giải dùmmmm

Câu 1: Câu hỏi: Cho hàm số $f(x)=0^{2x}-2x-1$ a) $f(0)=?$ b) Đạo hàm của hàm số đã cho là $f'(x)=?$ c) Hàm số $f(x)$ đồng biến trong khoảng nào? d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$ là? Câu trả lời: a) Tính $f(0)$: \[ f(0) = 0^{2 \cdot 0} - 2 \cdot 0 - 1 = 0^0 - 0 - 1 = 1 - 0 - 1 = 0 \] b) Tìm đạo hàm của hàm số $f(x)$: \[ f(x) = 0^{2x} - 2x - 1 \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx}(0^{2x}) - \frac{d}{dx}(2x) - \frac{d}{dx}(1) \] \[ f'(x) = 0 - 2 - 0 = -2 \] c) Xét tính đồng biến của hàm số $f(x)$: Đạo hàm của hàm số là $f'(x) = -2$. Vì đạo hàm luôn âm (-2 < 0), nên hàm số $f(x)$ nghịch biến trên toàn bộ miền xác định của nó. Do đó, hàm số không đồng biến trong bất kỳ khoảng nào. d) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$: Hàm số $f(x)$ nghịch biến trên toàn bộ miền xác định của nó, do đó giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$ sẽ là giá trị của hàm số tại điểm cuối đoạn này, tức là tại $x = 2$: \[ f(2) = 0^{2 \cdot 2} - 2 \cdot 2 - 1 = 0^4 - 4 - 1 = 0 - 4 - 1 = -5 \] Đáp số: a) $f(0) = 0$ b) $f'(x) = -2$ c) Hàm số nghịch biến trên toàn bộ miền xác định của nó. d) Giá trị nhỏ nhất của hàm số $f(x)$ trên đoạn $\left[\frac{1}{2}; 2\right]$ là $-5$. Câu 2: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng các kiến thức về xác suất và xác suất có điều kiện. a) Xác suất $P(A)$ và $P(\overline{A})$ - Biến cố $A$: Một người trong cộng đồng mắc bệnh Z. - Biến cố $\overline{A}$: Một người trong cộng đồng không mắc bệnh Z. Theo đề bài, cứ 100 người trong cộng đồng thì có 20 người mắc bệnh Z. Do đó: \[ P(A) = \frac{20}{100} = 0,2 \] \[ P(\overline{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,2 = 0,8 \] b) Xác suất có điều kiện $P(A|B)$ - Biến cố $B$: Một người trong cộng đồng có kết quả xét nghiệm dương tính với bệnh Z. Theo đề bài, nếu một người có kết quả xét nghiệm dương tính thì xác suất để người đó mắc bệnh Z là 0,9. Điều này có nghĩa là: \[ P(A|B) = 0,9 \] c) Xác suất để một người có kết quả xét nghiệm dương tính với bệnh Z Ta cần tìm $P(B)$, xác suất để một người có kết quả xét nghiệm dương tính với bệnh Z. Áp dụng công thức xác suất tổng: \[ P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) \] Trong đó: - $P(B|A)$ là xác suất để một người mắc bệnh Z có kết quả xét nghiệm dương tính, theo đề bài là 0,9. - $P(B|\overline{A})$ là xác suất để một người không mắc bệnh Z có kết quả xét nghiệm dương tính, theo đề bài là 0,1. Thay vào công thức: \[ P(B) = 0,2 \cdot 0,9 + 0,8 \cdot 0,1 \] \[ P(B) = 0,18 + 0,08 \] \[ P(B) = 0,26 \] d) Trong số những người mắc bệnh Z, có 56% số người có kết quả xét nghiệm dương tính với bệnh Z Để kiểm tra lại, ta cần tính xác suất có điều kiện $P(B|A)$, xác suất để một người mắc bệnh Z có kết quả xét nghiệm dương tính. Theo đề bài, trong số những người mắc bệnh Z, có 56% số người có kết quả xét nghiệm dương tính với bệnh Z. Điều này có nghĩa là: \[ P(B|A) = 0,56 \] Tuy nhiên, theo đề bài ban đầu, $P(B|A) = 0,9$. Do đó, có thể có sự nhầm lẫn hoặc sai sót trong đề bài. Chúng ta sẽ dựa vào thông tin ban đầu là $P(B|A) = 0,9$. Kết luận a) Xác suất $P(A) = 0,2$ và $P(\overline{A}) = 0,8$. b) Xác suất có điều kiện $P(A|B) = 0,9$. c) Xác suất để một người có kết quả xét nghiệm dương tính với bệnh Z là 0,26. d) Trong số những người mắc bệnh Z, có 90% số người có kết quả xét nghiệm dương tính với bệnh Z (theo thông tin ban đầu). Câu 3: a) Tọa độ các vectơ: \[ \overrightarrow{AB} = (3 - 2, 0 - 1, 1 - 1) = (1, -1, 0) \] \[ \overrightarrow{BC} = (0 - 3, -2 - 0, -1 - 1) = (-3, -2, -2) \] b) Đường thẳng BC đi qua điểm M(6, 2, 3): Phương trình tham số của đường thẳng BC: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 - 3t \\ y = -2t \\ z = 1 - 2t \end{array} \right. \] Thay tọa độ điểm M vào phương trình: \[ 6 = 3 - 3t \Rightarrow t = -1 \] \[ 2 = -2t \Rightarrow t = -1 \] \[ 3 = 1 - 2t \Rightarrow t = -1 \] Vậy điểm M thuộc đường thẳng BC. c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trung trực của đoạn BC: Trung điểm của BC: \[ D = \left(\frac{3 + 0}{2}, \frac{0 - 2}{2}, \frac{1 - 1}{2}\right) = \left(\frac{3}{2}, -1, 0\right) \] Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng trung trực: \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} = (-3, -2, -2) \] Phương trình mặt phẳng trung trực: \[ -3(x - \frac{3}{2}) - 2(y + 1) - 2(z - 0) = 0 \] \[ -3x + \frac{9}{2} - 2y - 2 - 2z = 0 \] \[ -3x - 2y - 2z + \frac{5}{2} = 0 \] Khoảng cách từ điểm A(2, 1, 1) đến mặt phẳng: \[ d = \frac{|-3(2) - 2(1) - 2(1) + \frac{5}{2}|}{\sqrt{(-3)^2 + (-2)^2 + (-2)^2}} = \frac{|-6 - 2 - 2 + \frac{5}{2}|}{\sqrt{9 + 4 + 4}} = \frac{|-\frac{15}{2}|}{\sqrt{17}} = \frac{\frac{15}{2}}{\sqrt{17}} = \frac{15}{2\sqrt{17}} = \frac{15\sqrt{17}}{34} \] d) Mặt phẳng (P) đi qua hai điểm A, B và cách C một khoảng lớn nhất: Phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và B: \[ \left| \begin{array}{ccc} x - 2 & y - 1 & z - 1 \\ 3 - 2 & 0 - 1 & 1 - 1 \\ 0 - 2 & -2 - 1 & -1 - 1 \end{array} \right| = 0 \] \[ \left| \begin{array}{ccc} x - 2 & y - 1 & z - 1 \\ 1 & -1 & 0 \\ -2 & -3 & -2 \end{array} \right| = 0 \] \[ (x - 2)(2 - 0) - (y - 1)(-2 + 0) + (z - 1)(-3 + 2) = 0 \] \[ 2(x - 2) + 2(y - 1) - (z - 1) = 0 \] \[ 2x - 4 + 2y - 2 - z + 1 = 0 \] \[ 2x + 2y - z - 5 = 0 \] \[ 3x + 2y + z - 11 = 0 \] Đáp số: a) \(\overrightarrow{AB} = (1, -1, 0)\), \(\overrightarrow{BC} = (-3, -2, -2)\) b) Điểm M thuộc đường thẳng BC. c) Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng trung trực của đoạn BC là \(\frac{15\sqrt{17}}{34}\). d) Phương trình mặt phẳng (P) là \(3x + 2y + z - 11 = 0\). Câu4: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện từng bước theo yêu cầu của đề bài. Bước 1: Tìm vận tốc V(t) Vận tốc V(t) là nguyên hàm của gia tốc \(a(t)\). \[ a(t) = t^2 + 4t \] Tìm nguyên hàm của \(a(t)\): \[ V(t) = \int (t^2 + 4t) \, dt \] \[ V(t) = \frac{t^3}{3} + 2t^2 + C \] Trong đó, \(C\) là hằng số nguyên hàm. Để xác định \(C\), ta sử dụng điều kiện ban đầu: khi \(t = 0\), \(V(0) = 15 \, \text{m/s}\). \[ V(0) = \frac{0^3}{3} + 2 \cdot 0^2 + C = 15 \] \[ C = 15 \] Vậy, vận tốc của vật ở thời điểm \(t\) là: \[ V(t) = \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 15 \] Bước 2: Xác định vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 3 \, \text{s}\) \[ V(3) = \frac{3^3}{3} + 2 \cdot 3^2 + 15 \] \[ V(3) = \frac{27}{3} + 2 \cdot 9 + 15 \] \[ V(3) = 9 + 18 + 15 \] \[ V(3) = 42 \, \text{m/s} \] Bước 3: Tính quãng đường vật đi được trong 4 giây đầu tiên Quãng đường \(S(t)\) là nguyên hàm của vận tốc \(V(t)\). \[ S(t) = \int V(t) \, dt \] \[ S(t) = \int \left( \frac{t^3}{3} + 2t^2 + 15 \right) \, dt \] \[ S(t) = \frac{t^4}{12} + \frac{2t^3}{3} + 15t + D \] Trong đó, \(D\) là hằng số nguyên hàm. Để xác định \(D\), ta sử dụng điều kiện ban đầu: khi \(t = 0\), \(S(0) = 0\). \[ S(0) = \frac{0^4}{12} + \frac{2 \cdot 0^3}{3} + 15 \cdot 0 + D = 0 \] \[ D = 0 \] Vậy, quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian \(t\) là: \[ S(t) = \frac{t^4}{12} + \frac{2t^3}{3} + 15t \] Quãng đường vật đi được trong 4 giây đầu tiên: \[ S(4) = \frac{4^4}{12} + \frac{2 \cdot 4^3}{3} + 15 \cdot 4 \] \[ S(4) = \frac{256}{12} + \frac{2 \cdot 64}{3} + 60 \] \[ S(4) = \frac{256}{12} + \frac{128}{3} + 60 \] \[ S(4) = \frac{256}{12} + \frac{512}{12} + 60 \] \[ S(4) = \frac{768}{12} + 60 \] \[ S(4) = 64 + 60 \] \[ S(4) = 124 \, \text{m} \] Kết luận: - Vận tốc của vật tại thời điểm \(t = 3 \, \text{s}\) là 42 m/s. - Quãng đường vật đi được trong 4 giây đầu tiên là 124 m.