giupp voiii a

Câu 1: a) Ta có $\overrightarrow{B^\prime C^\prime}=\overrightarrow{BC},$ do đó $(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{B^\prime C^\prime})=(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}).$ Trong tam giác ABC, ta có: \[ \sin(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{BC}) = \sin(120^\circ) = \sin(180^\circ - 60^\circ) = \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.87 \] b) Ta có $\overrightarrow{AA^\prime}$ và $\overrightarrow{C^\prime C}$ cùng phương và ngược hướng, do đó: \[ \cos(\overrightarrow{AA^\prime};\overrightarrow{C^\prime C}) = -1 \] c) Ta có $\overrightarrow{A^\prime B^\prime} = \overrightarrow{AB},$ do đó góc giữa $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{A^\prime B^\prime}$ là góc giữa $\overrightarrow{AM}$ và $\overrightarrow{AB}.$ Trong tam giác ABM, ta có: \[ \cos(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{AB}) = \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.9 \] Đáp số: a) $\sin(\overrightarrow{AB};\overrightarrow{B^\prime C^\prime}) \approx 0.87$ b) $\cos(\overrightarrow{AA^\prime};\overrightarrow{C^\prime C}) = -1$ c) $\cos(\overrightarrow{AM};\overrightarrow{A^\prime B^\prime}) \approx 0.9$ Câu 2: Để tìm tọa độ của điểm \( E(x; y; z) \) thỏa mãn đẳng thức \( \overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB} \), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm các véc-tơ \( \overrightarrow{CE} \) và \( \overrightarrow{EB} \): - Tọa độ của \( \overrightarrow{CE} \) là: \[ \overrightarrow{CE} = (x - 7, y - 4, z + 2) \] - Tọa độ của \( \overrightarrow{EB} \) là: \[ \overrightarrow{EB} = (1 - x, 2 - y, -3 - z) \] 2. Áp dụng đẳng thức \( \overrightarrow{CE} = 2\overrightarrow{EB} \): - Ta có: \[ (x - 7, y - 4, z + 2) = 2(1 - x, 2 - y, -3 - z) \] - Điều này dẫn đến ba phương trình sau: \[ x - 7 = 2(1 - x) \] \[ y - 4 = 2(2 - y) \] \[ z + 2 = 2(-3 - z) \] 3. Giải các phương trình: - Giải phương trình thứ nhất: \[ x - 7 = 2 - 2x \\ x + 2x = 2 + 7 \\ 3x = 9 \\ x = 3 \] - Giải phương trình thứ hai: \[ y - 4 = 4 - 2y \\ y + 2y = 4 + 4 \\ 3y = 8 \\ y = \frac{8}{3} \] - Giải phương trình thứ ba: \[ z + 2 = -6 - 2z \\ z + 2z = -6 - 2 \\ 3z = -8 \\ z = -\frac{8}{3} \] 4. Tính tổng \( x + y + z \): \[ x + y + z = 3 + \frac{8}{3} - \frac{8}{3} = 3 \] Vậy, \( x + y + z = 3 \). Đáp số: \( x + y + z = 3 \). Câu 3: Để tìm trung điểm \( I(a; b; c) \) của đoạn thẳng \( AB \), ta sử dụng công thức tính trung điểm của hai điểm trong không gian. Trung điểm \( I \) của đoạn thẳng \( AB \) có tọa độ: \[ I\left(\frac{x_A + x_B}{2}; \frac{y_A + y_B}{2}; \frac{z_A + z_B}{2}\right) \] Thay tọa độ của điểm \( A(1; -1; 2) \) và điểm \( B(-1; 3; 0) \) vào công thức trên, ta có: \[ a = \frac{1 + (-1)}{2} = \frac{0}{2} = 0 \] \[ b = \frac{-1 + 3}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] \[ c = \frac{2 + 0}{2} = \frac{2}{2} = 1 \] Vậy tọa độ của trung điểm \( I \) là \( I(0; 1; 1) \). Tiếp theo, ta tính tổng \( T = a + b + c \): \[ T = 0 + 1 + 1 = 2 \] Đáp số: \( T = 2 \). Câu 4: Trước tiên, ta xác định tọa độ của điểm \( M \). Ta biết rằng \(\overrightarrow{OM} = 2\overrightarrow{i} + \overrightarrow{j}\). Do đó, tọa độ của điểm \( M \) là \( (2, 1, 0) \). Điều này có nghĩa là: \[ a = 2, \quad b = 1, \quad c = 0 \] Bây giờ, ta tính giá trị của \( T \): \[ T = a + 2b + 5c \] \[ T = 2 + 2 \cdot 1 + 5 \cdot 0 \] \[ T = 2 + 2 + 0 \] \[ T = 4 \] Vậy giá trị của \( T \) là: \[ \boxed{4} \] Câu 5: Để tìm tọa độ điểm \( C(a; b; c) \) của máy bay sau 20 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm \( B \)), ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( AB \): Tọa độ của điểm \( A \) là \( (600; 400; 8) \) và tọa độ của điểm \( B \) là \( (820; 530; 10) \). Vectơ \( \overrightarrow{AB} \) có tọa độ: \[ \overrightarrow{AB} = (820 - 600; 530 - 400; 10 - 8) = (220; 130; 2) \] 2. Tìm vận tốc của máy bay: Máy bay di chuyển từ điểm \( A \) đến điểm \( B \) trong 10 phút. Do đó, trong 1 phút, máy bay sẽ di chuyển: \[ \text{Vectơ vận tốc} = \left(\frac{220}{10}; \frac{130}{10}; \frac{2}{10}\right) = (22; 13; 0.2) \] 3. Tìm tọa độ điểm \( C \) sau 20 phút nữa: Sau 20 phút nữa, máy bay sẽ di chuyển thêm: \[ \text{Vectơ dịch chuyển trong 20 phút} = 20 \times (22; 13; 0.2) = (440; 260; 4) \] Tọa độ của điểm \( C \) sẽ là: \[ C = B + (440; 260; 4) = (820 + 440; 530 + 260; 10 + 4) = (1260; 790; 14) \] 4. Tính tổng \( T = a + b + c \): \[ T = 1260 + 790 + 14 = 2064 \] Vậy, \( T = 2064 \). Câu 6: Để tính phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu: - Xác định các khoảng nhóm và trung điểm của mỗi khoảng. - Nhân tần số của mỗi nhóm với trung điểm của nhóm đó. - Tính tổng của các giá trị đã nhân. - Chia tổng này cho tổng tần số để tìm trung bình cộng. 2. Tính phương sai: - Tính bình phương của hiệu giữa mỗi trung điểm nhóm và trung bình cộng. - Nhân kết quả này với tần số của nhóm đó. - Tính tổng của các giá trị đã nhân. - Chia tổng này cho tổng tần số. Bây giờ, ta sẽ thực hiện từng bước cụ thể: Bước 1: Tìm trung bình cộng của mẫu số liệu | Nhóm | Trung điểm | Tần số | Trung điểm × Tần số | |------|------------|--------|---------------------| | [60, 70) | 65 | 7 | 65 × 7 = 455 | Tổng tần số: \( n = 7 \) Trung bình cộng: \[ \bar{x} = \frac{\sum (trung\ điểm \times tần\ số)}{tổng\ tần\ số} = \frac{455}{7} = 65 \] Bước 2: Tính phương sai | Nhóm | Trung điểm | Tần số | (Trung điểm - Trung bình cộng)² | Tần số × (Trung điểm - Trung bình cộng)² | |------|------------|--------|-------------------------------|-----------------------------------------| | [60, 70) | 65 | 7 | (65 - 65)² = 0 | 7 × 0 = 0 | Phương sai: \[ s^2 = \frac{\sum (tần\ số \times (trung\ điểm - trung\ bình\ cộng)^2)}{tổng\ tần\ số} = \frac{0}{7} = 0 \] Vậy phương sai của mẫu số liệu ghép nhóm là 0. Đáp số: Phương sai = 0