Sos giải hộ vơi

Câu 9. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi theo thứ tự. a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;3).$ Để kiểm tra tính chất nghịch biến của hàm số trên khoảng $(-1;3)$, chúng ta cần xem xét đạo hàm của hàm số. Nếu đạo hàm nhỏ hơn 0 trên toàn bộ khoảng đó thì hàm số nghịch biến. b) Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(1;1),~(3;5).$ Điều này có nghĩa là khi thay $x=1$ vào hàm số, kết quả phải là $y=1$, và khi thay $x=3$ vào hàm số, kết quả phải là $y=5$. Chúng ta sẽ thay các giá trị này vào hàm số để kiểm tra. c) Hàm số có đạo hàm $y^\prime=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2},~\forall x\ne2.$ Chúng ta sẽ tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^2+bx+c}{x+n}$ và so sánh với đạo hàm đã cho. d) $b+c+n=-4.$ Chúng ta sẽ sử dụng thông tin từ các phần trước để tìm giá trị của $b$, $c$, và $n$, sau đó kiểm tra xem liệu $b+c+n$ có bằng $-4$ hay không. Bây giờ, chúng ta sẽ thực hiện từng bước một. Bước 1: Kiểm tra tính chất nghịch biến của hàm số Hàm số $y=\frac{x^2+bx+c}{x+n}$. Ta tính đạo hàm của hàm số này: \[ y' = \left(\frac{x^2 + bx + c}{x + n}\right)' \] Sử dụng quy tắc đạo hàm của thương: \[ y' = \frac{(x^2 + bx + c)'(x + n) - (x^2 + bx + c)(x + n)'}{(x + n)^2} \] \[ y' = \frac{(2x + b)(x + n) - (x^2 + bx + c)}{(x + n)^2} \] \[ y' = \frac{2x^2 + 2nx + bx + bn - x^2 - bx - c}{(x + n)^2} \] \[ y' = \frac{x^2 + 2nx + bn - c}{(x + n)^2} \] Theo đề bài, đạo hàm của hàm số là: \[ y' = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} \] So sánh hai biểu thức đạo hàm: \[ \frac{x^2 + 2nx + bn - c}{(x + n)^2} = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} \] Từ đây, ta thấy rằng: \[ 2n = -4 \Rightarrow n = -2 \] \[ bn - c = 3 \Rightarrow b(-2) - c = 3 \Rightarrow -2b - c = 3 \] Bước 2: Kiểm tra đồ thị hàm số đi qua các điểm $(1;1)$ và $(3;5)$ Thay $x = 1$ và $y = 1$ vào hàm số: \[ 1 = \frac{1^2 + b \cdot 1 + c}{1 - 2} \] \[ 1 = \frac{1 + b + c}{-1} \] \[ 1 = -1 - b - c \] \[ b + c = -2 \] Thay $x = 3$ và $y = 5$ vào hàm số: \[ 5 = \frac{3^2 + b \cdot 3 + c}{3 - 2} \] \[ 5 = \frac{9 + 3b + c}{1} \] \[ 5 = 9 + 3b + c \] \[ 3b + c = -4 \] Bước 3: Giải hệ phương trình Ta có hai phương trình: \[ b + c = -2 \] \[ 3b + c = -4 \] Trừ phương trình thứ nhất từ phương trình thứ hai: \[ (3b + c) - (b + c) = -4 - (-2) \] \[ 2b = -2 \] \[ b = -1 \] Thay $b = -1$ vào phương trình $b + c = -2$: \[ -1 + c = -2 \] \[ c = -1 \] Bước 4: Kiểm tra điều kiện $b + c + n = -4$ \[ b + c + n = -1 - 1 - 2 = -4 \] Vậy tất cả các điều kiện đều thoả mãn. Kết luận Câu trả lời đúng là: \[ \boxed{d)~b+c+n=-4} \]