lệ 2:1, nên đường thẳng OG sẽ song song với đường thẳng AB. Vậy đường thẳng OG song song với các mặt phẳng (ABD) và (ABC). Đáp án đúng là: A. (ABD) và (ABC). Câu 22. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình hộp, các mặt bên là các hình bình hành. Do đó, ta sẽ kiểm tra từng trường hợp để xác định loại hình học của ACC'A'. A. ACC'A' là hình thoi: - Để là hình thoi, tất cả các cạnh của ACC'A' phải bằng nhau và các đường chéo phải vuông góc với nhau. - Trong hình hộp, điều này không phải lúc nào cũng đúng vì các cạnh của ACC'A' có thể không bằng nhau. B. ACC'A' là hình bình hành: - Để là hình bình hành, hai cặp cạnh đối diện của ACC'A' phải song song và bằng nhau. - Trong hình hộp, điều này đúng vì các cạnh của ACC'A' là các cạnh của các mặt bên là hình bình hành. C. ACC'A' là hình vuông: - Để là hình vuông, tất cả các cạnh của ACC'A' phải bằng nhau và các góc phải là 90 độ. - Trong hình hộp, điều này không phải lúc nào cũng đúng vì các cạnh của ACC'A' có thể không bằng nhau và các góc không phải lúc nào cũng là 90 độ. D. ACC'A' là hình chữ nhật: - Để là hình chữ nhật, các góc của ACC'A' phải là 90 độ và các cạnh đối diện phải bằng nhau. - Trong hình hộp, điều này không phải lúc nào cũng đúng vì các cạnh của ACC'A' có thể không bằng nhau và các góc không phải lúc nào cũng là 90 độ. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng trong mọi trường hợp, ACC'A' là hình bình hành. Do đó, đáp án đúng là: B. ACC'A' là hình bình hành. Câu 23. Trước tiên, ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. A. $(ABCD) // (A'B'C'D')$ - Đây là khẳng định đúng vì hai mặt đáy của hình hộp luôn song song với nhau. B. $(AA'D') // (BCC')$ - Ta thấy rằng: - $AA' // BB'$ (vì chúng là các cạnh đối diện của hình hộp) - $AD' // BC$ (vì $AD' // BC'$ và $BC' // BC$) - Do đó, mặt phẳng $(AA'D')$ song song với mặt phẳng $(BCC')$. Khẳng định này là đúng. C. $(BDD') // (ACC')$ - Ta thấy rằng: - $BD // AC$ (vì chúng là các đường chéo của hình bình hành đáy) - $DD' // CC'$ (vì chúng là các cạnh đối diện của hình hộp) - Do đó, mặt phẳng $(BDD')$ song song với mặt phẳng $(ACC')$. Khẳng định này là đúng. D. $(ABB') // (CDC')$ - Ta thấy rằng: - $AB // CD$ (vì chúng là các cạnh đối diện của hình bình hành đáy) - $BB' // CC'$ (vì chúng là các cạnh đối diện của hình hộp) - Tuy nhiên, $AB$ và $CD$ nằm trên cùng một mặt đáy, do đó chúng không thể tạo thành hai mặt phẳng song song. Mặt phẳng $(ABB')$ và $(CDC')$ không song song với nhau. Khẳng định này là sai. Vậy khẳng định sai là: D. $(ABB') // (CDC')$ Đáp án: D. $(ABB') // (CDC')$ Câu 24. Để tìm giá trị của \( B = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + 3}{n^2 + 1} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Phân tích giới hạn: Ta thấy rằng khi \( n \) tiến đến vô cùng (\( n \to \infty \)), cả tử số và mẫu số đều tiến đến vô cùng. Tuy nhiên, để dễ dàng hơn trong việc tính toán, ta chia cả tử số và mẫu số cho \( n^2 \). 2. Chia cả tử số và mẫu số cho \( n^2 \): \[ B = \lim_{n \to \infty} \frac{2n^3 + 3}{n^2 + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2n^3}{n^2} + \frac{3}{n^2}}{\frac{n^2}{n^2} + \frac{1}{n^2}} \] 3. Rút gọn biểu thức: \[ B = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + \frac{3}{n^2}}{1 + \frac{1}{n^2}} \] 4. Tính giới hạn từng phần: - Khi \( n \to \infty \), \( \frac{3}{n^2} \to 0 \) - Khi \( n \to \infty \), \( \frac{1}{n^2} \to 0 \) Do đó: \[ B = \lim_{n \to \infty} \frac{2n + 0}{1 + 0} = \lim_{n \to \infty} 2n \] 5. Kết luận: - Khi \( n \to \infty \), \( 2n \to \infty \) Vậy giá trị của \( B \) là \( +\infty \). Đáp án đúng là: D. \( +\infty \). Câu 25. Để tính giới hạn \( I = \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{3n + 1} \), trước tiên chúng ta cần tìm công thức tổng quát của dãy số \( (u_n) \). Dãy số \( (u_n) \) được xác định bởi: \[ u_1 = 2 \] \[ u_{n+1} = u_n + 3 \] Ta nhận thấy đây là dãy số cộng với khoảng cách là 3. Do đó, công thức tổng quát của dãy số \( (u_n) \) là: \[ u_n = u_1 + (n-1) \cdot 3 = 2 + (n-1) \cdot 3 = 3n - 1 \] Bây giờ, ta tính giới hạn: \[ I = \lim_{n \to \infty} \frac{u_n}{3n + 1} = \lim_{n \to \infty} \frac{3n - 1}{3n + 1} \] Chia cả tử và mẫu cho \( n \): \[ I = \lim_{n \to \infty} \frac{3 - \frac{1}{n}}{3 + \frac{1}{n}} \] Khi \( n \to \infty \), \( \frac{1}{n} \to 0 \). Do đó: \[ I = \frac{3 - 0}{3 + 0} = \frac{3}{3} = 1 \] Vậy đáp án đúng là: A. \( I = 1 \) Đáp án: A. \( I = 1 \) Câu 26. Câu hỏi: Tính $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right)$. Câu trả lời: Để tính giới hạn $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right)$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ \sqrt{x^2 + 3x} - x = \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) \cdot \frac{\sqrt{x^2 + 3x} + x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} \] Bước 2: Thực hiện phép nhân: \[ = \frac{(\sqrt{x^2 + 3x})^2 - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{x^2 + 3x - x^2}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} \] Bước 3: Chia cả tử và mẫu cho $x$: \[ = \frac{3x}{\sqrt{x^2 + 3x} + x} = \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} \] Bước 4: Tính giới hạn khi $x \to +\infty$: \[ \lim_{x \to +\infty} \frac{3}{\sqrt{1 + \frac{3}{x}} + 1} = \frac{3}{\sqrt{1 + 0} + 1} = \frac{3}{1 + 1} = \frac{3}{2} \] Vậy, $\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - x \right) = \frac{3}{2}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{3}{2}$. Câu 27. Để tính giá trị của \( A = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 2n} - n) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân lượng liên hợp để đơn giản hóa biểu thức: \[ A = \lim_{n \to \infty} (\sqrt{n^2 + 2n} - n) \] Nhân lượng liên hợp: \[ A = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(\sqrt{n^2 + 2n} - n)(\sqrt{n^2 + 2n} + n)}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} \right) \] Bước 2: Tính toán ở tử số: \[ A = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{(n^2 + 2n) - n^2}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} \right) \] \[ A = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n}{\sqrt{n^2 + 2n} + n} \right) \] Bước 3: Chia cả tử số và mẫu số cho \( n \): \[ A = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n/n}{(\sqrt{n^2 + 2n}/n) + n/n} \right) \] \[ A = \lim_{n \to \infty} \left( \frac{2}{\sqrt{1 + \frac{2}{n}} + 1} \right) \] Bước 4: Tính giới hạn khi \( n \to \infty \): \[ A = \frac{2}{\sqrt{1 + 0} + 1} \] \[ A = \frac{2}{1 + 1} \] \[ A = \frac{2}{2} \] \[ A = 1 \] Vậy giá trị của \( A \) là 1. Đáp án đúng là C. 1. Câu 28. Để giải quyết các bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bài toán 1: Tính giá trị của \( A = \lim_{x \to 2} (2x^2 - 3x + 7) \) Bước 1: Thay \( x = 2 \) vào biểu thức \( 2x^2 - 3x + 7 \). \[ A = 2(2)^2 - 3(2) + 7 \] Bước 2: Tính toán từng phần. \[ = 2 \cdot 4 - 3 \cdot 2 + 7 \] \[ = 8 - 6 + 7 \] \[ = 9 \] Vậy giá trị của \( A \) là 9. Đáp án đúng là B. 9. Bài toán 2: Tính giá trị của \( \lim_{x \to x_0} [4f(x) + 5g(x)] \) biết rằng \( \lim_{x \to x_0} f(x) = -3 \) và \( \lim_{x \to x_0} g(x) = 2 \) Bước 1: Áp dụng tính chất giới hạn của tổng và tích của các hàm số. \[ \lim_{x \to x_0} [4f(x) + 5g(x)] = 4 \lim_{x \to x_0} f(x) + 5 \lim_{x \to x_0} g(x) \] Bước 2: Thay các giới hạn đã biết vào biểu thức. \[ = 4(-3) + 5(2) \] \[ = -12 + 10 \] \[ = -2 \] Vậy giá trị của \( \lim_{x \to x_0} [4f(x) + 5g(x)] \) là -2. Kết luận: - Giá trị của \( A = \lim_{x \to 2} (2x^2 - 3x + 7) \) là 9. - Giá trị của \( \lim_{x \to x_0} [4f(x) + 5g(x)] \) là -2. Câu 29. Để giải quyết câu hỏi về giới hạn, chúng ta cần biết cụ thể biểu thức giới hạn nào đang được đề cập. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho (-1, 22, -2, 2), tôi sẽ giả sử rằng chúng ta đang xét giới hạn của một hàm số đơn giản hoặc một biểu thức đại số. Giả sử chúng ta có biểu thức giới hạn như sau: \[ \lim_{x \to a} f(x) \] Trước tiên, chúng ta cần xác định giá trị của \(a\) và biểu thức \(f(x)\). Sau đó, chúng ta sẽ tính giới hạn theo các phương pháp phù hợp. Ví dụ, nếu chúng ta có biểu thức: \[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \] Chúng ta có thể thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định: Biểu thức \(\frac{x^2 - 4}{x - 2}\) có nghĩa là \(x \neq 2\). 2. Rút gọn biểu thức: Ta nhận thấy rằng \(x^2 - 4\) là một hiệu hai bình phương, do đó: \[ x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2) \] Vậy biểu thức trở thành: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \] Khi \(x \neq 2\), ta có thể rút gọn: \[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \] 3. Tính giới hạn: Bây giờ, ta tính giới hạn của biểu thức đã rút gọn: \[ \lim_{x \to 2} (x + 2) = 2 + 2 = 4 \] Như vậy, trong trường hợp này, giới hạn của biểu thức là 4, nhưng vì các lựa chọn đã cho là -1, 22, -2, 2, nên chúng ta cần kiểm tra lại biểu thức ban đầu hoặc các lựa chọn đã cho để đảm bảo tính đúng đắn. Nếu chúng ta có biểu thức khác, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp tương tự để tính giới hạn. Câu 30. Để tìm giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2, ta cần kiểm tra giới hạn từ bên trái và bên phải của điểm \( x = 2 \). 1. Giới hạn từ bên trái (\( x \to 2^- \)): Khi \( x < 2 \), hàm số \( f(x) = x - 1 \). Do đó: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^-} (x - 1) = 2 - 1 = 1 \] 2. Giới hạn từ bên phải (\( x \to 2^+ \)): Khi \( x \geq 2 \), hàm số \( f(x) = x^2 - 3 \). Do đó: \[ \lim_{x \to 2^+} f(x) = \lim_{x \to 2^+} (x^2 - 3) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1 \] 3. So sánh hai giới hạn: Ta thấy rằng: \[ \lim_{x \to 2^-} f(x) = 1 \quad \text{và} \quad \lim_{x \to 2^+} f(x) = 1 \] Vì cả hai giới hạn từ bên trái và bên phải đều bằng nhau và bằng 1, nên giới hạn của hàm số \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến 2 tồn tại và bằng 1. Do đó, đáp án đúng là: C. 1. Câu 31. Để kiểm tra tính liên tục của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 1 \), ta cần kiểm tra ba điều kiện sau: 1. \( f(1) \) tồn tại. 2. Giới hạn \( \lim_{x \to 1} f(x) \) tồn tại. 3. \( \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \). Bước 1: Kiểm tra \( f(1) \) Theo định nghĩa của hàm số, khi \( x = 1 \), ta có \( f(1) = 2 \). Vậy \( f(1) \) tồn tại và bằng 2. Bước 2: Tính giới hạn \( \lim_{x \to 1} f(x) \) Khi \( x \neq 1 \), ta có: \[ f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \] Ta nhận thấy rằng \( x^2 - 1 \) có thể phân tích thành \( (x - 1)(x + 1) \): \[ f(x) = \frac{(x - 1)(x + 1)}{x - 1} \] Khi \( x \neq 1 \), ta có thể giản ước \( x - 1 \) ở tử số và mẫu số: \[ f(x) = x + 1 \] Do đó, giới hạn khi \( x \to 1 \) là: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = \lim_{x \to 1} (x + 1) = 1 + 1 = 2 \] Bước 3: So sánh giới hạn và giá trị của hàm số tại điểm \( x = 1 \) Ta đã có: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = 2 \] và \[ f(1) = 2 \] Vậy: \[ \lim_{x \to 1} f(x) = f(1) \] Từ đó, hàm số \( f(x) \) liên tục tại điểm \( x = 1 \). Kết luận: Hàm số \( f(x) \) liên tục trên \( \mathbb{R} \). Đáp án đúng là: A. Hàm số liên tục trên \( \mathbb{R} \).