Giup e vs a

Câu 7: a) Ta có: \[ \overrightarrow{OA} = (1, -1, 2), \quad \overrightarrow{OB} = (-2, 0, 3) \] Trọng tâm \( G \) của tam giác \( OAB \) là: \[ G = \left( \frac{0 + 1 - 2}{3}, \frac{0 - 1 + 0}{3}, \frac{0 + 2 + 3}{3} \right) = \left( -\frac{1}{3}, 0, 1 \right) \] Vậy điểm \( G \left( -\frac{1}{3}, 0, 1 \right) \) là trọng tâm của tam giác \( OAB \). b) Ta tính các vectơ: \[ \overrightarrow{BA} = (1 - (-2), -1 - 0, 2 - 3) = (3, -1, -1) \] \[ \overrightarrow{BC} = (0 - (-2), 1 - 0, -2 - 3) = (2, 1, -5) \] Tính tích vô hướng: \[ \overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 3 \cdot 2 + (-1) \cdot 1 + (-1) \cdot (-5) = 6 - 1 + 5 = 10 \] Tính độ dài các vectơ: \[ |\overrightarrow{BA}| = \sqrt{3^2 + (-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11} \] \[ |\overrightarrow{BC}| = \sqrt{2^2 + 1^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 1 + 25} = \sqrt{30} \] Vậy: \[ \cos B = \frac{\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC}}{|\overrightarrow{BA}| |\overrightarrow{BC}|} = \frac{10}{\sqrt{11} \cdot \sqrt{30}} = \frac{10}{\sqrt{330}} = \frac{10 \sqrt{330}}{330} = \frac{\sqrt{330}}{33} \] c) Diện tích tam giác \( ABC \): \[ \overrightarrow{AB} = (-2 - 1, 0 + 1, 3 - 2) = (-3, 1, 1) \] \[ \overrightarrow{AC} = (0 - 1, 1 + 1, -2 - 2) = (-1, 2, -4) \] Tính tích có hướng: \[ \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ -3 & 1 & 1 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1 \cdot (-4) - 1 \cdot 2) - \mathbf{j}((-3) \cdot (-4) - 1 \cdot (-1)) + \mathbf{k}((-3) \cdot 2 - 1 \cdot (-1)) \] \[ = \mathbf{i}(-4 - 2) - \mathbf{j}(12 + 1) + \mathbf{k}(-6 + 1) = -6\mathbf{i} - 13\mathbf{j} - 5\mathbf{k} \] \[ |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \sqrt{(-6)^2 + (-13)^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 169 + 25} = \sqrt{230} \] Diện tích tam giác \( ABC \): \[ S = \frac{1}{2} |\overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC}| = \frac{1}{2} \sqrt{230} \] d) Mặt phẳng \( (Oxy) \) có phương trình \( z = 0 \). Gọi \( M(a, b, 0) \): \[ \overrightarrow{MA} = (1 - a, -1 - b, 2), \quad \overrightarrow{MB} = (-2 - a, -b, 3), \quad \overrightarrow{MC} = (-a, 1 - b, -2) \] Biểu thức: \[ S = \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} + 2 \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} + 3 \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA} \] \[ \overrightarrow{MA} \cdot \overrightarrow{MB} = (1 - a)(-2 - a) + (-1 - b)(-b) + 2 \cdot 3 = -2 - a + 2a + a^2 + b + b^2 + 6 = a^2 + b^2 + a + b + 4 \] \[ \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = (-2 - a)(-a) + (-b)(1 - b) + 3 \cdot (-2) = 2a + a^2 + b^2 - b - 6 \] \[ 2 \overrightarrow{MB} \cdot \overrightarrow{MC} = 2(a^2 + b^2 + 2a - b - 6) = 2a^2 + 2b^2 + 4a - 2b - 12 \] \[ \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA} = (-a)(1 - a) + (1 - b)(-1 - b) + (-2) \cdot 2 = -a + a^2 - 1 - b + b^2 - 4 = a^2 + b^2 - a - b - 5 \] \[ 3 \overrightarrow{MC} \cdot \overrightarrow{MA} = 3(a^2 + b^2 - a - b - 5) = 3a^2 + 3b^2 - 3a - 3b - 15 \] \[ S = a^2 + b^2 + a + b + 4 + 2a^2 + 2b^2 + 4a - 2b - 12 + 3a^2 + 3b^2 - 3a - 3b - 15 \] \[ S = 6a^2 + 6b^2 + 2a - 4b - 23 \] Để \( S \) đạt giá trị nhỏ nhất, ta lấy đạo hàm theo \( a \) và \( b \): \[ \frac{\partial S}{\partial a} = 12a + 2 = 0 \Rightarrow a = -\frac{1}{6} \] \[ \frac{\partial S}{\partial b} = 12b - 4 = 0 \Rightarrow b = \frac{1}{3} \] Thay vào \( T \): \[ T = 12a + 12b + c = 12 \left( -\frac{1}{6} \right) + 12 \left( \frac{1}{3} \right) + 0 = -2 + 4 = 2 \] Đáp số: a) \( G \left( -\frac{1}{3}, 0, 1 \right) \) b) \( \cos B = \frac{\sqrt{330}}{33} \) c) \( S = \frac{\sqrt{230}}{2} \) d) \( T = 2 \)