Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng 3 km, một thị trấn ở điểm A cách điểm B 12 km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc 2,5 km/h và đi bộ với vận tốc 4 km/h thì thuy...

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tọa độ và đạo hàm để tìm giá trị tối ưu. 1. Xác định tọa độ các điểm: - Điểm P có tọa độ (0, 0). - Điểm B có tọa độ (12, 0). - Điểm A có tọa độ (12, y) (y là khoảng cách từ B đến A). 2. Xác định tọa độ của điểm neo đậu: - Gọi điểm neo đậu là Q, có tọa độ (x, 0) trên đoạn AB. 3. Tính khoảng cách từ đảo đến điểm neo đậu: - Khoảng cách từ đảo đến điểm Q là $\sqrt{x^2 + 3^2} = \sqrt{x^2 + 9}$. 4. Tính khoảng cách từ điểm neo đậu đến thị trấn: - Khoảng cách từ Q đến A là $12 - x$. 5. Tính thời gian tổng cộng: - Thời gian chèo thuyền từ đảo đến Q là $\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{2,5}$. - Thời gian đi bộ từ Q đến A là $\frac{12 - x}{4}$. - Tổng thời gian là $t(x) = \frac{\sqrt{x^2 + 9}}{2,5} + \frac{12 - x}{4}$. 6. Tìm giá trị của x để thời gian tổng cộng nhỏ nhất: - Đạo hàm của $t(x)$: \[ t'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x^2 + 9}}{2,5} + \frac{12 - x}{4}\right) \] \[ t'(x) = \frac{1}{2,5} \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2 + 9}} - \frac{1}{4} \] - Đặt $t'(x) = 0$: \[ \frac{x}{2,5 \sqrt{x^2 + 9}} = \frac{1}{4} \] \[ 4x = 2,5 \sqrt{x^2 + 9} \] \[ 16x^2 = 6,25(x^2 + 9) \] \[ 16x^2 = 6,25x^2 + 56,25 \] \[ 9,75x^2 = 56,25 \] \[ x^2 = \frac{56,25}{9,75} = 5,77 \] \[ x = \sqrt{5,77} \approx 2,4 \] 7. Kết luận: - Thuyền nên neo đậu ở vị trí cách điểm B khoảng 2,4 km trên đoạn AB để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất. Đáp số: 2,4 km.