Giải giúp em bài này với ạ

Câu 1. Để tính diện tích tam giác OAB, chúng ta cần xác định tọa độ của các điểm A và B, sau đó sử dụng công thức diện tích tam giác. Bước 1: Tìm điểm cực đại và cực tiểu của hàm số \( y = x^3 + 3x^2 - 4 \). Đạo hàm của hàm số: \[ y' = 3x^2 + 6x \] Tìm các điểm cực trị bằng cách giải phương trình đạo hàm bằng 0: \[ 3x^2 + 6x = 0 \] \[ 3x(x + 2) = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -2 \] Bước 2: Xác định tọa độ của các điểm cực đại và cực tiểu. - Khi \( x = 0 \): \[ y = 0^3 + 3(0)^2 - 4 = -4 \] Do đó, điểm cực tiểu là \( B(0, -4) \). - Khi \( x = -2 \): \[ y = (-2)^3 + 3(-2)^2 - 4 = -8 + 12 - 4 = 0 \] Do đó, điểm cực đại là \( A(-2, 0) \). Bước 3: Tính diện tích tam giác OAB. Công thức diện tích tam giác với các đỉnh \( (x_1, y_1) \), \( (x_2, y_2) \), \( (x_3, y_3) \) là: \[ S = \frac{1}{2} \left| x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2) \right| \] Áp dụng vào tam giác OAB với các đỉnh \( O(0, 0) \), \( A(-2, 0) \), \( B(0, -4) \): \[ S = \frac{1}{2} \left| 0(0 + 4) + (-2)(-4 - 0) + 0(0 - 0) \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \left| 0 + 8 + 0 \right| \] \[ S = \frac{1}{2} \times 8 = 4 \] Vậy diện tích tam giác OAB là 4 đơn vị diện tích. Câu 2. a. Để tính số lượng xe bán được trong tháng đầu tiên, ta thay \( x = 1 \) vào công thức \( f(x) \): \[ f(1) = 80 - \frac{30}{1 + 2} = 80 - \frac{30}{3} = 80 - 10 = 70 \] Vậy số lượng xe bán được trong tháng đầu tiên là 70 xe. b. Khi \( x \) càng lớn, ta xét giới hạn của \( f(x) \) khi \( x \) tiến đến vô cùng: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( 80 - \frac{30}{x + 2} \right) \] Khi \( x \) tiến đến vô cùng, \( \frac{30}{x + 2} \) sẽ tiến đến 0. Do đó: \[ \lim_{x \to \infty} f(x) = 80 - 0 = 80 \] Vậy khi \( x \) càng lớn, số lượng xe bán ra càng tiến gần đến mức 80 xe một tháng. Đáp số: a. Số lượng xe bán được trong tháng đầu tiên là 70 xe. b. Khi \( x \) càng lớn, số lượng xe bán ra càng tiến gần đến mức 80 xe một tháng. Câu 3. Để tìm điểm \(M\) thuộc mặt phẳng \(Oxz\) sao cho \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định tọa độ của điểm \(M\): Vì \(M\) thuộc mặt phẳng \(Oxz\), tọa độ của \(M\) sẽ có dạng \(M(x;0;z)\). 2. Tìm điều kiện để \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng: Ba điểm \(A\), \(B\), và \(M\) thẳng hàng nếu và chỉ nếu vectơ \(\overrightarrow{AB}\) và vectơ \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương. Ta tính vectơ \(\overrightarrow{AB}\): \[ \overrightarrow{AB} = B - A = (5 - (-2); 6 - 3; 2 - 1) = (7; 3; 1) \] Ta tính vectơ \(\overrightarrow{AM}\): \[ \overrightarrow{AM} = M - A = (x - (-2); 0 - 3; z - 1) = (x + 2; -3; z - 1) \] Để \(\overrightarrow{AB}\) và \(\overrightarrow{AM}\) cùng phương, tồn tại số thực \(k\) sao cho: \[ \overrightarrow{AM} = k \cdot \overrightarrow{AB} \] Điều này dẫn đến hệ phương trình: \[ \begin{cases} x + 2 = 7k \\ -3 = 3k \\ z - 1 = k \end{cases} \] 3. Giải hệ phương trình: Từ phương trình thứ hai: \[ -3 = 3k \implies k = -1 \] Thay \(k = -1\) vào phương trình thứ nhất: \[ x + 2 = 7(-1) \implies x + 2 = -7 \implies x = -9 \] Thay \(k = -1\) vào phương trình thứ ba: \[ z - 1 = -1 \implies z = 0 \] Vậy tọa độ của điểm \(M\) là \(M(-9; 0; 0)\). 4. Tính khoảng cách \(BM\) và \(AM\): Ta tính khoảng cách từ \(B\) đến \(M\): \[ BM = \sqrt{(5 - (-9))^2 + (6 - 0)^2 + (2 - 0)^2} = \sqrt{(14)^2 + (6)^2 + (2)^2} = \sqrt{196 + 36 + 4} = \sqrt{236} = 2\sqrt{59} \] Ta tính khoảng cách từ \(A\) đến \(M\): \[ AM = \sqrt{((-2) - (-9))^2 + (3 - 0)^2 + (1 - 0)^2} = \sqrt{(7)^2 + (3)^2 + (1)^2} = \sqrt{49 + 9 + 1} = \sqrt{59} \] 5. Tính tỷ số \(\frac{BM}{AM}\): \[ \frac{BM}{AM} = \frac{2\sqrt{59}}{\sqrt{59}} = 2 \] Vậy tỷ số \(\frac{BM}{AM}\) là \(2\). Đáp số: \(\frac{BM}{AM} = 2\). Câu 4. a. Tìm tiệm cận xiên $\Delta$ của (C) Ta có: \[ y = \frac{2x^2 + 5x + 4}{x + 2} \] Thực hiện phép chia: \[ y = 2x + 1 + \frac{2}{x + 2} \] Khi \( x \to \pm \infty \), ta có: \[ \frac{2}{x + 2} \to 0 \] Do đó, tiệm cận xiên của đồ thị (C) là: \[ y = 2x + 1 \] b. Tính khoảng cách từ điểm \( M(-2;1) \) đến đường thẳng \( y = 2x + 1 \) Phương trình đường thẳng \( y = 2x + 1 \) có dạng \( 2x - y + 1 = 0 \). Khoảng cách từ điểm \( M(-2;1) \) đến đường thẳng \( 2x - y + 1 = 0 \) được tính bằng công thức: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \] Trong đó, \( A = 2 \), \( B = -1 \), \( C = 1 \), \( x_0 = -2 \), \( y_0 = 1 \). Thay vào công thức: \[ d = \frac{|2(-2) + (-1)(1) + 1|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 1 + 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{|-4|}{\sqrt{5}} = \frac{4}{\sqrt{5}} \] Vậy khoảng cách từ điểm \( M(-2;1) \) đến đường thẳng \( y = 2x + 1 \) là \( \frac{4}{\sqrt{5}} \). Từ đó, ta có \( a = 4 \) và \( b = 5 \). Do đó: \[ P = a + b = 4 + 5 = 9 \] Đáp số: \( P = 9 \)