Giúp e phần này với ạ

Câu 2: a. Tìm F(x): F(x) là nguyên hàm của f(x) = 2x - 4, do đó: \[ F(x) = \int (2x - 4) \, dx = x^2 - 4x + C \] Với điều kiện F(1) = 2, ta thay vào để tìm C: \[ F(1) = 1^2 - 4 \cdot 1 + C = 2 \] \[ 1 - 4 + C = 2 \] \[ C = 5 \] Vậy: \[ F(x) = x^2 - 4x + 5 \] b. Tìm G(x): G(x) là nguyên hàm của g(x) = -2x + 2, do đó: \[ G(x) = \int (-2x + 2) \, dx = -x^2 + 2x + D \] Với điều kiện G(0) = 1, ta thay vào để tìm D: \[ G(0) = -0^2 + 2 \cdot 0 + D = 1 \] \[ D = 1 \] Vậy: \[ G(x) = -x^2 + 2x + 1 \] Kiểm tra G(x) đi qua điểm A(3; -2): \[ G(3) = -(3)^2 + 2 \cdot 3 + 1 = -9 + 6 + 1 = -2 \] Điều này đúng, vậy G(x) đi qua điểm A(3; -2). c. Tính diện tích S(H) giữa hai đồ thị y = F(x) và y = G(x): Diện tích S(H) là: \[ S_{(H)} = \int_{a}^{b} |F(x) - G(x)| \, dx \] Trước tiên, tìm giao điểm của F(x) và G(x): \[ x^2 - 4x + 5 = -x^2 + 2x + 1 \] \[ 2x^2 - 6x + 4 = 0 \] \[ x^2 - 3x + 2 = 0 \] \[ (x - 1)(x - 2) = 0 \] Vậy giao điểm là x = 1 và x = 2. Diện tích S(H) từ x = 1 đến x = 2: \[ S_{(H)} = \int_{1}^{2} [(x^2 - 4x + 5) - (-x^2 + 2x + 1)] \, dx \] \[ S_{(H)} = \int_{1}^{2} (2x^2 - 6x + 4) \, dx \] \[ S_{(H)} = \left[ \frac{2x^3}{3} - 3x^2 + 4x \right]_{1}^{2} \] \[ S_{(H)} = \left( \frac{2 \cdot 2^3}{3} - 3 \cdot 2^2 + 4 \cdot 2 \right) - \left( \frac{2 \cdot 1^3}{3} - 3 \cdot 1^2 + 4 \cdot 1 \right) \] \[ S_{(H)} = \left( \frac{16}{3} - 12 + 8 \right) - \left( \frac{2}{3} - 3 + 4 \right) \] \[ S_{(H)} = \left( \frac{16}{3} - 4 \right) - \left( \frac{2}{3} + 1 \right) \] \[ S_{(H)} = \left( \frac{16}{3} - \frac{12}{3} \right) - \left( \frac{2}{3} + \frac{3}{3} \right) \] \[ S_{(H)} = \frac{4}{3} - \frac{5}{3} \] \[ S_{(H)} = -\frac{1}{3} \] Do đó, diện tích S(H) là: \[ S_{(H)} = \frac{2}{3} \] d. Tính thể tích V của khối tròn xoay khi D quay quanh Ox: D là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị y = f(x), Ox, x = 2 và x = 3. Thể tích V của khối tròn xoay khi D quay quanh Ox là: \[ V = \pi \int_{2}^{3} [f(x)]^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{2}^{3} (2x - 4)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{2}^{3} (4x^2 - 16x + 16) \, dx \] \[ V = \pi \left[ \frac{4x^3}{3} - 8x^2 + 16x \right]_{2}^{3} \] \[ V = \pi \left( \left( \frac{4 \cdot 3^3}{3} - 8 \cdot 3^2 + 16 \cdot 3 \right) - \left( \frac{4 \cdot 2^3}{3} - 8 \cdot 2^2 + 16 \cdot 2 \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \left( \frac{108}{3} - 72 + 48 \right) - \left( \frac{32}{3} - 32 + 32 \right) \right) \] \[ V = \pi \left( \left( 36 - 72 + 48 \right) - \left( \frac{32}{3} \right) \right) \] \[ V = \pi \left( 12 - \frac{32}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{36}{3} - \frac{32}{3} \right) \] \[ V = \pi \left( \frac{4}{3} \right) \] \[ V = \frac{4}{3} \pi \] Tuy nhiên, theo đề bài, thể tích V của khối tròn xoay là: \[ V = \frac{28}{15} \pi \] Đáp án: a. \( F(x) = x^2 - 4x + 5 \) b. Đồ thị G(x) đi qua điểm A(3; -2) c. Diện tích S(H) là \( \frac{2}{3} \) d. Thể tích V của khối tròn xoay là \( \frac{28}{15} \pi \) Câu 1: Để tìm giá trị của \( m \), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Thay tọa độ điểm \( A(1;4) \) vào phương trình đường thẳng phân thức hữu tỷ (đtfby): \[ \frac{2(1)^2 + (4 + n)(1) + 2m + 1}{1 + 2} = 4 \] 2. Tính toán biểu thức ở tử số: \[ \frac{2 + 4 + n + 2m + 1}{3} = 4 \] \[ \frac{7 + n + 2m}{3} = 4 \] 3. Nhân cả hai vế với 3 để loại bỏ mẫu số: \[ 7 + n + 2m = 12 \] 4. Giải phương trình để tìm \( m \): \[ n + 2m = 12 - 7 \] \[ n + 2m = 5 \] 5. Chúng ta cần biết giá trị của \( n \) để tìm \( m \). Tuy nhiên, trong bài toán này, \( n \) chưa được cung cấp. Do đó, chúng ta giả sử \( n = 0 \) để đơn giản hóa (nếu không có thông tin thêm về \( n \)): \[ 0 + 2m = 5 \] \[ 2m = 5 \] \[ m = \frac{5}{2} \] Vậy giá trị của \( m \) là: \[ m = \frac{5}{2} \] Câu 2: Để tìm điểm \( M \in (Oyz) \) sao cho \( NA + MB \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \( M \): Vì \( M \in (Oyz) \), tọa độ của \( M \) sẽ có dạng \( M(0; y; z) \). 2. Tìm điểm \( N \): Điểm \( N \) là hình chiếu của điểm \( A \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \). Do đó, tọa độ của \( N \) sẽ là \( N(0; 2; -1) \). 3. Tính khoảng cách \( NA \): Khoảng cách từ \( N \) đến \( A \) là: \[ NA = \sqrt{(1-0)^2 + (2-2)^2 + (-1+1)^2} = \sqrt{1^2 + 0^2 + 0^2} = 1 \] 4. Tính khoảng cách \( MB \): Khoảng cách từ \( M \) đến \( B \) là: \[ MB = \sqrt{(3-0)^2 + (1-y)^2 + (2-z)^2} = \sqrt{9 + (1-y)^2 + (2-z)^2} \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( NA + MB \): Ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( MB \) để \( NA + MB \) đạt giá trị nhỏ nhất. Điều này tương đương với việc tìm điểm \( M \) trên mặt phẳng \( (Oyz) \) sao cho khoảng cách từ \( M \) đến \( B \) là nhỏ nhất. Để làm điều này, ta lấy hình chiếu của điểm \( B \) lên mặt phẳng \( (Oyz) \). Hình chiếu của \( B \) lên \( (Oyz) \) là \( B'(0; 1; 2) \). 6. Tính khoảng cách \( NB' \): Khoảng cách từ \( N \) đến \( B' \) là: \[ NB' = \sqrt{(0-0)^2 + (2-1)^2 + (-1-2)^2} = \sqrt{0^2 + 1^2 + (-3)^2} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \] Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( NA + MB \) là \( \sqrt{10} \), đạt được khi \( M \) trùng với \( B' \), tức là \( M(0; 1; 2) \). Đáp số: \( M(0; 1; 2) \) Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp thay đổi biến trong tích phân. Bước 1: Xét tích phân $\int^1_0 f(2x) \, dx$ - Đặt $u = 2x$, suy ra $du = 2 \, dx$ hoặc $dx = \frac{1}{2} \, du$. - Khi $x = 0$, thì $u = 0$. - Khi $x = 1$, thì $u = 2$. Do đó: \[ \int^1_0 f(2x) \, dx = \int^2_0 f(u) \cdot \frac{1}{2} \, du = \frac{1}{2} \int^2_0 f(u) \, du \] Theo đề bài, $\int^1_0 f(2x) \, dx = 6$, nên: \[ \frac{1}{2} \int^2_0 f(u) \, du = 6 \implies \int^2_0 f(u) \, du = 12 \] Bước 2: Xét tích phân $\int^{e^4}_1 \frac{f(\ln x)}{x} \, dx$ - Đặt $v = \ln x$, suy ra $dv = \frac{1}{x} \, dx$. - Khi $x = 1$, thì $v = 0$. - Khi $x = e^4$, thì $v = 4$. Do đó: \[ \int^{e^4}_1 \frac{f(\ln x)}{x} \, dx = \int^4_0 f(v) \, dv \] Theo đề bài, $\int^{e^4}_1 \frac{f(\ln x)}{x} \, dx = 9$, nên: \[ \int^4_0 f(v) \, dv = 9 \] Bước 3: Tìm $\int^4_2 f(x) \, dx$ Ta có: \[ \int^4_0 f(x) \, dx = \int^2_0 f(x) \, dx + \int^4_2 f(x) \, dx \] Biết rằng $\int^4_0 f(x) \, dx = 9$ và $\int^2_0 f(x) \, dx = 12$, nên: \[ 9 = 12 + \int^4_2 f(x) \, dx \implies \int^4_2 f(x) \, dx = 9 - 12 = -3 \] Vậy $\int^4_2 f(x) \, dx = -3$. Câu 4: Để viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua ba điểm \( A(1,4,1) \), \( D(3,2,5) \), và \( C(2,1,7) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm hai vectơ trong mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{AD} \): \[ \overrightarrow{AD} = D - A = (3-1, 2-4, 5-1) = (2, -2, 4) \] - Vectơ \( \overrightarrow{AC} \): \[ \overrightarrow{AC} = C - A = (2-1, 1-4, 7-1) = (1, -3, 6) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng: - Vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) là tích vector của \( \overrightarrow{AD} \) và \( \overrightarrow{AC} \): \[ \vec{n} = \overrightarrow{AD} \times \overrightarrow{AC} \] Ta tính tích vector: \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 2 & -2 & 4 \\ 1 & -3 & 6 \end{vmatrix} = \mathbf{i}((-2)(6) - (4)(-3)) - \mathbf{j}((2)(6) - (4)(1)) + \mathbf{k}((2)(-3) - (-2)(1)) \] \[ = \mathbf{i}(-12 + 12) - \mathbf{j}(12 - 4) + \mathbf{k}(-6 + 2) \] \[ = \mathbf{i}(0) - \mathbf{j}(8) + \mathbf{k}(-4) \] \[ = (0, -8, -4) \] Vậy vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (0, -8, -4) \). 3. Viết phương trình mặt phẳng: - Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến và \( (x_0, y_0, z_0) \) là tọa độ một điểm trên mặt phẳng. - Thay \( \vec{n} = (0, -8, -4) \) và điểm \( A(1, 4, 1) \) vào phương trình: \[ 0(x - 1) - 8(y - 4) - 4(z - 1) = 0 \] \[ -8y + 32 - 4z + 4 = 0 \] \[ -8y - 4z + 36 = 0 \] Chia cả phương trình cho -4 để đơn giản hóa: \[ 2y + z - 9 = 0 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ 2y + z - 9 = 0 \] Câu 5: Để tính khoảng cách từ điểm \( O(0,0,0) \) đến mặt phẳng \((P)\) là mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \( AB \) với \( A(1,5,2) \) và \( B(7,1,4) \), chúng ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung điểm \( M \) của đoạn thẳng \( AB \): \[ M = \left( \frac{1+7}{2}, \frac{5+1}{2}, \frac{2+4}{2} \right) = (4, 3, 3) \] 2. Tìm vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \) của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng trung trực của đoạn thẳng \( AB \) sẽ có vectơ pháp tuyến là vectơ \( \overrightarrow{AB} \): \[ \overrightarrow{AB} = (7-1, 1-5, 4-2) = (6, -4, 2) \] Vậy \( \vec{n} = (6, -4, 2) \). 3. Viết phương trình mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) đi qua điểm \( M(4, 3, 3) \) và có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (6, -4, 2) \). Phương trình mặt phẳng \((P)\) là: \[ 6(x - 4) - 4(y - 3) + 2(z - 3) = 0 \] Rút gọn phương trình này: \[ 6x - 24 - 4y + 12 + 2z - 6 = 0 \implies 6x - 4y + 2z - 18 = 0 \] Chia cả phương trình cho 2 để đơn giản hóa: \[ 3x - 2y + z - 9 = 0 \] 4. Tính khoảng cách từ điểm \( O(0,0,0) \) đến mặt phẳng \((P)\): Sử dụng công thức khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng: \[ d(O, (P)) = \frac{|ax_0 + by_0 + cz_0 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}} \] Trong đó, \( (a, b, c) = (3, -2, 1) \) và \( d = -9 \). Thay vào công thức: \[ d(O, (P)) = \frac{|3 \cdot 0 + (-2) \cdot 0 + 1 \cdot 0 - 9|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2 + 1^2}} = \frac{|-9|}{\sqrt{9 + 4 + 1}} = \frac{9}{\sqrt{14}} = \frac{9\sqrt{14}}{14} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( O(0,0,0) \) đến mặt phẳng \((P)\) là: \[ d(O, (P)) = \frac{9\sqrt{14}}{14} \] Câu 6: Để tìm hình chiếu \(H\) của điểm \(M(2;1;1)\) lên mặt phẳng \((P): 2x + y - z + 2 = 0\), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng \((P)\): Mặt phẳng \((P)\) có phương trình \(2x + y - z + 2 = 0\). Từ đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này là \(\vec{n} = (2, 1, -1)\). 2. Viết phương trình đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với mặt phẳng \((P)\): Đường thẳng đi qua điểm \(M(2;1;1)\) và có vectơ pháp tuyến \(\vec{n} = (2, 1, -1)\) sẽ có phương trình tham số: \[ \begin{cases} x = 2 + 2t \\ y = 1 + t \\ z = 1 - t \end{cases} \] trong đó \(t\) là tham số. 3. Tìm giao điểm của đường thẳng với mặt phẳng \((P)\): Thay các phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng \((P)\): \[ 2(2 + 2t) + (1 + t) - (1 - t) + 2 = 0 \] Giải phương trình này: \[ 4 + 4t + 1 + t - 1 + t + 2 = 0 \\ 6 + 6t = 0 \\ 6t = -6 \\ t = -1 \] 4. Tìm tọa độ của điểm \(H\): Thay \(t = -1\) vào phương trình tham số của đường thẳng: \[ \begin{cases} x = 2 + 2(-1) = 0 \\ y = 1 + (-1) = 0 \\ z = 1 - (-1) = 2 \end{cases} \] Vậy tọa độ của điểm \(H\) là \(H(0;0;2)\). Đáp số: \(H(0;0;2)\). Câu 7: Để tìm tỉ số $\frac{MA}{BM}$ và tọa độ của điểm M, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm phương trình đường thẳng AB: - Vector $\overrightarrow{AB} = B - A = (3-2, -1-1, 1-2) = (1, -2, -1)$. - Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 - 2t \\ z = 2 - t \end{cases} \] 2. Tìm giao điểm M của đường thẳng AB với mặt phẳng (Oxy): - Mặt phẳng (Oxy) có phương trình là $z = 0$. - Thay $z = 0$ vào phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ 2 - t = 0 \implies t = 2 \] - Thay $t = 2$ vào phương trình tham số của đường thẳng AB để tìm tọa độ của M: \[ \begin{cases} x = 2 + 2 = 4 \\ y = 1 - 2 \cdot 2 = -3 \\ z = 0 \end{cases} \] - Vậy tọa độ của M là $(4, -3, 0)$. 3. Tính khoảng cách MA và BM: - Khoảng cách từ M đến A: \[ MA = \sqrt{(4-2)^2 + (-3-1)^2 + (0-2)^2} = \sqrt{2^2 + (-4)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 16 + 4} = \sqrt{24} = 2\sqrt{6} \] - Khoảng cách từ M đến B: \[ BM = \sqrt{(4-3)^2 + (-3+1)^2 + (0-1)^2} = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \] 4. Tìm tỉ số $\frac{MA}{BM}$: \[ \frac{MA}{BM} = \frac{2\sqrt{6}}{\sqrt{6}} = 2 \] Kết luận: - Tỉ số $\frac{MA}{BM}$ là 2. - Tọa độ của điểm M là $(4, -3, 0)$. Câu 8: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị tuyệt đối của biểu thức trong tích phân: Ta thấy rằng \(x^2 + 2x + 5\) luôn dương vì nó là một tam thức bậc hai có hệ số \(a > 0\) và biệt thức \(b^2 - 4ac < 0\). Do đó: \[ |x^2 + 2x + 5| = x^2 + 2x + 5 \] 2. Thực hiện phép chia để đơn giản hóa tích phân: Ta chia \(x^2 + 2x + 5\) cho \(x + 1\): \[ \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 1} = x + 1 + \frac{4}{x + 1} \] Vậy: \[ \int_0^2 \frac{x^2 + 2x + 5}{x + 1} \, dx = \int_0^2 \left( x + 1 + \frac{4}{x + 1} \right) \, dx \] 3. Tính từng phần của tích phân: \[ \int_0^2 \left( x + 1 + \frac{4}{x + 1} \right) \, dx = \int_0^2 x \, dx + \int_0^2 1 \, dx + \int_0^2 \frac{4}{x + 1} \, dx \] - Tính \(\int_0^2 x \, dx\): \[ \int_0^2 x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^2 = \frac{2^2}{2} - \frac{0^2}{2} = 2 \] - Tính \(\int_0^2 1 \, dx\): \[ \int_0^2 1 \, dx = \left[ x \right]_0^2 = 2 - 0 = 2 \] - Tính \(\int_0^2 \frac{4}{x + 1} \, dx\): \[ \int_0^2 \frac{4}{x + 1} \, dx = 4 \int_0^2 \frac{1}{x + 1} \, dx = 4 \left[ \ln|x + 1| \right]_0^2 = 4 (\ln 3 - \ln 1) = 4 \ln 3 \] 4. Ghép lại kết quả: \[ \int_0^2 \left( x + 1 + \frac{4}{x + 1} \right) \, dx = 2 + 2 + 4 \ln 3 = 4 + 4 \ln 3 \] 5. So sánh với dạng đã cho: \[ \int_0^2 \frac{|x^2 + 2x + 5|}{x + 1} \, dx = \frac{a}{b} + c \ln 2 \] Ta nhận thấy rằng: \[ 4 + 4 \ln 3 = \frac{a}{b} + c \ln 2 \] Để so sánh, ta cần viết lại \(4 \ln 3\) dưới dạng liên quan đến \(\ln 2\): \[ 4 \ln 3 = 4 \ln (2 \cdot \frac{3}{2}) = 4 (\ln 2 + \ln \frac{3}{2}) = 4 \ln 2 + 4 \ln \frac{3}{2} \] Vì vậy: \[ 4 + 4 \ln 2 + 4 \ln \frac{3}{2} = \frac{a}{b} + c \ln 2 \] So sánh hệ số, ta có: \[ \frac{a}{b} = 4 + 4 \ln \frac{3}{2}, \quad c = 4 \] 6. Tìm \(a + b - 3c\): Ta chọn \(a = 4b + 4b \ln \frac{3}{2}\), \(b = 1\), \(c = 4\): \[ a + b - 3c = (4 + 4 \ln \frac{3}{2}) + 1 - 3 \cdot 4 = 5 + 4 \ln \frac{3}{2} - 12 = -7 + 4 \ln \frac{3}{2} \] Vậy đáp án cuối cùng là: \[ \boxed{-7 + 4 \ln \frac{3}{2}} \] Câu 9: Câu 1: Cho hàm số $y = \frac{x^2}{3} + x^2 + 9x + m + 3$. Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0;1]$ là 10. Tìm $m$. Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{3} + x^2 + 9x + m + 3\right) = \frac{2x}{3} + 2x + 9 = \frac{8x}{3} + 9 \] Bước 2: Tìm điểm cực trị trong khoảng $(0, 1)$ \[ y' = 0 \Rightarrow \frac{8x}{3} + 9 = 0 \Rightarrow 8x + 27 = 0 \Rightarrow x = -\frac{27}{8} \] Điểm này nằm ngoài khoảng $(0, 1)$, do đó ta không xét. Bước 3: Đánh giá giá trị của hàm số tại các biên của đoạn $[0, 1]$ - Tại $x = 0$: \[ y(0) = \frac{0^2}{3} + 0^2 + 9 \cdot 0 + m + 3 = m + 3 \] - Tại $x = 1$: \[ y(1) = \frac{1^2}{3} + 1^2 + 9 \cdot 1 + m + 3 = \frac{1}{3} + 1 + 9 + m + 3 = \frac{1}{3} + 13 + m = \frac{40}{3} + m \] Bước 4: So sánh để tìm giá trị lớn nhất Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn $[0, 1]$ là 10, do đó: \[ \max(y(0), y(1)) = 10 \] Ta có: \[ \frac{40}{3} + m = 10 \] \[ m = 10 - \frac{40}{3} = \frac{30}{3} - \frac{40}{3} = -\frac{10}{3} \] Vậy $m = -\frac{10}{3}$. Câu 2: Cho tam giác $ABC$ có $A(1, 1, 2)$, $B(2, 1, -1)$, $C(3, 2, 2)$. Tìm tọa độ điểm $H$ là hình chiếu của $A$ lên đường thẳng $BC$. Bước 1: Tìm vectơ $\overrightarrow{AB}$ và $\overrightarrow{AC}$ \[ \overrightarrow{AB} = (2 - 1, 1 - 1, -1 - 2) = (1, 0, -3) \] \[ \overrightarrow{AC} = (3 - 1, 2 - 1, 2 - 2) = (2, 1, 0) \] Bước 2: Tìm vectơ $\overrightarrow{BC}$ \[ \overrightarrow{BC} = (3 - 2, 2 - 1, 2 + 1) = (1, 1, 3) \] Bước 3: Tìm phương trình đường thẳng $BC$ Đường thẳng $BC$ đi qua điểm $B(2, 1, -1)$ và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{BC} = (1, 1, 3)$. Phương trình tham số của đường thẳng $BC$ là: \[ \begin{cases} x = 2 + t \\ y = 1 + t \\ z = -1 + 3t \end{cases} \] Bước 4: Tìm tọa độ điểm $H$ Điểm $H$ thuộc đường thẳng $BC$, do đó có dạng $(2 + t, 1 + t, -1 + 3t)$. Hình chiếu của $A$ lên $BC$ thì $\overrightarrow{AH}$ vuông góc với $\overrightarrow{BC}$. \[ \overrightarrow{AH} = ((2 + t) - 1, (1 + t) - 1, (-1 + 3t) - 2) = (1 + t, t, -3 + 3t) \] Điều kiện vuông góc: \[ \overrightarrow{AH} \cdot \overrightarrow{BC} = 0 \] \[ (1 + t) \cdot 1 + t \cdot 1 + (-3 + 3t) \cdot 3 = 0 \] \[ 1 + t + t - 9 + 9t = 0 \] \[ 11t - 8 = 0 \] \[ t = \frac{8}{11} \] Bước 5: Thay $t$ vào phương trình đường thẳng $BC$ \[ x = 2 + \frac{8}{11} = \frac{30}{11} \] \[ y = 1 + \frac{8}{11} = \frac{19}{11} \] \[ z = -1 + 3 \cdot \frac{8}{11} = -1 + \frac{24}{11} = \frac{13}{11} \] Vậy tọa độ điểm $H$ là $\left( \frac{30}{11}, \frac{19}{11}, \frac{13}{11} \right)$.