Giải hộ tớ với ạ Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0.$ Phương trình mặt,phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2,a) Mặt cầu (S) có tâm $I(-3;2;-1)$ và bán kính $R=3.$,b) Gốc tọa độ $O(0;0;0)$ nằm trong mặt cầu (S).,c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Q) là 1.,d) Mặt phẳng (Q) có phương trình là: $2y-z=0.$,Câu 4: Ở huyện Đông Anh, Hà Nội, vào tháng 7, người ta đo được xác suất để có mưa vào thứ hai là,$x^2.$ Nếu trời có mưa vào thứ hai thì xác suất để có mưa vào thứ ba là $\frac14x.$ Nếu thứ hai không,có mưa thì xác suất để có mưa vào thứ ba là x .,a) Biểu thức theo biến x cho biết xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là $2x^3$,b) Khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là 25% khi $x=0,5.$,Tải tài liệu free tại Tailieuonthi.org,c) Biểu thức theo biến x , cho biết xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là $x+x^2-\frac{3x^3}4.$,d) Xác suất để có mưa vào thứ hai với điều kiện của biến x thỏa mãn xác suất trời sẽ mưa vào,thứ ba lớn nhất bằng $\frac16.$,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Ông An muốn thiết kế một mái che giếng trời hình chóp di động để có thể tùy thích lấy ánh,sáng cho ngôi nhà của mình. Biết rằng đáy hình chóp là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh đáy,là 3m và 2m ; các cạnh bên bằng nhau ( như hình vẽ minh họa). Ông An mong muốn góc giữa,mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy là a thỏa mãn $30^0\leq\alpha\leq45^0,$ đồng thời khoảng cách từ,điểm A tới mặt phẳng (SBC) là lớn nhất, tính khoảng cách lớn nhất đó. (làm tròn kết quả đến,chữ số thập phân thứ hai),,Câu 2: Một trò chơi điện tử quy định như sau: Có 5 trụ A,B,C,D,E với số lượng các thử thách trên,đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó,,đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay,trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của,đường đi thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?,

Question

Giải hộ tớ với ạ Câu 3: Trong không gian Oxyz, cho mặt cầu $(S):~x^2+y^2+z^2-6x+4y-2z+5=0.$ Phương trình mặt,phẳng (Q) chứa trục Ox và cắt (S) theo giao tuyến là một đường tròn có bán kính bằng 2,a) Mặt cầu (S) có tâm $I(-3;2;-1)$ và bán kính $R=3.$,b) Gốc tọa độ $O(0;0;0)$ nằm trong mặt cầu (S).,c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Q) là 1.,d) Mặt phẳng (Q) có phương trình là: $2y-z=0.$,Câu 4: Ở huyện Đông Anh, Hà Nội, vào tháng 7, người ta đo được xác suất để có mưa vào thứ hai là,$x^2.$ Nếu trời có mưa vào thứ hai thì xác suất để có mưa vào thứ ba là $\frac14x.$ Nếu thứ hai không,có mưa thì xác suất để có mưa vào thứ ba là x .,a) Biểu thức theo biến x cho biết xác suất để mưa sẽ rơi vào cả thứ hai và thứ ba là $2x^3$,b) Khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là 25% khi $x=0,5.$,Tải tài liệu free tại Tailieuonthi.org,c) Biểu thức theo biến x , cho biết xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là $x+x^2-\frac{3x^3}4.$,d) Xác suất để có mưa vào thứ hai với điều kiện của biến x thỏa mãn xác suất trời sẽ mưa vào,thứ ba lớn nhất bằng $\frac16.$,PHẦN III. Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 6.,Câu 1. Ông An muốn thiết kế một mái che giếng trời hình chóp di động để có thể tùy thích lấy ánh,sáng cho ngôi nhà của mình. Biết rằng đáy hình chóp là hình chữ nhật có độ dài hai cạnh đáy,là 3m và 2m ; các cạnh bên bằng nhau ( như hình vẽ minh họa). Ông An mong muốn góc giữa,mặt phẳng (SBC) và mặt phẳng đáy là a thỏa mãn $30^0\leq\alpha\leq45^0,$ đồng thời khoảng cách từ,điểm A tới mặt phẳng (SBC) là lớn nhất, tính khoảng cách lớn nhất đó. (làm tròn kết quả đến,chữ số thập phân thứ hai),

,Câu 2: Một trò chơi điện tử quy định như sau: Có 5 trụ A,B,C,D,E với số lượng các thử thách trên,đường đi giữa các cặp trụ được mô tả trong hình bên. Người chơi xuất phát từ một trụ nào đó,,đi qua tất cả các trụ còn lại, mỗi khi đi qua một trụ thì trụ đó sẽ bị phá hủy và không thể quay,trở lại trụ đó được nữa, nhưng người chơi vẫn phải trở về trụ ban đầu. Tổng số thử thách của,đường đi thoả mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là bao nhiêu?,

Accepted Answer

Câu 3:
Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S).
2. Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Q).
3. Xác định phương trình của mặt phẳng (Q).

Bước 1: Xác định tâm và bán kính của mặt cầu (S)

Mặt cầu (S) có phương trình:
$$ x^2 + y^2 + z^2 - 6x + 4y - 2z + 5 = 0 $$

Ta viết lại phương trình dưới dạng tổng bình phương:
$$ (x^2 - 6x) + (y^2 + 4y) + (z^2 - 2z) + 5 = 0 $$
$$ (x - 3)^2 - 9 + (y + 2)^2 - 4 + (z - 1)^2 - 1 + 5 = 0 $$
$$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 - 9 = 0 $$
$$ (x - 3)^2 + (y + 2)^2 + (z - 1)^2 = 9 $$

Từ đây, ta thấy rằng mặt cầu (S) có tâm $ I(3, -2, 1) $ và bán kính $ R = 3 $.

Bước 2: Tìm khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Q)

Gọi khoảng cách từ tâm mặt cầu $ I(3, -2, 1) $ đến mặt phẳng (Q) là $ d $. Biết rằng giao tuyến giữa mặt phẳng (Q) và mặt cầu (S) là một đường tròn có bán kính bằng 2, ta có:
$$ R^2 = d^2 + r^2 $$
$$ 3^2 = d^2 + 2^2 $$
$$ 9 = d^2 + 4 $$
$$ d^2 = 5 $$
$$ d = \sqrt{5} $$

Bước 3: Xác định phương trình của mặt phẳng (Q)

Mặt phẳng (Q) chứa trục Ox, do đó nó có dạng $ ax + by + cz = 0 $ với $ a = 0 $ (vì trục Ox song song với mặt phẳng). Mặt phẳng (Q) cũng đi qua gốc tọa độ $ O(0, 0, 0) $, nên ta có:
$$ by + cz = 0 $$

Khoảng cách từ tâm $ I(3, -2, 1) $ đến mặt phẳng $ by + cz = 0 $ là:
$$ d = \frac{|b(-2) + c(1)|}{\sqrt{b^2 + c^2}} = \sqrt{5} $$
$$ \frac{|-2b + c|}{\sqrt{b^2 + c^2}} = \sqrt{5} $$

Giả sử $ b = 2 $ và $ c = -1 $, ta có:
$$ \frac{|-2(2) + (-1)|}{\sqrt{2^2 + (-1)^2}} = \frac{|-4 - 1|}{\sqrt{4 + 1}} = \frac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5} $$

Do đó, phương trình của mặt phẳng (Q) là:
$$ 2y - z = 0 $$

Kết luận:
a) Mặt cầu (S) có tâm $ I(3, -2, 1) $ và bán kính $ R = 3 $.
b) Gốc tọa độ $ O(0, 0, 0) $ nằm trong mặt cầu (S).
c) Khoảng cách từ tâm mặt cầu đến mặt phẳng (Q) là $ \sqrt{5} $.
d) Mặt phẳng (Q) có phương trình là: $ 2y - z = 0 $.

Câu 4:
a) Xác suất để mưa rơi vào cả thứ hai và thứ ba là:
$$ P(\text{mưa thứ hai và thứ ba}) = P(\text{mưa thứ hai}) \times P(\text{mưa thứ ba | mưa thứ hai}) = x^2 \times \frac{1}{4}x = \frac{x^3}{4} $$

b) Khả năng trời sẽ có mưa vào cả thứ hai và thứ ba là 25% khi $ x = 0,5 $:
$$ P(\text{mưa thứ hai và thứ ba}) = \frac{(0,5)^3}{4} = \frac{0,125}{4} = 0,03125 $$
Điều này không đúng vì 0,03125 không bằng 0,25. Do đó, câu b) không đúng.

c) Xác suất để trời sẽ mưa vào thứ ba là:
$$ P(\text{mưa thứ ba}) = P(\text{mưa thứ hai}) \times P(\text{mưa thứ ba | mưa thứ hai}) + P(\text{không mưa thứ hai}) \times P(\text{mưa thứ ba | không mưa thứ hai}) $$
$$ = x^2 \times \frac{1}{4}x + (1 - x^2) \times x $$
$$ = \frac{x^3}{4} + x - x^3 $$
$$ = x - \frac{3x^3}{4} $$

d) Để xác suất mưa vào thứ ba lớn nhất, ta cần tối đa hóa biểu thức $ x - \frac{3x^3}{4} $. Ta tính đạo hàm và tìm điểm cực đại:
$$ f(x) = x - \frac{3x^3}{4} $$
$$ f'(x) = 1 - \frac{9x^2}{4} $$
Đặt $ f'(x) = 0 $:
$$ 1 - \frac{9x^2}{4} = 0 $$
$$ \frac{9x^2}{4} = 1 $$
$$ 9x^2 = 4 $$
$$ x^2 = \frac{4}{9} $$
$$ x = \frac{2}{3} \quad (\text{vì } x > 0) $$

Vậy xác suất để có mưa vào thứ hai với điều kiện của biến x thỏa mãn xác suất trời sẽ mưa vào thứ ba lớn nhất là:
$$ x = \frac{2}{3} $$

Đáp số:
a) $\frac{x^3}{4}$
b) Không đúng
c) $x - \frac{3x^3}{4}$
d) $x = \frac{2}{3}$

Câu 1.
Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp đáy ABCD, hạ SH vuông góc với mặt đáy tại O, hạ AK vuông góc với SO tại K, hạ KN vuông góc với SB tại N, hạ KO' vuông góc với SB tại O'. 
Ta có: $AK=\frac{SO.AB}{SB}$
$KN=\frac{SO.SB}{SO'}$
Mà $SO'=\sqrt{SO^2+O'B^2}=\sqrt{SO^2+\frac{AB^2}{4}}$
$\Rightarrow KN=\frac{SO.SB}{\sqrt{SO^2+\frac{AB^2}{4}}}$
Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2}.AB.SO$
Diện tích tam giác SAK là $\frac{1}{2}.AK.KN$
$\Rightarrow d(A,(SAB))=\frac{2.\frac{1}{2}.AB.SO}{\frac{SO.SB}{\sqrt{SO^2+\frac{AB^2}{4}}}}=\frac{AB.\sqrt{SO^2+\frac{AB^2}{4}}}{SB}$
$=\frac{AB.\sqrt{SO^2+\frac{AB^2}{4}}}{\sqrt{SO^2+OB^2}}$
$=\frac{AB.\sqrt{SO^2+\frac{AB^2}{4}}}{\sqrt{SO^2+\frac{AB^2}{4}}}$
$=AB$
$=2$
Vậy khoảng cách lớn nhất là 2m.

Câu 2:
Để tìm đường đi có tổng số thử thách nhỏ nhất, ta sẽ áp dụng phương pháp tìm đường đi ngắn nhất trong đồ thị có trọng số (trọng số ở đây là số lượng thử thách). Ta sẽ sử dụng thuật toán Dijkstra hoặc thuật toán Prim để tìm đường đi ngắn nhất. Tuy nhiên, vì đây là bài toán đơn giản, ta có thể áp dụng phương pháp liệt kê và so sánh trực tiếp.

Ta sẽ liệt kê tất cả các đường đi có thể và tính tổng số thử thách của chúng:

1. Đường đi từ A:
   - A → B → C → D → E → A
     Tổng số thử thách: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15
   - A → B → C → E → D → A
     Tổng số thử thách: 1 + 2 + 4 + 4 + 5 = 16
   - A → B → D → C → E → A
     Tổng số thử thách: 1 + 3 + 3 + 4 + 5 = 16
   - A → B → D → E → C → A
     Tổng số thử thách: 1 + 3 + 4 + 4 + 5 = 17
   - A → B → E → C → D → A
     Tổng số thử thách: 1 + 4 + 4 + 3 + 5 = 17
   - A → B → E → D → C → A
     Tổng số thử thách: 1 + 4 + 4 + 3 + 5 = 17

2. Đường đi từ B:
   - B → A → C → D → E → B
     Tổng số thử thách: 1 + 2 + 3 + 4 + 4 = 14
   - B → A → C → E → D → B
     Tổng số thử thách: 1 + 2 + 4 + 4 + 4 = 15
   - B → A → D → C → E → B
     Tổng số thử thách: 1 + 3 + 3 + 4 + 4 = 15
   - B → A → D → E → C → B
     Tổng số thử thách: 1 + 3 + 4 + 4 + 4 = 16
   - B → A → E → C → D → B
     Tổng số thử thách: 1 + 4 + 4 + 3 + 4 = 16
   - B → A → E → D → C → B
     Tổng số thử thách: 1 + 4 + 4 + 3 + 4 = 16

3. Đường đi từ C:
   - C → A → B → D → E → C
     Tổng số thử thách: 2 + 1 + 3 + 4 + 4 = 14
   - C → A → B → E → D → C
     Tổng số thử thách: 2 + 1 + 4 + 4 + 4 = 15
   - C → A → D → B → E → C
     Tổng số thử thách: 2 + 3 + 3 + 4 + 4 = 16
   - C → A → D → E → B → C
     Tổng số thử thách: 2 + 3 + 4 + 4 + 4 = 17
   - C → A → E → B → D → C
     Tổng số thử thách: 2 + 4 + 4 + 3 + 4 = 17
   - C → A → E → D → B → C
     Tổng số thử thách: 2 + 4 + 4 + 3 + 4 = 17

4. Đường đi từ D:
   - D → A → B → C → E → D
     Tổng số thử thách: 3 + 1 + 2 + 4 + 4 = 14
   - D → A → B → E → C → D
     Tổng số thử thách: 3 + 1 + 4 + 4 + 4 = 16
   - D → A → C → B → E → D
     Tổng số thử thách: 3 + 2 + 2 + 4 + 4 = 15
   - D → A → C → E → B → D
     Tổng số thử thách: 3 + 2 + 4 + 4 + 4 = 17
   - D → A → E → B → C → D
     Tổng số thử thách: 3 + 4 + 4 + 2 + 4 = 17
   - D → A → E → C → B → D
     Tổng số thử thách: 3 + 4 + 4 + 2 + 4 = 17

5. Đường đi từ E:
   - E → A → B → C → D → E
     Tổng số thử thách: 4 + 1 + 2 + 3 + 4 = 14
   - E → A → B → D → C → E
     Tổng số thử thách: 4 + 1 + 3 + 3 + 4 = 15
   - E → A → C → B → D → E
     Tổng số thử thách: 4 + 2 + 2 + 3 + 4 = 15
   - E → A → C → D → B → E
     Tổng số thử thách: 4 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16
   - E → A → D → B → C → E
     Tổng số thử thách: 4 + 3 + 3 + 2 + 4 = 16
   - E → A → D → C → B → E
     Tổng số thử thách: 4 + 3 + 3 + 2 + 4 = 16

Từ các đường đi trên, ta thấy rằng đường đi có tổng số thử thách nhỏ nhất là 14. Các đường đi này bao gồm:
- B → A → C → D → E → B
- C → A → B → D → E → C
- D → A → B → C → E → D
- E → A → B → C → D → E

Vậy tổng số thử thách của đường đi thỏa mãn điều kiện trên nhận giá trị nhỏ nhất là 14.