Giúp mình với ạ

Câu 5: Để tìm giá trị lớn nhất của hàm số \( y = -3x - \frac{135}{x} + 83 \) trên khoảng \( (0, +\infty) \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm đạo hàm của hàm số: \[ y' = \frac{d}{dx}\left(-3x - \frac{135}{x} + 83\right) \] \[ y' = -3 + \frac{135}{x^2} \] 2. Tìm điểm cực trị: Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ -3 + \frac{135}{x^2} = 0 \] \[ \frac{135}{x^2} = 3 \] \[ x^2 = \frac{135}{3} \] \[ x^2 = 45 \] \[ x = \sqrt{45} \quad \text{hoặc} \quad x = -\sqrt{45} \] Vì \( x \) thuộc khoảng \( (0, +\infty) \), ta chỉ xét \( x = \sqrt{45} \). 3. Kiểm tra tính chất của điểm cực trị: Ta kiểm tra đạo hàm ở hai bên điểm \( x = \sqrt{45} \): - Khi \( x < \sqrt{45} \), \( y' > 0 \) (hàm số tăng). - Khi \( x > \sqrt{45} \), \( y' < 0 \) (hàm số giảm). Do đó, \( x = \sqrt{45} \) là điểm cực đại của hàm số. 4. Tính giá trị của hàm số tại điểm cực đại: \[ y(\sqrt{45}) = -3(\sqrt{45}) - \frac{135}{\sqrt{45}} + 83 \] \[ y(\sqrt{45}) = -3\sqrt{45} - \frac{135}{\sqrt{45}} + 83 \] \[ y(\sqrt{45}) = -3\sqrt{45} - 3\sqrt{45} + 83 \] \[ y(\sqrt{45}) = -6\sqrt{45} + 83 \] \[ y(\sqrt{45}) = -6 \cdot 3\sqrt{5} + 83 \] \[ y(\sqrt{45}) = -18\sqrt{5} + 83 \] Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là \( -18\sqrt{5} + 83 \), đạt được khi \( x = \sqrt{45} \). Câu 6: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Viết phương trình tham số của đường thẳng AB: - Đường thẳng AB đi qua điểm A(3, 0, 4) và B(1, 4, 2). - Vector AB = B - A = (1 - 3, 4 - 0, 2 - 4) = (-2, 4, -2). Phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \begin{cases} x = 3 - 2t \\ y = 0 + 4t \\ z = 4 - 2t \end{cases} \] 2. Thay phương trình tham số vào phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) có phương trình: \(x - 2y - z - 3 = 0\). Thay \(x = 3 - 2t\), \(y = 4t\), \(z = 4 - 2t\) vào phương trình mặt phẳng: \[ (3 - 2t) - 2(4t) - (4 - 2t) - 3 = 0 \] \[ 3 - 2t - 8t - 4 + 2t - 3 = 0 \] \[ 3 - 4 - 3 - 8t = 0 \] \[ -4 - 8t = 0 \] \[ -8t = 4 \] \[ t = -\frac{1}{2} \] 3. Tìm tọa độ giao điểm K(a, b, c): Thay \(t = -\frac{1}{2}\) vào phương trình tham số của đường thẳng AB: \[ \begin{cases} a = 3 - 2(-\frac{1}{2}) = 3 + 1 = 4 \\ b = 4(-\frac{1}{2}) = -2 \\ c = 4 - 2(-\frac{1}{2}) = 4 + 1 = 5 \end{cases} \] Vậy giao điểm K có tọa độ (4, -2, 5). 4. Tính \(2a - 3b + c\): \[ 2a - 3b + c = 2(4) - 3(-2) + 5 = 8 + 6 + 5 = 19 \] Vậy \(2a - 3b + c = 19\). Câu 7. 1) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại điểm M(4; 15) Điều kiện xác định: \( -x + 5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 5 \) Tính đạo hàm của \( y \): \[ y' = \left(\frac{x^2 + x - 5}{-x + 5}\right)' = \frac{(2x + 1)(-x + 5) - (x^2 + x - 5)(-1)}{(-x + 5)^2} = \frac{-2x^2 + 9x + 5 + x^2 + x - 5}{(-x + 5)^2} = \frac{-x^2 + 10x}{(-x + 5)^2} \] Tại điểm M(4; 15), ta có: \[ y'(4) = \frac{-(4)^2 + 10(4)}{(-4 + 5)^2} = \frac{-16 + 40}{1} = 24 \] Phương trình tiếp tuyến tại M(4; 15) là: \[ y - 15 = 24(x - 4) \] \[ y = 24x - 96 + 15 \] \[ y = 24x - 81 \] 2) Tìm tâm đối xứng của đồ thị hàm số Ta thấy rằng hàm số \( y = \frac{x^2 + x - 5}{-x + 5} \) có dạng phân thức bậc hai chia cho bậc nhất. Ta có thể viết lại dưới dạng: \[ y = \frac{x^2 + x - 5}{-x + 5} = -x - 6 + \frac{25}{-x + 5} \] Tâm đối xứng của đồ thị hàm số này là trung điểm của hai đường tiệm cận đứng và ngang, tức là: \[ x = 5 \text{ và } y = -6 \] Vậy tâm đối xứng là \( (5, -6) \). 3) Viết phương trình tiếp tuyến với (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành Giao điểm của (C) với trục hoành là điểm mà \( y = 0 \): \[ \frac{x^2 + x - 5}{-x + 5} = 0 \Rightarrow x^2 + x - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 20}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{21}}{2} \] Vậy giao điểm là \( \left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2}, 0 \right) \) và \( \left( \frac{-1 - \sqrt{21}}{2}, 0 \right) \). Tính đạo hàm tại các điểm này: \[ y'\left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right) = \frac{-\left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right)^2 + 10 \left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right)}{\left( -\left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right) + 5 \right)^2} \] \[ y'\left( \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right) = \frac{-\left( \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right)^2 + 10 \left( \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right)}{\left( -\left( \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right) + 5 \right)^2} \] Phương trình tiếp tuyến tại các điểm này sẽ là: \[ y = y'\left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right) \left( x - \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right) \] \[ y = y'\left( \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right) \left( x - \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right) \] 4) Có bao nhiêu điểm thuộc (C) và cách đều hai trục tọa độ Điểm cách đều hai trục tọa độ có dạng \( (a, a) \) hoặc \( (a, -a) \). Thay vào phương trình hàm số: - Với \( (a, a) \): \[ a = \frac{a^2 + a - 5}{-a + 5} \Rightarrow a(-a + 5) = a^2 + a - 5 \Rightarrow -a^2 + 5a = a^2 + a - 5 \Rightarrow 2a^2 - 4a - 5 = 0 \] Giải phương trình bậc hai: \[ a = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 40}}{4} = \frac{4 \pm \sqrt{56}}{4} = \frac{4 \pm 2\sqrt{14}}{4} = 1 \pm \frac{\sqrt{14}}{2} \] - Với \( (a, -a) \): \[ -a = \frac{a^2 + a - 5}{-a + 5} \Rightarrow -a(-a + 5) = a^2 + a - 5 \Rightarrow a^2 - 5a = a^2 + a - 5 \Rightarrow -6a = -5 \Rightarrow a = \frac{5}{6} \] Vậy có 3 điểm thỏa mãn: \( \left( 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{14}}{2} \right) \), \( \left( 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{14}}{2} \right) \), và \( \left( \frac{5}{6}, -\frac{5}{6} \right) \). Đáp số: 1) Phương trình tiếp tuyến tại M(4; 15) là \( y = 24x - 81 \) 2) Tâm đối xứng của đồ thị là \( (5, -6) \) 3) Phương trình tiếp tuyến tại giao điểm của (C) với trục hoành là \( y = y'\left( \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right) \left( x - \frac{-1 + \sqrt{21}}{2} \right) \) và \( y = y'\left( \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right) \left( x - \frac{-1 - \sqrt{21}}{2} \right) \) 4) Có 3 điểm cách đều hai trục tọa độ: \( \left( 1 + \frac{\sqrt{14}}{2}, 1 + \frac{\sqrt{14}}{2} \right) \), \( \left( 1 - \frac{\sqrt{14}}{2}, 1 - \frac{\sqrt{14}}{2} \right) \), và \( \left( \frac{5}{6}, -\frac{5}{6} \right) \).