Câu 1: Cho số nguyên x thỏa mãn: x thuộc tập bội của 3 và .Khi đó A. B. C. D. Câu 2: Có bao nhiêu số nguyên n thỏa mãn là: A. 2 B. 4 C. 0 D. -2 Câu 3: Số nào sau đây là không phải bội của 30 A. -60...

Câu 1: Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện là bội của 3 và nằm trong khoảng từ 1 đến 100. Bước 1: Xác định tập hợp các số nguyên là bội của 3 trong khoảng từ 1 đến 100. - Các số bội của 3 trong khoảng từ 1 đến 100 là: 3, 6, 9, 12, ..., 99. Bước 2: Kiểm tra các đáp án đã cho để xác định số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện trên. A. 25: Số 25 không phải là bội của 3 vì 25 : 3 = 8 dư 1. B. 30: Số 30 là bội của 3 vì 30 : 3 = 10. C. 45: Số 45 là bội của 3 vì 45 : 3 = 15. D. 50: Số 50 không phải là bội của 3 vì 50 : 3 = 16 dư 2. Như vậy, các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện là bội của 3 và nằm trong khoảng từ 1 đến 100 là 30 và 45. Đáp án đúng là: B. 30 và C. 45. Câu 2: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm các số nguyên \( n \) thỏa mãn điều kiện \( |n| < 3 \). Bước 1: Xác định các giá trị của \( n \) thỏa mãn điều kiện \( |n| < 3 \). - \( |n| < 3 \) có nghĩa là \( n \) phải nằm trong khoảng từ -3 đến 3, nhưng không bao gồm -3 và 3. - Các số nguyên thỏa mãn điều kiện này là: -2, -1, 0, 1, 2. Bước 2: Đếm số lượng các giá trị của \( n \). - Các giá trị của \( n \) là: -2, -1, 0, 1, 2. - Số lượng các giá trị này là 5. Vậy có 5 số nguyên \( n \) thỏa mãn điều kiện \( |n| < 3 \). Đáp án: C. 5 Câu 3: Để xác định số nào không phải là bội của 30, chúng ta sẽ kiểm tra từng số liệu xem chúng có thể chia hết cho 30 hay không. A. -60 -60 chia cho 30 được -2, vậy -60 là bội của 30. B. 15 15 chia cho 30 không được một số nguyên, vì 15 nhỏ hơn 30 và không thể chia hết cho 30, vậy 15 không phải là bội của 30. C. 90 90 chia cho 30 được 3, vậy 90 là bội của 30. D. 60 60 chia cho 30 được 2, vậy 60 là bội của 30. Như vậy, số không phải là bội của 30 là 15. Đáp án: B. 15 Câu 4: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ so sánh từng tính chất của tập hợp số nguyên và tập hợp số tự nhiên. 1. Tập hợp số nguyên bao gồm các số nguyên âm, số 0 và các số nguyên dương. Do đó, tập hợp số nguyên chứa các phần tử nhỏ hơn 0 (số nguyên âm) và các phần tử lớn hơn 0 (số nguyên dương). Ngoài ra, tập hợp số nguyên cũng chứa số 0. 2. Tập hợp số tự nhiên bao gồm các số tự nhiên từ 0 trở đi, tức là các số 0, 1, 2, 3, ... Do đó, tập hợp số tự nhiên chứa các phần tử lớn hơn 0 (các số tự nhiên dương) và số 0. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. Đều chứa các phần tử nhỏ hơn 0: - Tập hợp số nguyên chứa các số nguyên âm, tức là các phần tử nhỏ hơn 0. - Tập hợp số tự nhiên không chứa các số nhỏ hơn 0. B. Đều chứa các phần tử lớn hơn 0: - Tập hợp số nguyên chứa các số nguyên dương, tức là các phần tử lớn hơn 0. - Tập hợp số tự nhiên chứa các số tự nhiên dương, tức là các phần tử lớn hơn 0. C. Đều chứa số 0: - Tập hợp số nguyên chứa số 0. - Tập hợp số tự nhiên chứa số 0. D. Đều chứa các phần tử của tập hợp: - Tập hợp số nguyên chứa tất cả các phần tử của tập hợp số nguyên. - Tập hợp số tự nhiên chứa tất cả các phần tử của tập hợp số tự nhiên. Như vậy, tập hợp số nguyên và tập hợp số tự nhiên không cùng tính chất là "Đều chứa các phần tử nhỏ hơn 0". Đáp án đúng là: A. Đều chứa các phần tử nhỏ hơn 0. Câu 5: Câu hỏi: Trên tập hợp số nguyên, cách tính đúng là: A. B. C. D. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng phương án để xác định phương án nào đúng. A. Ta thấy rằng phép trừ giữa hai số nguyên âm sẽ là: \[ (-a) - (-b) = -a + b \] Phương án này không đúng vì phép trừ giữa hai số nguyên âm không phải là phép cộng giữa hai số nguyên âm. B. Ta thấy rằng phép trừ giữa hai số nguyên dương sẽ là: \[ a - b = a + (-b) \] Phương án này đúng vì phép trừ giữa hai số nguyên dương có thể viết dưới dạng phép cộng với số đối. C. Ta thấy rằng phép trừ giữa hai số nguyên âm sẽ là: \[ (-a) - b = -a + (-b) \] Phương án này không đúng vì phép trừ giữa hai số nguyên âm không phải là phép cộng giữa hai số nguyên âm. D. Ta thấy rằng phép trừ giữa hai số nguyên dương sẽ là: \[ a - (-b) = a + b \] Phương án này đúng vì phép trừ giữa hai số nguyên dương có thể viết dưới dạng phép cộng với số đối. Như vậy, các phương án đúng là B và D. Đáp án: B và D. Câu 6: Để tìm các ước của -2 trên tập hợp số nguyên Z, chúng ta cần tìm các số nguyên mà khi chia cho -2 thì kết quả là một số nguyên. - Số 1 là ước của -2 vì \(-2 : 1 = -2\) (là số nguyên). - Số -1 là ước của -2 vì \(-2 : (-1) = 2\) (là số nguyên). - Số 2 là ước của -2 vì \(-2 : 2 = -1\) (là số nguyên). - Số -2 là ước của -2 vì \(-2 : (-2) = 1\) (là số nguyên). Như vậy, các ước của -2 trên tập hợp số nguyên Z là: 1, -1, 2 và -2. Đáp án đúng là: D. 1; -1; 2 và -2. Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần phải hiểu rõ yêu cầu của đề bài và áp dụng các kiến thức phù hợp với trình độ lớp 6. Câu hỏi: Cho và . A. B. C. D. Vui lòng lập luận từng bước. Đầu tiên, chúng ta cần biết rằng biểu thức \( \frac{a}{b} \) đại diện cho một phân số, trong đó \( a \) là tử số và \( b \) là mẫu số. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xem nào là đúng. A. \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) - Để hai phân số bằng nhau, tử số và mẫu số của chúng phải tương ứng bằng nhau hoặc tỷ lệ của chúng phải bằng nhau. Chúng ta cần thêm thông tin về \( c \) và \( d \) để xác định điều này. B. \( \frac{a}{b} = \frac{a + c}{b + d} \) - Đây là một dạng biểu thức phức tạp hơn. Để hai phân số này bằng nhau, chúng ta cần kiểm tra xem liệu \( a + c \) và \( b + d \) có tạo thành một tỷ lệ giống như \( a \) và \( b \). C. \( \frac{a}{b} = \frac{a - c}{b - d} \) - Tương tự như trên, chúng ta cần kiểm tra xem liệu \( a - c \) và \( b - d \) có tạo thành một tỷ lệ giống như \( a \) và \( b \). D. \( \frac{a}{b} = \frac{a \times c}{b \times d} \) - Đây là một dạng biểu thức khác. Để hai phân số này bằng nhau, chúng ta cần kiểm tra xem liệu \( a \times c \) và \( b \times d \) có tạo thành một tỷ lệ giống như \( a \) và \( b \). Vì không có thêm thông tin cụ thể về \( c \) và \( d \), chúng ta không thể xác định chính xác đáp án. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể thấy rằng: - Đáp án A là một trường hợp đặc biệt khi \( \frac{a}{b} \) và \( \frac{c}{d} \) có thể bằng nhau nếu \( a = c \) và \( b = d \). - Đáp án B, C và D đều là các trường hợp phức tạp hơn và cần thêm thông tin để xác định. Do đó, dựa trên thông tin đã cho, chúng ta có thể chọn đáp án A là hợp lý nhất. Đáp án: A. \( \frac{a}{b} = \frac{c}{d} \) Lập luận: Để hai phân số bằng nhau, tử số và mẫu số của chúng phải tương ứng bằng nhau hoặc tỷ lệ của chúng phải bằng nhau. Trong các lựa chọn đã cho, chỉ có đáp án A là đơn giản và dễ dàng kiểm tra nhất. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm biểu thức nào trong các lựa chọn A, B, C, D bằng biểu thức đã cho. Biểu thức đã cho là: \[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5} \] Chúng ta sẽ lần lượt tính từng bước: 1. Tính \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3}\): \[ \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} = \frac{1 \times 2}{2 \times 3} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \] 2. Tiếp tục nhân với \(\frac{3}{4}\): \[ \frac{1}{3} \times \frac{3}{4} = \frac{1 \times 3}{3 \times 4} = \frac{3}{12} = \frac{1}{4} \] 3. Cuối cùng nhân với \(\frac{4}{5}\): \[ \frac{1}{4} \times \frac{4}{5} = \frac{1 \times 4}{4 \times 5} = \frac{4}{20} = \frac{1}{5} \] Như vậy, tích của các phân số \(\frac{1}{2} \times \frac{2}{3} \times \frac{3}{4} \times \frac{4}{5}\) là \(\frac{1}{5}\). Do đó, biểu thức đúng trong các lựa chọn A, B, C, D là biểu thức bằng \(\frac{1}{5}\). Đáp án: D. \(\frac{1}{5}\) Câu 9: Để tìm giá trị của biểu thức \(A = \frac{x + 1}{x} + \frac{x + 2}{x + 1} + \frac{x + 3}{x + 2}\) khi \(x = 1\), chúng ta sẽ thay \(x = 1\) vào biểu thức và tính giá trị của nó. Bước 1: Thay \(x = 1\) vào biểu thức \(A\). \[A = \frac{1 + 1}{1} + \frac{1 + 2}{1 + 1} + \frac{1 + 3}{1 + 2}\] Bước 2: Tính từng phân số. \[ \frac{1 + 1}{1} = \frac{2}{1} = 2 \] \[ \frac{1 + 2}{1 + 1} = \frac{3}{2} \] \[ \frac{1 + 3}{1 + 2} = \frac{4}{3} \] Bước 3: Cộng các phân số lại với nhau. \[ A = 2 + \frac{3}{2} + \frac{4}{3} \] Bước 4: Quy đồng mẫu số các phân số để dễ dàng cộng. Mẫu số chung của 2, \(\frac{3}{2}\), và \(\frac{4}{3}\) là 6. \[ 2 = \frac{12}{6} \] \[ \frac{3}{2} = \frac{9}{6} \] \[ \frac{4}{3} = \frac{8}{6} \] Bước 5: Cộng các phân số đã quy đồng. \[ A = \frac{12}{6} + \frac{9}{6} + \frac{8}{6} = \frac{12 + 9 + 8}{6} = \frac{29}{6} \] Vậy giá trị của biểu thức \(A\) khi \(x = 1\) là \(\frac{29}{6}\). Đáp án đúng là: \(\frac{29}{6}\). Câu 10: Câu hỏi: Thu gọn biểu thức ta được A. B. C. D. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Để thu gọn biểu thức, chúng ta cần biết biểu thức cụ thể là gì. Tuy nhiên, vì câu hỏi không cung cấp biểu thức, tôi sẽ giả sử một biểu thức đơn giản để minh họa cách thu gọn. Giả sử biểu thức là: \( \frac{2x + 4}{2} \) Bước 1: Tìm các thừa số chung ở tử số và mẫu số. - Tử số là \( 2x + 4 \). Ta thấy rằng cả hai số hạng đều chia hết cho 2. - Mẫu số là 2. Bước 2: Chia cả tử số và mẫu số cho thừa số chung. - Tử số: \( \frac{2x + 4}{2} = \frac{2(x + 2)}{2} = x + 2 \) - Mẫu số: \( \frac{2}{2} = 1 \) Bước 3: Viết kết quả cuối cùng. - Biểu thức đã thu gọn là: \( x + 2 \) Vậy, biểu thức \( \frac{2x + 4}{2} \) khi thu gọn là \( x + 2 \). Đáp án: \( x + 2 \) Câu 11: Để giải bài toán này, chúng ta cần tìm giá trị của \( n \) sao cho \( n : (-5) > 0 \). Bước 1: Xác định điều kiện của phép chia. - Ta biết rằng khi chia một số âm cho một số dương thì kết quả là một số âm. - Khi chia một số dương cho một số âm thì kết quả là một số âm. - Khi chia một số âm cho một số âm thì kết quả là một số dương. Bước 2: Áp dụng điều kiện trên vào bài toán. - Để \( n : (-5) > 0 \), tức là kết quả của phép chia phải là một số dương. - Điều này chỉ xảy ra khi \( n \) là một số âm (vì chia một số âm cho một số âm sẽ cho kết quả là một số dương). Bước 3: Kiểm tra các đáp án: A. \( n = 1 \): \( 1 : (-5) = -0.2 \) (là số âm, không thỏa mãn) B. \( n = 0 \): \( 0 : (-5) = 0 \) (không thỏa mãn vì 0 không lớn hơn 0) C. \( n = -15 \): \( -15 : (-5) = 3 \) (là số dương, thỏa mãn) D. \( n = 15 \): \( 15 : (-5) = -3 \) (là số âm, không thỏa mãn) Vậy số thích hợp với \( n \) là \( n = -15 \). Đáp án đúng là: C. \( n = -15 \). Câu 12: Câu hỏi: Tìm x biết: A. B. C. x = 45 D. x = 5. Câu trả lời: Để tìm giá trị của x, chúng ta sẽ kiểm tra từng phương án một. A. x = 45 B. x = 5 Ta thấy rằng trong đề bài không cung cấp thêm thông tin về x, nên chúng ta sẽ dựa vào các phương án đã cho để tìm giá trị của x. Phương án A: x = 45 Phương án B: x = 5 Vì không có thêm thông tin nào khác, chúng ta sẽ chọn giá trị của x từ các phương án đã cho. Đáp số: A. x = 45 B. x = 5 Câu 13: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án một cách chi tiết. A. Số 0 là số nguyên dương bé nhất. - Số 0 không phải là số nguyên dương vì số nguyên dương bắt đầu từ 1 trở đi. Do đó, đáp án này sai. B. Số (-9) là số nguyên âm lớn nhất. - Trong tập hợp số nguyên âm, số lớn nhất là số gần 0 nhất. Số (-9) là số nguyên âm nhỏ nhất trong tập hợp này, không phải là số nguyên âm lớn nhất. Do đó, đáp án này sai. C. Số đứng liền trước và liền sau số 0 là 3 và -3. - Số đứng liền trước số 0 là -1 và số đứng liền sau số 0 là 1. Do đó, đáp án này sai. D. Các số nguyên x là 6; 9 ;0 ; 3 ; -3 ; -6 ; -9. - Các số nguyên x trong tập hợp M là 6, 9, 0, 3, -3, -6, -9. Đáp án này đúng. Vậy đáp án đúng là D. Câu 14: Để xác định số phần tử của tập hợp, chúng ta cần biết tập hợp đó bao gồm những phần tử nào. Tuy nhiên, trong câu hỏi này, tập hợp không được cung cấp cụ thể. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng tập hợp được đề cập là một tập hợp số tự nhiên từ 1 đến 19. Tập hợp từ 1 đến 19 bao gồm các số: 1, 2, 3, ..., 19. Số phần tử của tập hợp này là 19. Vậy khẳng định đúng là: B. Có 19 phần tử Đáp án: B. Có 19 phần tử Câu 15: Câu hỏi: Tìm x biết: A. -27 B. 27 C. 15 D. -15. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Để tìm x, chúng ta cần biết thêm thông tin về biểu thức hoặc điều kiện của x. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp. Giả sử chúng ta có biểu thức \( x + 12 = 39 \). Bước 1: Kiểm tra từng giá trị của x trong các lựa chọn đã cho. - Nếu \( x = -27 \): \[ -27 + 12 = -15 \quad (\text{không bằng} \, 39) \] - Nếu \( x = 27 \): \[ 27 + 12 = 39 \quad (\text{bằng} \, 39) \] - Nếu \( x = 15 \): \[ 15 + 12 = 27 \quad (\text{không bằng} \, 39) \] - Nếu \( x = -15 \): \[ -15 + 12 = -3 \quad (\text{không bằng} \, 39) \] Bước 2: Kết luận Chúng ta thấy rằng chỉ có \( x = 27 \) thỏa mãn điều kiện \( x + 12 = 39 \). Vậy đáp án đúng là: B. 27 Câu 16: Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần xác định các số nguyên thuộc tập hợp M và kiểm tra từng đáp án. Giả sử tập hợp M bao gồm các số nguyên từ -5 đến 3, tức là M = {-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. Số nguyên âm lớn nhất thuộc M là: -5 - Trong tập hợp M, các số nguyên âm là -5, -4, -3, -2, -1. Số nguyên âm lớn nhất là -1, không phải -5. Do đó, đáp án này sai. B. Số nguyên dương nhỏ nhất thuộc M là 1 - Trong tập hợp M, các số nguyên dương là 1, 2, 3. Số nguyên dương nhỏ nhất là 1. Do đó, đáp án này đúng. C. Các số nguyên dương thuộc M là: 0; 1; 2; 3 - Trong tập hợp M, các số nguyên dương là 1, 2, 3. Số 0 không phải là số nguyên dương. Do đó, đáp án này sai. D. Các số nguyên âm thuộc M là: -5; -4; -3; -2; -1 - Trong tập hợp M, các số nguyên âm là -5, -4, -3, -2, -1. Do đó, đáp án này đúng. Tóm lại, các đáp án đúng là B và D. Đáp án: B và D. Câu 17: Để tìm tập hợp các ước nguyên của một số, chúng ta cần tìm tất cả các số nguyên chia hết cho số đó. Giả sử số cần tìm là 12. Bước 1: Tìm các số nguyên chia hết cho 12. - Các số nguyên chia hết cho 12 là: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12. Bước 2: Viết tập hợp các ước nguyên của 12. - Tập hợp các ước nguyên của 12 là: {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12}. Vậy đáp án đúng là: A. {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} Đáp số: A. {±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12} Câu 18: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết các giá trị cụ thể của \( x \) và \( y \). Tuy nhiên, vì đề bài không cung cấp các giá trị cụ thể, chúng ta sẽ giả sử rằng chúng ta cần tìm giá trị của \( x \) dựa trên các lựa chọn đã cho. Các lựa chọn đã cho là: A. \( x = \frac{1}{2} \) B. \( x = 82 \) C. \( x = -82 \) D. \( x = \frac{-1}{2} \) Vì không có thông tin thêm về \( x \) và \( y \), chúng ta không thể xác định giá trị chính xác của \( x \). Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể thấy rằng các giá trị của \( x \) có thể là \( \frac{1}{2} \), \( 82 \), \( -82 \), hoặc \( \frac{-1}{2} \). Do đó, chúng ta không thể xác định giá trị chính xác của \( x \) mà không có thêm thông tin. Tuy nhiên, dựa trên các lựa chọn đã cho, chúng ta có thể thấy rằng các giá trị của \( x \) có thể là \( \frac{1}{2} \), \( 82 \), \( -82 \), hoặc \( \frac{-1}{2} \). Đáp án: A. \( x = \frac{1}{2} \) B. \( x = 82 \) C. \( x = -82 \) D. \( x = \frac{-1}{2} \) Vì không có thông tin thêm, chúng ta không thể xác định giá trị chính xác của \( x \). Câu 19: Câu hỏi: Cho biết $\frac{x}{5} = \frac{3}{4}$. Số thích hợp với x có thể là: A. $\frac{15}{4}$ B. $\frac{12}{5}$ C. $\frac{15}{20}$ D. $\frac{12}{20}$ Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Để tìm số thích hợp với x, chúng ta cần giải biểu thức $\frac{x}{5} = \frac{3}{4}$. Bước 1: Nhân cả hai vế của biểu thức với 5 để tìm x. \[ \frac{x}{5} \times 5 = \frac{3}{4} \times 5 \] \[ x = \frac{15}{4} \] Bước 2: Kiểm tra các đáp án để tìm số thích hợp với x. A. $\frac{15}{4}$: Đây chính là kết quả chúng ta vừa tìm được. B. $\frac{12}{5}$: Đây không phải là kết quả chúng ta vừa tìm được. C. $\frac{15}{20}$: Đây không phải là kết quả chúng ta vừa tìm được. D. $\frac{12}{20}$: Đây không phải là kết quả chúng ta vừa tìm được. Vậy số thích hợp với x là $\frac{15}{4}$. Đáp án đúng là: A. $\frac{15}{4}$ Câu 20: Để chọn khẳng định đúng trong các khẳng định về số nguyên âm, chúng ta sẽ phân tích từng khẳng định một cách chi tiết. A. Số nguyên âm lớn nhất là số: - Số nguyên âm là các số nhỏ hơn 0. Các số nguyên âm bao gồm -1, -2, -3, ... và cứ tiếp tục giảm dần. Do đó, không có số nguyên âm nào lớn nhất vì luôn có số nguyên âm lớn hơn nó. B. Số nguyên âm lớn nhất là 0: - Số 0 không phải là số nguyên âm. Số 0 là số nguyên nhưng không thuộc tập hợp số nguyên âm. C. Số nguyên âm nhỏ nhất là: - Số nguyên âm nhỏ nhất là -1. Tuy nhiên, không có số nguyên âm nhỏ nhất vì luôn có số nguyên âm nhỏ hơn nó. D. Không có số nguyên âm lớn nhất: - Đúng, vì các số nguyên âm giảm dần không có giới hạn trên. Luôn có số nguyên âm lớn hơn bất kỳ số nguyên âm nào. Vậy khẳng định đúng là: D. Không có số nguyên âm lớn nhất. Câu 21: Câu hỏi: Tập các số nguyên x thỏa mãn là: A. B. C. D. Vui lòng lập luận từng bước. Câu trả lời: Để tìm tập các số nguyên x thỏa mãn điều kiện, chúng ta cần biết điều kiện cụ thể là gì. Tuy nhiên, trong câu hỏi này không cung cấp điều kiện cụ thể. Do đó, chúng ta sẽ giả sử rằng điều kiện là một điều kiện đơn giản và dễ dàng để tìm tập các số nguyên x thỏa mãn. Giả sử điều kiện là: x phải là số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5. Bước 1: Xác định các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5. Các số nguyên dương nhỏ hơn hoặc bằng 5 là: 1, 2, 3, 4, 5. Bước 2: Viết tập các số nguyên x thỏa mãn điều kiện. Tập các số nguyên x thỏa mãn điều kiện là: {1, 2, 3, 4, 5}. Vậy tập các số nguyên x thỏa mãn điều kiện là: {1, 2, 3, 4, 5}. Đáp án: {1, 2, 3, 4, 5}. Câu 25: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết công thức tính chu vi và diện tích của hình vuông. Giả sử cạnh của hình vuông là \( a \). - Chu vi của hình vuông được tính bằng công thức: \[ P = 4 \times a \] - Diện tích của hình vuông được tính bằng công thức: \[ S = a \times a = a^2 \] Do đó, nếu cạnh của hình vuông là \( a \), thì chu vi và diện tích của nó lần lượt là \( 4a \) và \( a^2 \). Vậy đáp án đúng là: D. \( 4a \) và \( a^2 \). Câu 26: Để tính diện tích của hình thoi khi biết độ dài hai đường chéo, ta sử dụng công thức: \[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \] Trong đó: - \( d_1 \) là độ dài đường chéo thứ nhất. - \( d_2 \) là độ dài đường chéo thứ hai. Giả sử độ dài hai đường chéo lần lượt là \( d_1 \) và \( d_2 \). Bước 1: Thay các giá trị vào công thức. \[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \] Bước 2: Tính toán diện tích. \[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \] Vậy diện tích của hình thoi là: \[ S = \frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 \] Do đó, đáp án đúng là: A. \(\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2\) Câu 27: Để giải bài toán này, chúng ta cần biết công thức tính diện tích hình bình hành. Diện tích hình bình hành được tính bằng cách nhân độ dài một cạnh với chiều cao tương ứng với cạnh đó. Công thức: \[ S = a \times h \] Trong đó: - \( S \) là diện tích hình bình hành. - \( a \) là độ dài một cạnh của hình bình hành. - \( h \) là chiều cao tương ứng với cạnh đó. Bây giờ, giả sử diện tích hình bình hành là \( S \) và độ dài một cạnh là \( a \). Chúng ta cần tìm chiều cao \( h \). Theo công thức trên, ta có: \[ S = a \times h \] Để tìm chiều cao \( h \), ta chia diện tích \( S \) cho độ dài cạnh \( a \): \[ h = \frac{S}{a} \] Vậy chiều cao tương ứng với cạnh đó là: \[ h = \frac{S}{a} \] Đáp án đúng là: D. \(\frac{S}{a}\) Lập luận từng bước: 1. Xác định công thức tính diện tích hình bình hành: \( S = a \times h \). 2. Biết diện tích \( S \) và độ dài cạnh \( a \), ta cần tìm chiều cao \( h \). 3. Chia diện tích \( S \) cho độ dài cạnh \( a \) để tìm chiều cao \( h \): \( h = \frac{S}{a} \). Câu 28: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng công thức tính diện tích của hình thang. Công thức đó là: \[ S = \frac{(a + b) \times h}{2} \] Trong đó: - \( S \) là diện tích của hình thang. - \( a \) và \( b \) là độ dài của hai đáy của hình thang. - \( h \) là chiều cao của hình thang. Bây giờ, chúng ta sẽ áp dụng công thức này để tìm tổng hai đáy của hình thang. Giả sử diện tích của hình thang là \( S \) và chiều cao của hình thang là \( h \). Theo đề bài, diện tích \( S \) và chiều cao \( h \) đã được cung cấp. Chúng ta sẽ đặt \( S \) và \( h \) vào công thức trên: \[ S = \frac{(a + b) \times h}{2} \] Nhân cả hai vế của phương trình với 2 để loại bỏ phân số: \[ 2S = (a + b) \times h \] Chia cả hai vế của phương trình cho \( h \): \[ \frac{2S}{h} = a + b \] Vậy tổng hai đáy của hình thang là: \[ a + b = \frac{2S}{h} \] Đáp án đúng là: \[ \boxed{\frac{2S}{h}} \] Câu 29: Hình tam giác đều là hình tam giác có ba cạnh bằng nhau và ba góc bằng nhau, mỗi góc đều là 60 độ. Trục đối xứng của một hình là đường thẳng sao cho nếu gấp đôi hình qua đường thẳng đó thì hai nửa hình sẽ trùng khớp với nhau. Ta xét các đường thẳng đi qua đỉnh của tam giác đều và vuông góc với đáy của tam giác đó: - Đường thẳng đi qua đỉnh thứ nhất và vuông góc với đáy thứ nhất tạo thành hai nửa tam giác đều trùng khớp. - Đường thẳng đi qua đỉnh thứ hai và vuông góc với đáy thứ hai tạo thành hai nửa tam giác đều trùng khớp. - Đường thẳng đi qua đỉnh thứ ba và vuông góc với đáy thứ ba tạo thành hai nửa tam giác đều trùng khớp. Như vậy, tam giác đều có 3 đường thẳng là trục đối xứng. Đáp án đúng là: C. 3. Câu 30: Để xác định hình nào không có tâm đối xứng, chúng ta sẽ kiểm tra từng hình một. - Hình vuông: Hình vuông có tâm đối xứng ở giao điểm của hai đường chéo. Khi ta lấy một điểm bất kỳ trên hình vuông và vẽ đường thẳng qua tâm đối xứng, ta sẽ thấy hai nửa hình bên trái và phải của đường thẳng đó là đối xứng với nhau. Do đó, hình vuông có tâm đối xứng. - Hình chữ nhật: Hình chữ nhật cũng có tâm đối xứng ở giao điểm của hai đường chéo. Tương tự như hình vuông, khi ta lấy một điểm bất kỳ trên hình chữ nhật và vẽ đường thẳng qua tâm đối xứng, ta sẽ thấy hai nửa hình bên trái và phải của đường thẳng đó là đối xứng với nhau. Do đó, hình chữ nhật có tâm đối xứng. - Hình bình hành: Hình bình hành có tâm đối xứng ở giao điểm của hai đường chéo. Khi ta lấy một điểm bất kỳ trên hình bình hành và vẽ đường thẳng qua tâm đối xứng, ta sẽ thấy hai nửa hình bên trái và phải của đường thẳng đó là đối xứng với nhau. Do đó, hình bình hành có tâm đối xứng. - Hình tam giác đều: Hình tam giác đều không có tâm đối xứng. Khi ta lấy một điểm bất kỳ trên hình tam giác đều và vẽ đường thẳng qua tâm đối xứng, ta sẽ không thấy hai nửa hình bên trái và phải của đường thẳng đó là đối xứng với nhau. Do đó, hình tam giác đều không có tâm đối xứng. Vậy hình không có tâm đối xứng là: Đáp án: D. Hình tam giác đều. Câu 32: Để xác định các hình có tâm đối xứng, chúng ta cần kiểm tra từng hình một. 1. Đoạn thẳng: - Một đoạn thẳng có tâm đối xứng ở chính giữa đoạn thẳng. Khi ta lấy điểm chính giữa đoạn thẳng làm tâm đối xứng, đoạn thẳng sẽ trùng khớp với chính nó khi quay 180 độ. - Vậy đoạn thẳng có tâm đối xứng. 2. Tam giác đều: - Tam giác đều không có tâm đối xứng. Khi ta quay tam giác đều 180 độ qua bất kỳ điểm nào, tam giác đều không trùng khớp với chính nó. - Vậy tam giác đều không có tâm đối xứng. 3. Hình tròn tâm O: - Hình tròn có tâm đối xứng ở chính tâm của hình tròn. Khi ta lấy tâm O làm tâm đối xứng, hình tròn sẽ trùng khớp với chính nó khi quay 180 độ. - Vậy hình tròn có tâm đối xứng. Từ các lập luận trên, ta thấy rằng các hình có tâm đối xứng là đoạn thẳng và hình tròn tâm O. Vậy đáp án đúng là: C. (1), (3). Câu 33: Để giải quyết các câu hỏi trên, chúng ta sẽ lần lượt kiểm tra từng câu hỏi và lập luận từng bước. Câu 1: Đoạn thẳng có độ dài . Gọi là tâm đối xứng của đoạn thẳng . Tính độ dài đoạn là A. . B. . C. . D. . Để giải quyết câu này, chúng ta cần hiểu rằng tâm đối xứng của một đoạn thẳng chia đoạn thẳng đó thành hai phần bằng nhau. Do đó, nếu đoạn thẳng có độ dài là \(d\), thì tâm đối xứng sẽ chia đoạn thẳng thành hai đoạn nhỏ mỗi đoạn có độ dài là \(\frac{d}{2}\). Vì vậy, độ dài đoạn thẳng từ tâm đối xứng đến một trong hai đầu của đoạn thẳng sẽ là \(\frac{d}{2}\). Do đó, đáp án đúng là: - A. \(\frac{d}{2}\) Câu 2: Chọn câu sai. A. Chữ H là hình vừa có trục đối xymmetric, vừa có tâm đối xymmetric. B. Chữ là hình có tâm đối xymmetric và không có có trục đối xymmetric. C. Chữ là hình vừa có trục đối xymmetric vừa có tâm có tâm đối xymmetric. D. Chữ I là hình có trục đối xymmetric và không có tâm đối xymmetric. Chúng ta sẽ kiểm tra từng chữ cái để xác định câu sai: - Chữ H: Chữ H có hai trục đối xymmetric dọc và ngang, và cũng có tâm đối xymmetric ở giữa. Vì vậy, câu A là đúng. - Chữ O: Chữ O có nhiều trục đối xymmetric đi qua tâm của nó và cũng có tâm đối xymmetric ở tâm của nó. Vì vậy, câu B là sai vì chữ O có trục đối xymmetric. - Chữ X: Chữ X có hai trục đối xymmetric dọc và ngang, và cũng có tâm đối xymmetric ở giữa. Vì vậy, câu C là đúng. - Chữ I: Chữ I có trục đối xymmetric dọc qua chính giữa nhưng không có tâm đối xymmetric. Vì vậy, câu D là đúng. Do đó, câu sai là: - B. Chữ là hình có tâm đối xymmetric và không có có trục đối xymmetric. Kết luận: - Đáp án cho câu 1 là: A. \(\frac{d}{2}\) - Đáp án cho câu 2 là: B. Chữ là hình có tâm đối xymmetric và không có có trục đối xymmetric. Bài 1. Để thực hiện các phép tính và tính hợp lý, chúng ta sẽ áp dụng các tính chất giao hoán, kết hợp của phép cộng và nhân, cũng như nhóm các số lại với nhau sao cho tổng của mỗi nhóm là một số tròn chục, tròn trăm,... Dưới đây là các ví dụ cụ thể: a) \( 12 + 35 + 8 + 65 \) - Áp dụng tính chất giao hoán và kết hợp: \[ 12 + 35 + 8 + 65 = (12 + 8) + (35 + 65) \] \[ = 20 + 100 \] \[ = 120 \] b) \( 23 \times 4 + 23 \times 6 \) - Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 23 \times 4 + 23 \times 6 = 23 \times (4 + 6) \] \[ = 23 \times 10 \] \[ = 230 \] c) \( 15 \times 25 + 15 \times 75 \) - Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 15 \times 25 + 15 \times 75 = 15 \times (25 + 75) \] \[ = 15 \times 100 \] \[ = 1500 \] d) \( 12 \times 101 \) - Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 12 \times 101 = 12 \times (100 + 1) \] \[ = 12 \times 100 + 12 \times 1 \] \[ = 1200 + 12 \] \[ = 1212 \] e) \( 25 \times 44 \) - Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 25 \times 44 = 25 \times (40 + 4) \] \[ = 25 \times 40 + 25 \times 4 \] \[ = 1000 + 100 \] \[ = 1100 \] g) \( 125 \times 88 \) - Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 125 \times 88 = 125 \times (80 + 8) \] \[ = 125 \times 80 + 125 \times 8 \] \[ = 10000 + 1000 \] \[ = 11000 \] Như vậy, chúng ta đã thực hiện các phép tính và tính hợp lý dựa trên các tính chất của phép cộng và nhân. Bài 2. a) \( 125 \times 8 + 25 \times 4 \) Ta có thể nhóm các số lại để tính dễ dàng hơn: \[ 125 \times 8 + 25 \times 4 = 125 \times 8 + 25 \times 2 \times 2 \] \[ = 125 \times 8 + 50 \times 2 \] \[ = 1000 + 100 \] \[ = 1100 \] b) \( 25 \times 16 + 75 \times 16 \) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 25 \times 16 + 75 \times 16 = (25 + 75) \times 16 \] \[ = 100 \times 16 \] \[ = 1600 \] c) \( 125 \times 8 + 25 \times 4 \) Ta có thể nhóm các số lại để tính dễ dàng hơn: \[ 125 \times 8 + 25 \times 4 = 125 \times 8 + 25 \times 2 \times 2 \] \[ = 125 \times 8 + 50 \times 2 \] \[ = 1000 + 100 \] \[ = 1100 \] d) \( 25 \times 16 + 75 \times 16 \) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 25 \times 16 + 75 \times 16 = (25 + 75) \times 16 \] \[ = 100 \times 16 \] \[ = 1600 \] e) \( 125 \times 8 + 25 \times 4 \) Ta có thể nhóm các số lại để tính dễ dàng hơn: \[ 125 \times 8 + 25 \times 4 = 125 \times 8 + 25 \times 2 \times 2 \] \[ = 125 \times 8 + 50 \times 2 \] \[ = 1000 + 100 \] \[ = 1100 \] g) \( 25 \times 16 + 75 \times 16 \) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 25 \times 16 + 75 \times 16 = (25 + 75) \times 16 \] \[ = 100 \times 16 \] \[ = 1600 \] Bài 3. a) (-5).22 – 18: 32 - Thực hiện phép nhân: (-5).22 = -110 - Thực hiện phép chia: 18: 32 = 18: 9 = 2 - Kết quả: -110 - 2 = -112 b) 53: 52 – 43 + (-12).22 - Thực hiện phép chia: 53: 52 = 1 - Thực hiện phép nhân: (-12).22 = -264 - Kết quả: 1 - 43 - 264 = -306 Đáp số: a) -112; b) -306 Bài 4. a) \( 125 \times 8 + 25 \times 4 \) Ta có thể nhóm các số lại để tính dễ dàng hơn: \[ 125 \times 8 + 25 \times 4 = (125 \times 2 \times 4) + (25 \times 4) = (250 \times 4) + (25 \times 4) = 1000 + 100 = 1100 \] b) \( 25 \times 16 + 75 \times 16 \) Áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng: \[ 25 \times 16 + 75 \times 16 = (25 + 75) \times 16 = 100 \times 16 = 1600 \] Bài 1: a) \( x = 45 : 43 \) Ta có: \( x = \frac{45}{43} \) b) \( (-10) + 2x = 45 : 43 \) Ta có: \( (-10) + 2x = \frac{45}{43} \) \( 2x = \frac{45}{43} + 10 \) \( 2x = \frac{45}{43} + \frac{430}{43} \) \( 2x = \frac{475}{43} \) \( x = \frac{475}{43} : 2 \) \( x = \frac{475}{43} \times \frac{1}{2} \) \( x = \frac{475}{86} \) c) \( 70 – 5.(x – 3) = 45 \) Ta có: \( 70 – 5x + 15 = 45 \) \( 85 – 5x = 45 \) \( 5x = 85 – 45 \) \( 5x = 40 \) \( x = 40 : 5 \) \( x = 8 \) d) \( x = 45 : 43 \) Ta có: \( x = \frac{45}{43} \) e) \( x = 45 : 43 \) Ta có: \( x = \frac{45}{43} \) g) \( x = 45 : 43 \) Ta có: \( x = \frac{45}{43} \) Đáp số: a) \( x = \frac{45}{43} \) b) \( x = \frac{475}{86} \) c) \( x = 8 \) d) \( x = \frac{45}{43} \) e) \( x = \frac{45}{43} \) g) \( x = \frac{45}{43} \) Bài 2: Câu hỏi: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \frac{x + 2}{x + 1} \) với \( x > -1 \). Câu trả lời: Để tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \( A = \frac{x + 2}{x + 1} \) với \( x > -1 \), chúng ta sẽ phân tích biểu thức này. Biểu thức \( A = \frac{x + 2}{x + 1} \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ A = \frac{(x + 1) + 1}{x + 1} = 1 + \frac{1}{x + 1} \] Do \( x > -1 \), nên \( x + 1 > 0 \). Điều này có nghĩa là \( \frac{1}{x + 1} \) luôn dương và giảm dần khi \( x \) tăng lên. Giá trị lớn nhất của \( \frac{1}{x + 1} \) xảy ra khi \( x + 1 \) nhỏ nhất, tức là khi \( x \) gần -1. Tuy nhiên, vì \( x > -1 \), giá trị \( x + 1 \) sẽ rất nhỏ nhưng không bằng 0. Khi \( x \) tiến gần đến -1, \( \frac{1}{x + 1} \) sẽ tiến gần đến vô cùng lớn. Do đó, giá trị lớn nhất của \( A \) sẽ tiến gần đến vô cùng lớn. Tuy nhiên, trong thực tế, biểu thức \( A \) không có giá trị lớn nhất cụ thể vì nó tiếp tục tăng khi \( x \) tiến gần đến -1. Vậy, giá trị lớn nhất của \( A \) không tồn tại trong khoảng \( x > -1 \). Đáp số: Giá trị lớn nhất của \( A \) không tồn tại. Bài 3: Câu hỏi: Tìm các số nguyên x sao cho: a) \( x + 3 > 5 \) b) \( x - 2 < 4 \) c) \( 2x + 1 \geq 7 \) Câu trả lời: a) \( x + 3 > 5 \) Để tìm các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện trên, chúng ta sẽ chuyển số 3 sang phía bên phải của bất đẳng thức: \[ x > 5 - 3 \] \[ x > 2 \] Vậy các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện này là: \( x = 3, 4, 5, 6, \ldots \) b) \( x - 2 < 4 \) Để tìm các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện trên, chúng ta sẽ chuyển số 2 sang phía bên phải của bất đẳng thức: \[ x < 4 + 2 \] \[ x < 6 \] Vậy các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện này là: \( x = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \) c) \( 2x + 1 \geq 7 \) Để tìm các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện trên, chúng ta sẽ chuyển số 1 sang phía bên phải của bất đẳng thức: \[ 2x \geq 7 - 1 \] \[ 2x \geq 6 \] Tiếp theo, chúng ta chia cả hai vế của bất đẳng thức cho 2: \[ x \geq \frac{6}{2} \] \[ x \geq 3 \] Vậy các số nguyên \( x \) thỏa mãn điều kiện này là: \( x = 3, 4, 5, 6, \ldots \) Đáp số: a) \( x = 3, 4, 5, 6, \ldots \) b) \( x = \ldots, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5 \) c) \( x = 3, 4, 5, 6, \ldots \) Bài 1: Để tìm số ngày ít nhất mà cả ba bạn An, Bình, Chi lại cùng trực nhật một hôm, chúng ta cần tìm bội số chung nhỏ nhất của các khoảng thời gian trực nhật của mỗi bạn. - An trực nhật cứ 5 ngày một lần. - Bình trực nhật cứ 10 ngày một lần. - Chi trực nhật cứ 8 ngày một lần. Bước 1: Tìm bội số chung nhỏ nhất của 5, 10 và 8. Ta thực hiện phân tích thừa số nguyên tố của từng số: - 5 = 5 - 10 = 2 × 5 - 8 = 2 × 2 × 2 Bước 2: Xác định các thừa số nguyên tố khác nhau và chọn với lũy thừa cao nhất: - Thừa số 2 xuất hiện với lũy thừa cao nhất là 3 (từ 8 = 2 × 2 × 2) - Thừa số 5 xuất hiện với lũy thừa cao nhất là 1 (từ 5 và 10) Bước 3: Tính bội số chung nhỏ nhất: \[ 2^3 × 5 = 8 × 5 = 40 \] Vậy, sau ít nhất 40 ngày thì cả ba bạn An, Bình, Chi lại cùng trực nhật một hôm. Đáp số: 40 ngày. Bài 2: Để tìm số học sinh đi trải nghiệm thực tế, chúng ta cần tìm số học sinh thỏa mãn điều kiện chia hết cho 36, 40 và 45 đồng thời nằm trong khoảng từ 1000 đến 1100. Bước 1: Tìm bội số chung nhỏ nhất của 36, 40 và 45. - Bội số chung nhỏ nhất của 36, 40 và 45 là 1800. Bước 2: Kiểm tra các bội số của 1800 nằm trong khoảng từ 1000 đến 1100. - Các bội số của 1800 là: 1800, 3600, 5400, ... - Trong khoảng từ 1000 đến 1100, chỉ có 1800 là bội số duy nhất của 1800. Tuy nhiên, 1800 vượt quá khoảng từ 1000 đến 1100. Do đó, chúng ta cần kiểm tra lại các bội số khác của 36, 40 và 45 trong khoảng này. Bước 3: Kiểm tra các bội số của 36, 40 và 45 trong khoảng từ 1000 đến 1100. - Các bội số của 36 trong khoảng từ 1000 đến 1100 là: 1080. - Các bội số của 40 trong khoảng từ 1000 đến 1100 là: 1080. - Các bội số của 45 trong khoảng từ 1000 đến 1100 là: 1080. Vậy số học sinh đi trải nghiệm thực tế là 1080 học sinh. Đáp số: 1080 học sinh. Bài 3: Để tìm số học sinh của trường THCS, chúng ta cần tìm một số nằm trong khoảng từ 500 đến 600 và khi chia cho 15, 12 hoặc 18 đều dư 5. Bước 1: Xác định số chia chung của 15, 12 và 18. - Số chia chung của 15, 12 và 18 là bội số chung nhỏ nhất của ba số này. - Bội số chung nhỏ nhất của 15, 12 và 18 là 180. Bước 2: Tìm số học sinh thỏa mãn điều kiện. - Số học sinh phải có dạng \( 180k + 5 \) (với \( k \) là số tự nhiên) và nằm trong khoảng từ 500 đến 600. - Ta thử các giá trị của \( k \): - Nếu \( k = 3 \): \( 180 \times 3 + 5 = 545 \) - Nếu \( k = 4 \): \( 180 \times 4 + 5 = 725 \) (không nằm trong khoảng từ 500 đến 600) Vậy, số học sinh của trường là 545. Đáp số: 545 học sinh. Bài 4: Để tìm số học sinh của trường THCS, chúng ta cần tìm một số có ba chữ số lớn hơn 500 và khi chia cho 4, 5, 6 hoặc 7 đều dư 3. Bước 1: Xác định số chia hết cho 4, 5, 6 và 7. - Số chia hết cho 4, 5, 6 và 7 là bội số chung nhỏ nhất của các số này. - Bội số chung nhỏ nhất của 4, 5, 6 và 7 là 420. Bước 2: Tìm số lớn hơn 500 và chia hết cho 420. - Số lớn hơn 500 và chia hết cho 420 là 840 (vì 420 × 2 = 840). Bước 3: Kiểm tra số học sinh của trường. - Số học sinh của trường là 840 + 3 = 843. Vậy số học sinh của trường là 843. Bài 1: Để chứng tỏ rằng A chia hết cho 3, 5 và 31, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp nhóm các số hạng lại với nhau sao cho tổng của mỗi nhóm là bội của 3, 5 và 31. A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + ... + 2^2019 Chúng ta sẽ nhóm các số hạng lại với nhau theo từng nhóm gồm 3 số hạng liên tiếp: (1 + 2 + 2^2) + (2^3 + 2^4 + 2^5) + ... + (2^2016 + 2^2017 + 2^2018) + 2^2019 Ta thấy rằng mỗi nhóm có dạng: 1 + 2 + 2^2 = 1 + 2 + 4 = 7 2^3 + 2^4 + 2^5 = 8 + 16 + 32 = 56 ... 2^2016 + 2^2017 + 2^2018 = 2^2016 (1 + 2 + 2^2) = 2^2016 7 Như vậy, mỗi nhóm đều là bội của 7. Ta có tổng số nhóm là: (2019 + 1) : 3 = 674 nhóm Vậy A có dạng: A = 7 + 56 + ... + 2^2016 7 + 2^2019 Ta thấy rằng 2^2019 cũng là bội của 7 vì 2019 chia hết cho 3. Do đó, A là tổng của các bội của 7, nên A chia hết cho 7. Bây giờ, chúng ta sẽ chứng tỏ rằng A chia hết cho 3, 5 và 31. 1. A chia hết cho 3: Ta thấy rằng mỗi nhóm có dạng 7, 56, ..., 2^2016 7 đều chia hết cho 3 vì 7 chia hết cho 3. Do đó, A chia hết cho 3. 2. A chia hết cho 5: Ta thấy rằng mỗi nhóm có dạng 7, 56, ..., 2^2016 7 đều chia hết cho 5 vì 56 chia hết cho 5. Do đó, A chia hết cho 5. 3. A chia hết cho 31: Ta thấy rằng mỗi nhóm có dạng 7, 56, ..., 2^2016 7 đều chia hết cho 31 vì 56 chia hết cho 31. Do đó, A chia hết cho 31. Vậy A chia hết cho 3, 5 và 31. Bài 2: Câu hỏi: Cho \( a = 2023 + 2024 + 2025 + 2026 \) a) \( a \) là số chẵn hay số lẻ? Vì sao? b) \( a \) là số nguyên tố hay hợp số, vì sao? c) Tìm chữ số tận cùng của \( a \). Câu trả lời: a) \( a \) là số chẵn hay số lẻ? Vì sao? Ta xét tổng của các số: - 2023 là số lẻ. - 2024 là số chẵn. - 2025 là số lẻ. - 2026 là số chẵn. Tổng của hai số lẻ là số chẵn, và tổng của hai số chẵn là số chẵn. Do đó: \[ 2023 + 2025 = \text{số chẵn} \] \[ 2024 + 2026 = \text{số chẵn} \] Tổng của hai số chẵn là số chẵn, do đó: \[ a = (2023 + 2025) + (2024 + 2026) = \text{số chẵn} + \text{số chẵn} = \text{số chẵn} \] Vậy \( a \) là số chẵn. b) \( a \) là số nguyên tố hay hợp số, vì sao? Ta tính tổng: \[ a = 2023 + 2024 + 2025 + 2026 \] Nhận thấy rằng: \[ a = 2023 + 2024 + 2025 + 2026 = 4 \times 2024 \] Do đó, \( a \) là bội của 4, tức là \( a \) có ít nhất ba ước số: 1, 2 và 4. Vậy \( a \) là số hợp số. c) Tìm chữ số tận cùng của \( a \). Ta xét chữ số tận cùng của mỗi số: - Chữ số tận cùng của 2023 là 3. - Chữ số tận cùng của 2024 là 4. - Chữ số tận cùng của 2025 là 5. - Chữ số tận cùng của 2026 là 6. Tổng các chữ số tận cùng: \[ 3 + 4 + 5 + 6 = 18 \] Chữ số tận cùng của 18 là 8. Vậy chữ số tận cùng của \( a \) là 8. Đáp số: a) \( a \) là số chẵn. b) \( a \) là số hợp số. c) Chữ số tận cùng của \( a \) là 8. Bài 3: Để tìm cặp số tự nhiên \(a\) và \(b\) (với \(a > b\)) dựa trên các thông tin về ƯCLN và BCNN, chúng ta sẽ áp dụng các phương pháp sau: Câu a: ƯCLN(a, b) = 6 và BCNN(a, b) = 30 1. Tìm các bội số của 6: Các bội số của 6 là 6, 12, 18, 24, 30, ... 2. Tìm các số có ƯCLN là 6: Các số này phải chia hết cho 6. 3. Tìm các số có BCNN là 30: Các số này phải là các thừa số của 30. Ta thử các cặp số có ƯCLN là 6 và kiểm tra xem BCNN của chúng có bằng 30 hay không: - Cặp số 6 và 30: - ƯCLN(6, 30) = 6 - BCNN(6, 30) = 30 Do đó, cặp số \(a\) và \(b\) là 30 và 6. Câu b: ƯCLN(a, b) = 8 và BCNN(a, b) = 120 1. Tìm các bội số của 8: Các bội số của 8 là 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56, 64, 72, 80, 88, 96, 104, 112, 120, ... 2. Tìm các số có ƯCLN là 8: Các số này phải chia hết cho 8. 3. Tìm các số có BCNN là 120: Các số này phải là các thừa số của 120. Ta thử các cặp số có ƯCLN là 8 và kiểm tra xem BCNN của chúng có bằng 120 hay không: - Cặp số 8 và 120: - ƯCLN(8, 120) = 8 - BCNN(8, 120) = 120 Do đó, cặp số \(a\) và \(b\) là 120 và 8. Đáp số: a) Cặp số \(a\) và \(b\) là 30 và 6. b) Cặp số \(a\) và \(b\) là 120 và 8. Bài 4: a) Ta có: (x + 1) + (x + 3) + (x + 5) + …+ (x + 99) = 0 (x + x + x + … + x) + (1 + 3 + 5 + … + 99) = 0 (x × 50) + 2500 = 0 x × 50 = -2500 x = (-2500) : 50 x = -50 b) Ta có: (x – 3) + (x - 2) + (x – 1) + …+ 10 + 11 = 11 (x + x + x + … + x) + (-3 - 2 - 1 + … + 10 + 11) = 11 (x × 25) + 11 = 11 x × 25 = 0 x = 0 : 25 x = 0 Bài 5: a) Ta có: (2x + 1)(y – 2) = 12 Nhận thấy rằng 12 có các ước số dương là 1, 2, 3, 4, 6, 12. Do đó, ta sẽ thử lần lượt các giá trị này cho (2x + 1) và (y – 2). - Nếu 2x + 1 = 1 thì x = 0. Thay vào (y – 2) = 12 ta có y = 14. - Nếu 2x + 1 = 2 thì x = $\frac{1}{2}$ (loại vì x phải là số tự nhiên). - Nếu 2x + 1 = 3 thì x = 1. Thay vào (y – 2) = 4 ta có y = 6. - Nếu 2x + 1 = 4 thì x = $\frac{3}{2}$ (loại vì x phải là số tự nhiên). - Nếu 2x + 1 = 6 thì x = 2. Thay vào (y – 2) = 2 ta có y = 4. - Nếu 2x + 1 = 12 thì x = 5. Thay vào (y – 2) = 1 ta có y = 3. Vậy các cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn là: (0, 14), (1, 6), (2, 4), (5, 3). b) Ta có: 3xy – x + 3y = 9 Nhóm lại ta có: x(3y – 1) + 3y = 9 Nhận thấy rằng 9 có các ước số dương là 1, 3, 9. Do đó, ta sẽ thử lần lượt các giá trị này cho (3y – 1) và (x + 1). - Nếu 3y – 1 = 1 thì y = $\frac{2}{3}$ (loại vì y phải là số tự nhiên). - Nếu 3y – 1 = 3 thì y = 1. Thay vào x + 1 = 3 ta có x = 2. - Nếu 3y – 1 = 9 thì y = $\frac{10}{3}$ (loại vì y phải là số tự nhiên). Vậy cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn là: (2, 1). c) Ta có: xy^2 + 2x – y^2 = 8 Nhóm lại ta có: x(y^2 + 2) – y^2 = 8 Nhận thấy rằng 8 có các ước số dương là 1, 2, 4, 8. Do đó, ta sẽ thử lần lượt các giá trị này cho (y^2 + 2) và (x – 1). - Nếu y^2 + 2 = 1 thì y^2 = -1 (loại vì y^2 không thể âm). - Nếu y^2 + 2 = 2 thì y^2 = 0. Thay vào x – 1 = 4 ta có x = 5. - Nếu y^2 + 2 = 4 thì y^2 = 2 (loại vì y^2 phải là số chính phương). - Nếu y^2 + 2 = 8 thì y^2 = 6 (loại vì y^2 phải là số chính phương). Vậy cặp số tự nhiên (x, y) thỏa mãn là: (5, 0). Bài 6: Để chứng tỏ rằng \(10a + b\) chia hết cho 17, ta sẽ sử dụng điều kiện \(a - 5b\) chia hết cho 17. Bước 1: Ta viết lại biểu thức \(10a + b\) dưới dạng một biểu thức liên quan đến \(a - 5b\). Ta có: \[10a + b = 10a + b + 50b - 50b\] \[= 10a + 51b - 50b\] \[= 10(a - 5b) + 51b\] Bước 2: Ta biết rằng \(a - 5b\) chia hết cho 17, tức là \(a - 5b = 17k\) (với \(k\) là số tự nhiên). Thay vào biểu thức trên, ta có: \[10a + b = 10(17k) + 51b\] \[= 170k + 51b\] Bước 3: Ta thấy rằng cả hai số hạng \(170k\) và \(51b\) đều chia hết cho 17. - \(170k\) chia hết cho 17 vì \(170 = 17 \times 10\). - \(51b\) chia hết cho 17 vì \(51 = 17 \times 3\). Do đó, tổng của chúng cũng chia hết cho 17: \[170k + 51b = 17(10k + 3b)\] Vậy \(10a + b\) chia hết cho 17. Đáp số: \(10a + b\) chia hết cho 17. Bài 7: a) Ta thấy rằng: A = 20 + 21 + 22 + 23 + … + 22010 B = 22011 - 1 Ta sẽ so sánh từng nhóm con của A và B: - Nhóm đầu tiên: 20 = 1 - Nhóm thứ hai: 21 = 2 - Nhóm thứ ba: 22 = 4 - Nhóm thứ tư: 23 = 8 - ... - Nhóm cuối cùng: 22010 Như vậy, A là tổng của các số 20, 21, 22, ..., 22010. B là 22011 - 1. Ta thấy rằng 22011 là số lớn hơn rất nhiều so với tổng của các số từ 20 đến 22010. Do đó, B lớn hơn A. Vậy A < B. b) Ta có: A = 2009 × 2011 B = 2010^2 Ta sẽ biến đổi A để dễ so sánh: A = 2009 × 2011 = (2010 - 1) × (2010 + 1) = 2010^2 - 1 B = 2010^2 Như vậy, A = 2010^2 - 1 và B = 2010^2. Ta thấy rằng 2010^2 - 1 nhỏ hơn 2010^2. Vậy A < B. Đáp số: a) A < B b) A < B Bài 8: Để chứng minh rằng \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau, chúng ta cần chứng minh rằng \(a\) và \(b\) không có ước số chung nào khác 1. Giả sử \(a\) và \(b\) có ước số chung là \(d\). Điều này có nghĩa là \(d\) chia hết cho cả \(a\) và \(b\). Ta có: \[ a = d \cdot m \] \[ b = d \cdot n \] Trong đó \(m\) và \(n\) là các số nguyên. Theo đề bài, ta có: \[ a + b = 2023 \] Thay \(a\) và \(b\) vào phương trình trên, ta có: \[ d \cdot m + d \cdot n = 2023 \] \[ d \cdot (m + n) = 2023 \] Điều này có nghĩa là \(d\) phải là ước của 2023. Ta sẽ tìm các ước của 2023. 2023 là số lẻ, do đó nó không chia hết cho 2. Ta kiểm tra các số lẻ nhỏ hơn hoặc bằng \(\sqrt{2023}\): - 2023 chia hết cho 7: \(2023 : 7 = 289\) - 289 chia hết cho 17: \(289 : 17 = 17\) Do đó, 2023 có các ước số là 1, 7, 17, 289 và 2023. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: 1. Nếu \(d = 1\): \[ a = m \] \[ b = n \] Điều này có nghĩa là \(a\) và \(b\) không có ước số chung nào khác 1, tức là \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau. 2. Nếu \(d = 7\): \[ a = 7 \cdot m \] \[ b = 7 \cdot n \] \[ 7 \cdot (m + n) = 2023 \] \[ m + n = 289 \] Vì \(m\) và \(n\) là các số nguyên, \(m + n = 289\) là một số lẻ. Điều này có nghĩa là một trong hai số \(m\) và \(n\) phải là số lẻ và số kia phải là số chẵn. Tuy nhiên, nếu \(m\) và \(n\) có một số lẻ và một số chẵn, thì \(a\) và \(b\) sẽ không thể là hai số nguyên tố cùng nhau vì chúng sẽ có ước số chung là 7. 3. Nếu \(d = 17\): \[ a = 17 \cdot m \] \[ b = 17 \cdot n \] \[ 17 \cdot (m + n) = 2023 \] \[ m + n = 119 \] Vì \(m\) và \(n\) là các số nguyên, \(m + n = 119\) là một số lẻ. Điều này có nghĩa là một trong hai số \(m\) và \(n\) phải là số lẻ và số kia phải là số chẵn. Tuy nhiên, nếu \(m\) và \(n\) có một số lẻ và một số chẵn, thì \(a\) và \(b\) sẽ không thể là hai số nguyên tố cùng nhau vì chúng sẽ có ước số chung là 17. 4. Nếu \(d = 289\): \[ a = 289 \cdot m \] \[ b = 289 \cdot n \] \[ 289 \cdot (m + n) = 2023 \] \[ m + n = 7 \] Vì \(m\) và \(n\) là các số nguyên, \(m + n = 7\) là một số lẻ. Điều này có nghĩa là một trong hai số \(m\) và \(n\) phải là số lẻ và số kia phải là số chẵn. Tuy nhiên, nếu \(m\) và \(n\) có một số lẻ và một số chẵn, thì \(a\) và \(b\) sẽ không thể là hai số nguyên tố cùng nhau vì chúng sẽ có ước số chung là 289. 5. Nếu \(d = 2023\): \[ a = 2023 \cdot m \] \[ b = 2023 \cdot n \] \[ 2023 \cdot (m + n) = 2023 \] \[ m + n = 1 \] Điều này không thể xảy ra vì \(m\) và \(n\) là các số nguyên dương. Từ các trường hợp trên, ta thấy rằng duy nhất trường hợp \(d = 1\) là hợp lý, tức là \(a\) và \(b\) không có ước số chung nào khác 1. Do đó, \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Đáp số: \(a\) và \(b\) là hai số nguyên tố cùng nhau. Bài 9: Để tìm số nguyên tố \( p \) sao cho \( p + 2 \) và \( p + 4 \) cũng là các số nguyên tố, chúng ta sẽ kiểm tra từng trường hợp một. 1. Kiểm tra \( p = 2 \): - \( p + 2 = 2 + 2 = 4 \) (không phải số nguyên tố) - Do đó, \( p = 2 \) không thỏa mãn điều kiện. 2. Kiểm tra \( p = 3 \): - \( p + 2 = 3 + 2 = 5 \) (là số nguyên tố) - \( p + 4 = 3 + 4 = 7 \) (là số nguyên tố) - Do đó, \( p = 3 \) thỏa mãn điều kiện. 3. Kiểm tra \( p > 3 \): - Ta thấy rằng mọi số nguyên tố lớn hơn 3 đều có dạng \( 6k \pm 1 \) (với \( k \) là số nguyên dương). - Nếu \( p = 6k - 1 \): - \( p + 2 = 6k - 1 + 2 = 6k + 1 \) (có thể là số nguyên tố) - \( p + 4 = 6k - 1 + 4 = 6k + 3 = 3(2k + 1) \) (chia hết cho 3, do đó không phải số nguyên tố) - Nếu \( p = 6k + 1 \): - \( p + 2 = 6k + 1 + 2 = 6k + 3 = 3(2k + 1) \) (chia hết cho 3, do đó không phải số nguyên tố) - \( p + 4 = 6k + 1 + 4 = 6k + 5 \) (có thể là số nguyên tố) Do đó, chỉ có \( p = 3 \) là số nguyên tố thỏa mãn điều kiện \( p + 2 \) và \( p + 4 \) cũng là các số nguyên tố. Đáp số: \( p = 3 \). Bài 10: Để tìm số nguyên \( n \) sao cho biểu thức \( \frac{n+1}{n-2} \) là số nguyên, chúng ta sẽ làm như sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): Biểu thức \( \frac{n+1}{n-2} \) có nghĩa khi \( n-2 \neq 0 \). Do đó, \( n \neq 2 \). 2. Tìm các giá trị của \( n \) sao cho \( \frac{n+1}{n-2} \) là số nguyên: Để \( \frac{n+1}{n-2} \) là số nguyên, \( n+1 \) phải chia hết cho \( n-2 \). Ta đặt \( n+1 = k(n-2) \) với \( k \) là số nguyên. 3. Giải phương trình \( n+1 = k(n-2) \): \( n + 1 = kn - 2k \) \( n - kn = -2k - 1 \) \( n(1 - k) = -2k - 1 \) \( n = \frac{-2k - 1}{1 - k} \) 4. Xét các trường hợp của \( k \): - Nếu \( k = 0 \): \( n = \frac{-2(0) - 1}{1 - 0} = \frac{-1}{1} = -1 \) - Nếu \( k = 1 \): \( n = \frac{-2(1) - 1}{1 - 1} = \frac{-3}{0} \) (không có nghiệm vì chia cho 0) - Nếu \( k = -1 \): \( n = \frac{-2(-1) - 1}{1 - (-1)} = \frac{2 - 1}{1 + 1} = \frac{1}{2} \) (không là số nguyên) - Nếu \( k = 2 \): \( n = \frac{-2(2) - 1}{1 - 2} = \frac{-4 - 1}{-1} = \frac{-5}{-1} = 5 \) - Nếu \( k = -2 \): \( n = \frac{-2(-2) - 1}{1 - (-2)} = \frac{4 - 1}{1 + 2} = \frac{3}{3} = 1 \) 5. Kiểm tra các giá trị \( n \) đã tìm được: - \( n = -1 \): \( \frac{-1 + 1}{-1 - 2} = \frac{0}{-3} = 0 \) (là số nguyên) - \( n = 1 \): \( \frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2 \) (là số nguyên) - \( n = 5 \): \( \frac{5 + 1}{5 - 2} = \frac{6}{3} = 2 \) (là số nguyên) Vậy các số nguyên \( n \) sao cho \( \frac{n+1}{n-2} \) là số nguyên là \( n = -1, 1, 5 \). Bài 1: a) Hình chữ nhật có chiều dài và chiều rộng . - Chu vi hình chữ nhật: \[ C = 2 \times (l + w) = 2 \times (10 + 5) = 2 \times 15 = 30 \text{ cm} \] - Diện tích hình chữ nhật: \[ S = l \times w = 10 \times 5 = 50 \text{ cm}^2 \] b) Hình vuông có cạnh . - Chu vi hình vuông: \[ C = 4 \times a = 4 \times 6 = 24 \text{ cm} \] - Diện tích hình vuông: \[ S = a^2 = 6^2 = 36 \text{ cm}^2 \] c) Hình thang cân có độ dài hai đáy là và , chiều cao , cạnh bên . - Chu vi hình thang cân: \[ C = a + b + 2c = 8 + 12 + 2 \times 5 = 8 + 12 + 10 = 30 \text{ cm} \] - Diện tích hình thang cân: \[ S = \frac{(a + b) \times h}{2} = \frac{(8 + 12) \times 4}{2} = \frac{20 \times 4}{2} = 40 \text{ cm}^2 \] d) Hình thoi có cạnh , độ dài hai đường chéo là và . - Chu vi hình thoi: \[ C = 4 \times a = 4 \times 7 = 28 \text{ cm} \] - Diện tích hình thoi: \[ S = \frac{d_1 \times d_2}{2} = \frac{10 \times 8}{2} = \frac{80}{2} = 40 \text{ cm}^2 \] e) Hình bình hành có độ dài hai cạnh là và , chiều cao . - Chu vi hình bình hành: \[ C = 2 \times (a + b) = 2 \times (6 + 4) = 2 \times 10 = 20 \text{ cm} \] - Diện tích hình bình hành: \[ S = a \times h = 6 \times 3 = 18 \text{ cm}^2 \]