Giải giúp mình với

Bài 10. Để tìm giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định phương trình mặt phẳng (P): Mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(1;2;1) \) và cắt các tia Ox, Oy, Oz tại các điểm A, B, C. Ta giả sử phương trình mặt phẳng (P) có dạng: \[ \frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{z}{c} = 1 \] Trong đó, \( A(a,0,0) \), \( B(0,b,0) \), \( C(0,0,c) \). 2. Thay tọa độ điểm M vào phương trình mặt phẳng: Vì điểm \( M(1;2;1) \) nằm trên mặt phẳng (P), ta thay tọa độ của M vào phương trình mặt phẳng: \[ \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 \] 3. Tính thể tích khối tứ diện OABC: Thể tích \( V \) của khối tứ diện OABC được tính bằng công thức: \[ V = \frac{1}{6} \times OA \times OB \times OC = \frac{1}{6} \times a \times b \times c \] 4. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( V \), ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz: \[ \left( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} \right) \left( a + \frac{b}{2} + c \right) \geq (1 + 1 + 1)^2 = 9 \] Biết rằng \( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 \), ta có: \[ 1 \times \left( a + \frac{b}{2} + c \right) \geq 9 \] Do đó: \[ a + \frac{b}{2} + c \geq 9 \] 5. Tìm giá trị nhỏ nhất của \( abc \): Để \( V \) nhỏ nhất, ta cần \( abc \) nhỏ nhất. Ta sử dụng phương pháp Lagrange để tối ưu hóa \( abc \) dưới ràng buộc \( \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 1 \). Giả sử \( f(a, b, c) = abc \) và \( g(a, b, c) = \frac{1}{a} + \frac{2}{b} + \frac{1}{c} - 1 = 0 \). Ta sử dụng phương pháp nhân tử Lagrange: \[ \nabla f = \lambda \nabla g \] \[ (bc, ac, ab) = \lambda \left( -\frac{1}{a^2}, -\frac{2}{b^2}, -\frac{1}{c^2} \right) \] Từ đây, ta có: \[ bc = -\lambda \frac{1}{a^2} \] \[ ac = -\lambda \frac{2}{b^2} \] \[ ab = -\lambda \frac{1}{c^2} \] Chia từng phương trình cho nhau để loại bỏ \( \lambda \): \[ \frac{bc}{ac} = \frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{2}{b^2}} \Rightarrow \frac{b}{a} = \frac{b^2}{2a^2} \Rightarrow b = 2a \] \[ \frac{ac}{ab} = \frac{\frac{2}{b^2}}{\frac{1}{c^2}} \Rightarrow \frac{c}{b} = \frac{2c^2}{b^2} \Rightarrow c = b \] Thay \( b = 2a \) và \( c = b \) vào ràng buộc: \[ \frac{1}{a} + \frac{2}{2a} + \frac{1}{2a} = 1 \Rightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{2a} = 1 \Rightarrow \frac{5}{2a} = 1 \Rightarrow a = \frac{5}{2} \] \[ b = 2a = 5 \] \[ c = b = 5 \] 6. Tính thể tích nhỏ nhất: \[ V_{min} = \frac{1}{6} \times a \times b \times c = \frac{1}{6} \times \frac{5}{2} \times 5 \times 5 = \frac{125}{24} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của thể tích khối tứ diện OABC là \( \frac{125}{24} \).