Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng 3 km, một thị trấn ở điểm A cách điểm B 12 km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc 2,5 km/h và đi bộ với vận tốc 4 km/h thì thuyền nên neo đậu ở vị trí cách điểm B bao nhiêu km trên đoạn AB để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất?

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tọa độ và đạo hàm để tìm giá trị tối ưu.

1. Xác định tọa độ các điểm:
   - Gọi hòn đảo là điểm D.
   - Điểm P trên bờ biển là điểm (0, 0).
   - Điểm B là điểm (12, 0).
   - Điểm A là điểm (0, 12).

2. Tọa độ của điểm D:
   - Hòn đảo cách điểm P khoảng 3 km, do đó tọa độ của điểm D là (0, 3).

3. Gọi vị trí neo đậu của thuyền là điểm M trên đoạn AB:
   - Gọi tọa độ của điểm M là (x, y).
   - Vì điểm M nằm trên đoạn AB, nên y = 12 - x.

4. Tính khoảng cách từ điểm D đến điểm M:
   - Khoảng cách từ D đến M là:
     $$
     DM = \sqrt{(x - 0)^2 + (y - 3)^2} = \sqrt{x^2 + (12 - x - 3)^2} = \sqrt{x^2 + (9 - x)^2}
     $$

5. Tính khoảng cách từ điểm M đến điểm B:
   - Khoảng cách từ M đến B là:
     $$
     MB = \sqrt{(12 - x)^2 + (0 - (12 - x))^2} = \sqrt{(12 - x)^2 + x^2}
     $$

6. Thời gian chèo thuyền từ D đến M:
   - Thời gian chèo thuyền là:
     $$
     t_1 = \frac{\sqrt{x^2 + (9 - x)^2}}{2,5}
     $$

7. Thời gian đi bộ từ M đến B:
   - Thời gian đi bộ là:
     $$
     t_2 = \frac{\sqrt{(12 - x)^2 + x^2}}{4}
     $$

8. Tổng thời gian là:
   $$
   T(x) = \frac{\sqrt{x^2 + (9 - x)^2}}{2,5} + \frac{\sqrt{(12 - x)^2 + x^2}}{4}
   $$

9. Tìm giá trị của x để tổng thời gian T(x) nhỏ nhất:
   - Để tìm giá trị của x làm cho T(x) nhỏ nhất, chúng ta sẽ tính đạo hàm của T(x) và tìm điểm cực tiểu.
   - Đạo hàm của T(x):
     $$
     T'(x) = \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{x^2 + (9 - x)^2}}{2,5}\right) + \frac{d}{dx}\left(\frac{\sqrt{(12 - x)^2 + x^2}}{4}\right)
     $$
   - Đặt $ f(x) = \sqrt{x^2 + (9 - x)^2} $ và $ g(x) = \sqrt{(12 - x)^2 + x^2} $, ta có:
     $$
     T'(x) = \frac{f'(x)}{2,5} + \frac{g'(x)}{4}
     $$
   - Tính đạo hàm của f(x) và g(x):
     $$
     f'(x) = \frac{2x - 2(9 - x)}{2\sqrt{x^2 + (9 - x)^2}} = \frac{4x - 18}{2\sqrt{x^2 + (9 - x)^2}}
     $$
     $$
     g'(x) = \frac{-2(12 - x) + 2x}{2\sqrt{(12 - x)^2 + x^2}} = \frac{2x - 24}{2\sqrt{(12 - x)^2 + x^2}}
     $$
   - Thay vào T'(x):
     $$
     T'(x) = \frac{4x - 18}{5\sqrt{x^2 + (9 - x)^2}} + \frac{2x - 24}{4\sqrt{(12 - x)^2 + x^2}}
     $$
   - Đặt T'(x) = 0 và giải phương trình:
     $$
     \frac{4x - 18}{5\sqrt{x^2 + (9 - x)^2}} + \frac{2x - 24}{4\sqrt{(12 - x)^2 + x^2}} = 0
     $$
   - Giải phương trình này phức tạp, nhưng thông qua việc kiểm tra các giá trị x trong khoảng [0, 12], ta tìm được giá trị x tối ưu là x ≈ 6.

10. Kết luận:
    - Thuyền nên neo đậu ở vị trí cách điểm B khoảng 6 km trên đoạn AB để người đó đến thị trấn trong thời gian ngắn nhất.

Đáp số: 6 km.

<p>Một hòn đảo nhỏ cách điểm P trên bờ biển khoảng 3 km, một thị trấn ở điểm A cách điểm B 12 km (xem hình vẽ). Nếu một người trên đảo chèo thuyền với vận tốc 2,5 km/h và đi bộ với vận tốc 4 km/h thì t...