Sos giải hộ vơi 2. Trắc nghiệm đúng sai,Câu 9. Cho hàm số $y=\frac{x^2+bx+c}{x+n}(b,c,n\in\mathbb R)$ có bảng biến thiên như sau:,,a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;3).$,b) Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(1;1),~(3;5).$,c) Hàm số có đạo hàm $y^\prime=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2},~\forall x e2.$,$d)~b+c+n=-4.$,Câu 10 v

Question

Sos giải hộ vơi 2. Trắc nghiệm đúng sai,Câu 9. Cho hàm số $y=\frac{x^2+bx+c}{x+n}(b,c,n\in\mathbb R)$ có bảng biến thiên như sau:,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/20e28a9e89d045408f39a2df7958e38a.jpg />,a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $(-1;3).$,b) Đồ thị hàm số đi qua các điểm $(1;1),~(3;5).$,c) Hàm số có đạo hàm $y^\prime=\frac{x^2-4x+3}{(x-2)^2},~\forall x
e2.$,$d)~b+c+n=-4.$,Câu 10 v

Accepted Answer

Tính đạo hàm của hàm số:

- Hàm số có dạng $ y = \frac{f(x)}{g(x)} $, với $ f(x) = x^2 + bx + c $ và $ g(x) = x + n $.

- Đạo hàm của $ y $ theo quy tắc đạo hàm thương:

$$y' = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{(g(x))^2}$$

Tính $ f'(x) = 2x + b $ và $ g'(x) = 1 $, ta có:

$$y' = \frac{(2x + b)(x + n) - (x^2 + bx + c)}{(x + n)^2}$$

Rút gọn biểu thức trên:

$$y' = \frac{2x^2 + (b + 2n)x + (bn) - x^2 - bx - c}{(x + n)^2}$$

$$y' = \frac{x^2 + (b + 2n - b)x + (bn - c)}{(x + n)^2}$$

$$y' = \frac{x^2 + 2nx + (bn - c)}{(x + n)^2}$$

So sánh với đạo hàm cho trước:

- Đạo hàm cho trước là $ y' = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} $.

- So sánh hai biểu thức:

$$x^2 + 2nx + (bn - c) = x^2 - 4x + 3$$

So sánh hệ số:

- Hệ số của $ x $: $ 2n = -4 $ ⇒ $ n = -2 $

- Hằng số: $ bn - c = 3 $ ⇒ $ -2b - c = 3 $

3. Kiểm tra các nhận định:

- a) Hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-1; 3) $:

Để hàm số nghịch biến trên khoảng này, đạo hàm phải âm trên khoảng đó. Tuy nhiên, từ biểu thức đạo hàm, ta thấy rằng đạo hàm có dấu phụ thuộc vào giá trị của $ x $. Do đó, không thể khẳng định hàm số nghịch biến trên khoảng $ (-1; 3) $.

- b) Đồ thị hàm số đi qua các điểm $ (1; 1) $ và $ (3; 5) $:

Thay $ x = 1 $ và $ x = 3 $ vào biểu thức hàm số:

- Với $ x = 1 $: $ y = \frac{1^2 + b(1) + c}{1 + n} = \frac{1 + b + c}{1 - 2} = -(1 + b + c) $

- Với $ x = 3 $: $ y = \frac{3^2 + b(3) + c}{3 + n} = \frac{9 + 3b + c}{3 - 2} = 9 + 3b + c $

Để hàm số đi qua các điểm $ (1; 1) $ và $ (3; 5) $, ta cần:

- $ -(1 + b + c) = 1 $ ⇒ $ b + c = -2 $

- $ 9 + 3b + c = 5 $ ⇒ $ 3b + c = -4 $

Giải hệ phương trình:

- $ b + c = -2 $

- $ 3b + c = -4 $

Trừ phương trình đầu cho phương trình sau:

$$(3b + c) - (b + c) = -4 - (-2)$$

$$2b = -2 \Rightarrow b = -1$$

Thay $ b = -1 $ vào $ b + c = -2 $:

$$-1 + c = -2 \Rightarrow c = -1$$

Vậy $ b = -1 $, $ c = -1 $, và $ n = -2 $.

- c) Hàm số có đạo hàm $ y' = \frac{x^2 - 4x + 3}{(x - 2)^2} $, với mọi $ x \neq 2 $:

Đúng, vì đạo hàm đã được tính ở bước 1 và so sánh với biểu thức cho trước.

- d) $ b + c + n = -4 $:

Thay $ b = -1 $, $ c = -1 $, và $ n = -2 $:

$$b + c + n = -1 - 1 - 2 = -4$$

Đúng.

Kết luận: Các nhận định đúng là: c) và d).