Tìm m để:
A) Đồng biến trên R
B) Đồng biến trên khoảng (2; + $\infty$) $y=x^3-mx^2-(2m^2-7m+7)x+1$

Question

Accepted Answer

Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số Hàm số đã cho là: $$ y = x^3 - mx^2 - (2m^2 - 7m + 7)x + 1 $$ Ta tính đạo hàm của hàm số này: $$ y' = \frac{d}{dx}(x^3 - mx^2 - (2m^2 - 7m + 7)x + 1) $$ $$ y' = 3x^2 - 2mx - (2m^2 - 7m + 7) $$ Bước 2: Xác định điều kiện để hàm số đồng biến trên R Hàm số $ y $ đồng biến trên R nếu đạo hàm $ y' > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $. Đạo hàm của hàm số là: $$ y' = 3x^2 - 2mx - (2m^2 - 7m + 7) $$ Để $ y' > 0 $ với mọi $ x \in \mathbb{R} $, ta cần: $$ 3x^2 - 2mx - (2m^2 - 7m + 7) > 0 $$ Đây là một bất phương trình bậc hai. Để bất phương trình này luôn dương với mọi $ x $, hệ số của $ x^2 $ phải dương và biệt thức phải nhỏ hơn 0. Hệ số của $ x^2 $ là 3, luôn dương. Ta kiểm tra biệt thức: $$ \Delta = (-2m)^2 - 4 \cdot 3 \cdot [-(2m^2 - 7m + 7)] $$ $$ \Delta = 4m^2 + 12(2m^2 - 7m + 7) $$ $$ \Delta = 4m^2 + 24m^2 - 84m + 84 $$ $$ \Delta = 28m^2 - 84m + 84 $$ Để $ y' > 0 $ với mọi $ x $, ta cần: $$ 28m^2 - 84m + 84 < 0 $$ Chia cả hai vế cho 28: $$ m^2 - 3m + 3 < 0 $$ Ta giải phương trình bậc hai: $$ m^2 - 3m + 3 = 0 $$ Biệt thức của phương trình này là: $$ \Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 9 - 12 = -3 $$ Vì biệt thức âm, phương trình này vô nghiệm. Do đó, $ m^2 - 3m + 3 < 0 $ không có nghiệm nào, nghĩa là không tồn tại $ m $ để hàm số đồng biến trên toàn bộ R. Bước 3: Xác định điều kiện để hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) Hàm số $ y $ đồng biến trên khoảng (2; +∞) nếu đạo hàm $ y' > 0 $ với mọi $ x \in (2; +\infty) $. Ta cần: $$ 3x^2 - 2mx - (2m^2 - 7m + 7) > 0 \quad \text{với mọi } x \in (2; +\infty) $$ Để đảm bảo điều này, ta xét giá trị của đạo hàm tại $ x = 2 $: $$ y'(2) = 3(2)^2 - 2m(2) - (2m^2 - 7m + 7) $$ $$ y'(2) = 12 - 4m - 2m^2 + 7m - 7 $$ $$ y'(2) = -2m^2 + 3m + 5 $$ Để $ y' > 0 $ với mọi $ x \in (2; +\infty) $, ta cần: $$ -2m^2 + 3m + 5 > 0 $$ Giải bất phương trình bậc hai: $$ -2m^2 + 3m + 5 = 0 $$ Biệt thức của phương trình này là: $$ \Delta = 3^2 - 4(-2)(5) = 9 + 40 = 49 $$ Các nghiệm của phương trình là: $$ m = \frac{-3 \pm \sqrt{49}}{-4} = \frac{-3 \pm 7}{-4} $$ $$ m_1 = \frac{-3 + 7}{-4} = -1 $$ $$ m_2 = \frac{-3 - 7}{-4} = 2.5 $$ Do đó, bất phương trình $ -2m^2 + 3m + 5 > 0 $ đúng trong khoảng: $$ -1 < m < 2.5 $$ Kết luận A) Không tồn tại $ m $ để hàm số đồng biến trên R. B) Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞) nếu: $$ -1 < m < 2.5 $$

Tìm m để: A) Đồng biến trên R B) Đồng biến trên khoảng (2; + )