Luuuuuuuuuuuuuuuu

Câu 1. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các công thức biến đổi tổng thành tích và các công thức lượng giác cơ bản. Bước 1: Biến đổi tử số và mẫu số của biểu thức. Tử số: \[ \sin \alpha + \sin 2\alpha = \sin \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha = \sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \] Mẫu số: \[ 1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha = 1 + \cos \alpha + (2 \cos^2 \alpha - 1) = \cos \alpha + 2 \cos^2 \alpha = \cos \alpha (1 + 2 \cos \alpha) \] Bước 2: Thay tử số và mẫu số đã biến đổi vào biểu thức ban đầu. \[ \frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha} = \frac{\sin \alpha (1 + 2 \cos \alpha)}{\cos \alpha (1 + 2 \cos \alpha)} \] Bước 3: Rút gọn biểu thức. \[ = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \tan \alpha \] Vậy biểu thức $\frac{\sin \alpha + \sin 2\alpha}{1 + \cos \alpha + \cos 2\alpha}$ bằng $\tan \alpha$. Đáp án đúng là: D. $\tan \alpha$. Câu 2. Để tính giá trị của $\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})$, ta sử dụng công thức cộng góc cho sin: \[ \sin(\alpha + \beta) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \] Trong đó, $\beta = \frac{\pi}{6}$. Ta đã biết: \[ \sin \alpha = \frac{1}{3} \] \[ \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}, \quad \cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Bây giờ, ta cần tìm $\cos \alpha$. Vì $\alpha$ nằm trong khoảng $(\frac{\pi}{2}, \pi)$, nên $\cos \alpha$ sẽ là âm. Ta sử dụng công thức Pythagoras để tìm $\cos \alpha$: \[ \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \left( \frac{1}{3} \right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \frac{1}{9} + \cos^2 \alpha = 1 \] \[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{1}{9} = \frac{8}{9} \] \[ \cos \alpha = -\sqrt{\frac{8}{9}} = -\frac{2\sqrt{2}}{3} \] Bây giờ, ta thay các giá trị vào công thức cộng góc: \[ \sin(\alpha + \frac{\pi}{6}) = \sin \alpha \cos \frac{\pi}{6} + \cos \alpha \sin \frac{\pi}{6} \] \[ = \left( \frac{1}{3} \right) \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right) + \left( -\frac{2\sqrt{2}}{3} \right) \left( \frac{1}{2} \right) \] \[ = \frac{\sqrt{3}}{6} - \frac{2\sqrt{2}}{6} \] \[ = \frac{\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{6} \] Vậy giá trị của $\sin(\alpha + \frac{\pi}{6})$ là: \[ \boxed{\frac{\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{6}} \] Đáp án đúng là: C. $\frac{\sqrt{3} - 2\sqrt{2}}{6}$. Câu 3. Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan(2x - \frac{\pi}{4}) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu tang không thuộc các giá trị làm cho tang không xác định. Tang không xác định tại các điểm \( \frac{\pi}{2} + k\pi \) với \( k \in \mathbb{Z} \). Bước 1: Xác định điều kiện để hàm số \( \tan(2x - \frac{\pi}{4}) \) xác định: \[ 2x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Bước 2: Giải phương trình trên để tìm \( x \): \[ 2x - \frac{\pi}{4} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{4} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{3\pi}{4} + k\pi \] \[ x \neq \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \] Do đó, đáp án đúng là: D. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{3\pi}{8} + \frac{k\pi}{2} \mid k \in \mathbb{Z} \right\} \). Câu 4. Để xác định hàm số nào có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O, ta cần kiểm tra tính chất của hàm số đó. Một hàm số có đồ thị đối xứng qua gốc tọa độ O nếu nó là hàm lẻ, tức là \( f(-x) = -f(x) \). Ta sẽ kiểm tra từng hàm số: A. \( y = \sin |x| \) - Ta có \( f(x) = \sin |x| \) - Kiểm tra tính chất hàm lẻ: \( f(-x) = \sin |-x| = \sin |x| = f(x) \) - Kết luận: Hàm số này là hàm chẵn, không phải hàm lẻ. B. \( y = 3 + \cos 2x \) - Ta có \( f(x) = 3 + \cos 2x \) - Kiểm tra tính chất hàm lẻ: \( f(-x) = 3 + \cos 2(-x) = 3 + \cos 2x = f(x) \) - Kết luận: Hàm số này là hàm chẵn, không phải hàm lẻ. C. \( y = \tan x + 2 \sin x \) - Ta có \( f(x) = \tan x + 2 \sin x \) - Kiểm tra tính chất hàm lẻ: \( f(-x) = \tan (-x) + 2 \sin (-x) = -\tan x - 2 \sin x = -(\tan x + 2 \sin x) = -f(x) \) - Kết luận: Hàm số này là hàm lẻ. D. \( y = \cos \sqrt{x} \) - Ta có \( f(x) = \cos \sqrt{x} \) - Kiểm tra tính chất hàm lẻ: \( f(-x) = \cos \sqrt{-x} \) (không xác định vì căn bậc hai của số âm không tồn tại trong tập số thực) - Kết luận: Hàm số này không phải hàm lẻ. Từ các kiểm tra trên, ta thấy rằng chỉ có hàm số \( y = \tan x + 2 \sin x \) là hàm lẻ, do đó đồ thị của nó đối xứng qua gốc tọa độ O. Đáp án đúng là: C. \( y = \tan x + 2 \sin x \). Câu 5. Để giải phương trình $3\sin^2x - \sin x - 4 = 0$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định biến và phương trình Gọi $\sin x = t$. Phương trình trở thành: \[3t^2 - t - 4 = 0\] Bước 2: Giải phương trình bậc hai Phương trình $3t^2 - t - 4 = 0$ có dạng $at^2 + bt + c = 0$ với $a = 3$, $b = -1$, $c = -4$. Tính $\Delta = b^2 - 4ac$: \[ \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4) = 1 + 48 = 49 \] Vì $\Delta > 0$, phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[ t_{1} = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 + 7}{6} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3} \] \[ t_{2} = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1 - 7}{6} = \frac{-6}{6} = -1 \] Bước 3: Tìm giá trị của $\sin x$ Do $\sin x = t$, ta có: \[ \sin x = \frac{4}{3} \quad \text{hoặc} \quad \sin x = -1 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện - $\sin x = \frac{4}{3}$ không thỏa mãn vì $\sin x$ nằm trong khoảng $[-1, 1]$. - $\sin x = -1$ thỏa mãn vì $-1$ nằm trong khoảng $[-1, 1]$. Vậy phương trình $3\sin^2x - \sin x - 4 = 0$ tương đương với $\sin x = -1$. Đáp án đúng là: C. $\sin x = -1$. Câu 6. Để xác định tính chất của dãy số $(u_n)$, ta cần so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$. Ta có: \[ u_n = \frac{n+5}{n+2} \] Tính $u_{n+1}$: \[ u_{n+1} = \frac{(n+1)+5}{(n+1)+2} = \frac{n+6}{n+3} \] Bây giờ, ta so sánh $u_{n+1}$ với $u_n$: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{n+6}{n+3} - \frac{n+5}{n+2} \] Quy đồng mẫu số: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(n+6)(n+2) - (n+5)(n+3)}{(n+3)(n+2)} \] Mở rộng và giản ước: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{(n^2 + 8n + 12) - (n^2 + 8n + 15)}{(n+3)(n+2)} \] \[ u_{n+1} - u_n = \frac{n^2 + 8n + 12 - n^2 - 8n - 15}{(n+3)(n+2)} \] \[ u_{n+1} - u_n = \frac{-3}{(n+3)(n+2)} \] Vì $(n+3)(n+2) > 0$ với mọi $n \geq 1$, nên: \[ u_{n+1} - u_n = \frac{-3}{(n+3)(n+2)} < 0 \] Do đó, $u_{n+1} < u_n$ với mọi $n \geq 1$. Điều này chứng tỏ dãy số $(u_n)$ là dãy số giảm. Vậy mệnh đề đúng là: B. $(u_n)$ là dãy số giảm. Câu 7. Trước tiên, ta biết rằng a, b, c lập thành một cấp số cộng. Điều này có nghĩa là: \[ b - a = c - b \] Từ đó suy ra: \[ 2b = a + c \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức đã cho để tìm ra đẳng thức đúng. A. \( a^2 + c^2 = 2ab + 2bc \) B. \( a^2 - c^2 = 2ab - 2bc \) C. \( a^2 + c^2 = 2ab - 2bc \) D. \( a^2 - c^2 = ab - bc \) Ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức: 1. Kiểm tra đẳng thức A: \[ a^2 + c^2 = 2ab + 2bc \] Thay \( b = \frac{a + c}{2} \) vào: \[ a^2 + c^2 = 2a \left( \frac{a + c}{2} \right) + 2c \left( \frac{a + c}{2} \right) \] \[ a^2 + c^2 = a(a + c) + c(a + c) \] \[ a^2 + c^2 = a^2 + ac + ac + c^2 \] \[ a^2 + c^2 = a^2 + 2ac + c^2 \] Đẳng thức này không đúng vì \( a^2 + c^2 \neq a^2 + 2ac + c^2 \). 2. Kiểm tra đẳng thức B: \[ a^2 - c^2 = 2ab - 2bc \] Thay \( b = \frac{a + c}{2} \) vào: \[ a^2 - c^2 = 2a \left( \frac{a + c}{2} \right) - 2c \left( \frac{a + c}{2} \right) \] \[ a^2 - c^2 = a(a + c) - c(a + c) \] \[ a^2 - c^2 = a^2 + ac - ac - c^2 \] \[ a^2 - c^2 = a^2 - c^2 \] Đẳng thức này đúng. 3. Kiểm tra đẳng thức C: \[ a^2 + c^2 = 2ab - 2bc \] Thay \( b = \frac{a + c}{2} \) vào: \[ a^2 + c^2 = 2a \left( \frac{a + c}{2} \right) - 2c \left( \frac{a + c}{2} \right) \] \[ a^2 + c^2 = a(a + c) - c(a + c) \] \[ a^2 + c^2 = a^2 + ac - ac - c^2 \] \[ a^2 + c^2 = a^2 - c^2 \] Đẳng thức này không đúng vì \( a^2 + c^2 \neq a^2 - c^2 \). 4. Kiểm tra đẳng thức D: \[ a^2 - c^2 = ab - bc \] Thay \( b = \frac{a + c}{2} \) vào: \[ a^2 - c^2 = a \left( \frac{a + c}{2} \right) - c \left( \frac{a + c}{2} \right) \] \[ a^2 - c^2 = \frac{a(a + c)}{2} - \frac{c(a + c)}{2} \] \[ a^2 - c^2 = \frac{a^2 + ac - ac - c^2}{2} \] \[ a^2 - c^2 = \frac{a^2 - c^2}{2} \] Đẳng thức này không đúng vì \( a^2 - c^2 \neq \frac{a^2 - c^2}{2} \). Vậy đẳng thức đúng là: \[ a^2 - c^2 = 2ab - 2bc \] Đáp án: B. \( a^2 - c^2 = 2ab - 2bc \) Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định công bội của cấp số nhân. 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $u_4 + \frac{1024}{u_7}$. 3. Tính tổng $S = u_{11} + u_{12} + ... + u_{20}$. Bước 1: Xác định công bội của cấp số nhân. Gọi công bội của cấp số nhân là $q$. Ta có: \[ u_4 = u_1 \cdot q^3 = 2q^3 \] \[ u_7 = u_1 \cdot q^6 = 2q^6 \] Biểu thức cần tối thiểu là: \[ u_4 + \frac{1024}{u_7} = 2q^3 + \frac{1024}{2q^6} = 2q^3 + \frac{512}{q^6} \] Bước 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $2q^3 + \frac{512}{q^6}$. Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \[ 2q^3 + \frac{512}{q^6} \geq 2\sqrt{2q^3 \cdot \frac{512}{q^6}} = 2\sqrt{\frac{1024}{q^3}} = 2 \cdot \frac{32}{q^{3/2}} = \frac{64}{q^{3/2}} \] Để biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất, ta cần: \[ 2q^3 = \frac{512}{q^6} \] \[ 2q^9 = 512 \] \[ q^9 = 256 \] \[ q = 2^{4/9} \] Bước 3: Tính tổng $S = u_{11} + u_{12} + ... + u_{20}$. Ta có: \[ u_{11} = u_1 \cdot q^{10} = 2 \cdot (2^{4/9})^{10} = 2 \cdot 2^{40/9} = 2^{49/9} \] \[ u_{20} = u_1 \cdot q^{19} = 2 \cdot (2^{4/9})^{19} = 2 \cdot 2^{76/9} = 2^{85/9} \] Tổng $S$ là: \[ S = u_{11} + u_{12} + ... + u_{20} \] Sử dụng công thức tổng của cấp số nhân: \[ S = u_{11} \cdot \frac{q^{10} - 1}{q - 1} \] \[ S = 2^{49/9} \cdot \frac{(2^{4/9})^{10} - 1}{2^{4/9} - 1} \] \[ S = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} \] Để đơn giản hóa, ta nhận thấy rằng: \[ S = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} \] Do đó, ta có: \[ S = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} \] Cuối cùng, ta nhận thấy rằng: \[ S = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} = 2^{49/9} \cdot \frac{2^{40/9} - 1}{2^{4/9} - 1} \] Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{D. S = 1047552} \] Câu 9. Để tính số hạng \( u_{200} \) của dãy số \( (u_n) \) với điều kiện \( u_1 = 3 \) và \( u_{n+1} = 3u_n - 4 \), chúng ta sẽ sử dụng phương pháp quy nạp để tìm công thức tổng quát của dãy số. Bước 1: Xác định công thức tổng quát của dãy số. Giả sử \( u_n = a \cdot 3^n + b \). Ta sẽ tìm \( a \) và \( b \) sao cho công thức này thỏa mãn điều kiện ban đầu và quy luật của dãy số. Bước 2: Thay vào điều kiện ban đầu \( u_1 = 3 \): \[ u_1 = a \cdot 3^1 + b = 3a + b = 3 \] Bước 3: Thay vào quy luật của dãy số \( u_{n+1} = 3u_n - 4 \): \[ u_{n+1} = a \cdot 3^{n+1} + b \] \[ 3u_n - 4 = 3(a \cdot 3^n + b) - 4 = 3a \cdot 3^n + 3b - 4 \] So sánh hai biểu thức trên: \[ a \cdot 3^{n+1} + b = 3a \cdot 3^n + 3b - 4 \] Điều này dẫn đến: \[ a \cdot 3^{n+1} + b = 3a \cdot 3^n + 3b - 4 \] Phân tích hệ số của \( 3^n \): \[ a \cdot 3^{n+1} = 3a \cdot 3^n \] \[ b = 3b - 4 \] Từ đây, ta có: \[ b = 2 \] Thay \( b = 2 \) vào phương trình \( 3a + b = 3 \): \[ 3a + 2 = 3 \] \[ 3a = 1 \] \[ a = \frac{1}{3} \] Vậy công thức tổng quát của dãy số là: \[ u_n = \frac{1}{3} \cdot 3^n + 2 = 3^{n-1} + 2 \] Bước 4: Tính \( u_{200} \): \[ u_{200} = 3^{200-1} + 2 = 3^{199} + 2 \] Vậy đáp án đúng là: D. \( 3^{199} + 2 \)