cíuuuuu vớiiiiiiiiiiiiiiiiii

Câu 5. Để tìm tốc độ trung bình \( v \) sao cho chi phí tiền xăng \( C(v) \) là nhỏ nhất, ta sẽ sử dụng phương pháp đạo hàm để tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số \( C(v) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( C(v) \) \[ C(v) = \frac{3v}{4} + \frac{1875}{v} \] Tính đạo hàm: \[ C'(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{3v}{4}\right) + \frac{d}{dv}\left(\frac{1875}{v}\right) \] \[ C'(v) = \frac{3}{4} - \frac{1875}{v^2} \] Bước 2: Tìm điểm cực trị bằng cách đặt đạo hàm bằng 0 \[ C'(v) = 0 \] \[ \frac{3}{4} - \frac{1875}{v^2} = 0 \] \[ \frac{3}{4} = \frac{1875}{v^2} \] \[ v^2 = \frac{1875 \times 4}{3} \] \[ v^2 = 2500 \] \[ v = 50 \quad (\text{vì } v > 0) \] Bước 3: Kiểm tra tính chất của điểm cực trị Ta kiểm tra đạo hàm thứ hai của \( C(v) \): \[ C''(v) = \frac{d}{dv}\left(\frac{3}{4} - \frac{1875}{v^2}\right) \] \[ C''(v) = \frac{3750}{v^3} \] Tại \( v = 50 \): \[ C''(50) = \frac{3750}{50^3} = \frac{3750}{125000} = \frac{3}{100} > 0 \] Vì \( C''(50) > 0 \), nên \( v = 50 \) là điểm cực tiểu của hàm số \( C(v) \). Bước 4: Kết luận Giá trị nhỏ nhất của chi phí tiền xăng \( C(v) \) đạt được khi \( v = 50 \) km/h. Vậy, để tiết kiệm tiền xăng nhất, tài xế nên lái xe với tốc độ trung bình là 50 km/h. Câu 6. Để tìm giá trị của \( x \) sao cho chi phí trung bình \( \overline{C}(x) \) là thấp nhất, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm biểu thức của chi phí trung bình \( \overline{C}(x) \): \[ \overline{C}(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{5 + 0,7x + 0,004x^2}{x} \] \[ \overline{C}(x) = \frac{5}{x} + 0,7 + 0,004x \] 2. Tìm đạo hàm của \( \overline{C}(x) \): \[ \overline{C}'(x) = -\frac{5}{x^2} + 0,004 \] 3. Tìm điểm cực tiểu của \( \overline{C}(x) \): \[ \overline{C}'(x) = 0 \implies -\frac{5}{x^2} + 0,004 = 0 \] \[ -\frac{5}{x^2} = -0,004 \] \[ \frac{5}{x^2} = 0,004 \] \[ x^2 = \frac{5}{0,004} \] \[ x^2 = 1250 \] \[ x = \sqrt{1250} \approx 35,355 \] 4. Kiểm tra điều kiện \( 0 \leq x \leq 46 \): \[ 0 \leq 35,355 \leq 46 \] 5. Kiểm tra tính chất của đạo hàm: - Khi \( x < 35,355 \), \( \overline{C}'(x) < 0 \) (chi phí trung bình giảm) - Khi \( x > 35,355 \), \( \overline{C}'(x) > 0 \) (chi phí trung bình tăng) Do đó, \( x = 35,355 \) là điểm cực tiểu của \( \overline{C}(x) \). 6. Làm tròn đến hàng phần mười: \[ x \approx 35,4 \] Vậy, mỗi tháng xưởng sản xuất khoảng 35,4 mét khối sản phẩm thì chi phí trung bình để sản xuất là thấp nhất. Câu 7. Chi phí tổng cộng để sản xuất $x(m^3)$ sản phẩm là: \[ C(x) = 7 + 0,7x + 0,002x^2 \text{ (triệu đồng)} \] Chi phí trung bình trên mỗi mét khối sản phẩm là: \[ f(x) = \frac{C(x)}{x} = \frac{7 + 0,7x + 0,002x^2}{x} = \frac{7}{x} + 0,7 + 0,002x \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của $f(x)$, ta tính đạo hàm của $f(x)$: \[ f'(x) = -\frac{7}{x^2} + 0,002 \] Đặt $f'(x) = 0$ để tìm điểm cực trị: \[ -\frac{7}{x^2} + 0,002 = 0 \] \[ \frac{7}{x^2} = 0,002 \] \[ x^2 = \frac{7}{0,002} \] \[ x^2 = 3500 \] \[ x = \sqrt{3500} \approx 59,16 \] Kiểm tra điều kiện $0 < x \leq 72$, ta thấy $x = 59,16$ nằm trong khoảng này. Để kiểm tra xem đây có phải là điểm cực tiểu, ta tính đạo hàm thứ hai: \[ f''(x) = \frac{d}{dx}\left(-\frac{7}{x^2} + 0,002\right) = \frac{14}{x^3} \] Vì $f''(x) > 0$ khi $x > 0$, nên $x = 59,16$ là điểm cực tiểu. Giá trị nhỏ nhất của chi phí trung bình là: \[ f(59,16) = \frac{7}{59,16} + 0,7 + 0,002 \times 59,16 \] \[ f(59,16) \approx 0,1183 + 0,7 + 0,1183 \] \[ f(59,16) \approx 0,9366 \] Vậy chi phí trung bình thấp nhất mà xí nghiệp cần bỏ ra là khoảng 0,94 triệu đồng/m³ (làm tròn đến hàng phần trăm). Câu 8. Gọi số giếng dầu cần thêm là \( x \) (giếng). Số giếng dầu sau khi thêm là \( 10 + x \) (giếng). Lượng dầu mỗi giếng chiết xuất được mỗi ngày sau khi thêm là \( 138 - 5x \) (thùng). Sản lượng dầu chiết xuất được mỗi ngày là: \( f(x) = (10 + x)(138 - 5x) \) \( f(x) = 1380 + 138x - 50x - 5x^2 \) \( f(x) = -5x^2 + 88x + 1380 \) Để sản lượng dầu chiết xuất đạt lớn nhất, ta tính đạo hàm của \( f(x) \) và tìm giá trị cực đại. \( f'(x) = -10x + 88 \) Đặt \( f'(x) = 0 \): \( -10x + 88 = 0 \) \( 10x = 88 \) \( x = 8,8 \) Vì số giếng dầu phải là số nguyên, nên ta xét hai giá trị gần nhất là \( x = 8 \) và \( x = 9 \). - Khi \( x = 8 \): \( f(8) = -5(8)^2 + 88(8) + 1380 \) \( f(8) = -320 + 704 + 1380 \) \( f(8) = 1764 \) - Khi \( x = 9 \): \( f(9) = -5(9)^2 + 88(9) + 1380 \) \( f(9) = -405 + 792 + 1380 \) \( f(9) = 1767 \) Như vậy, sản lượng dầu chiết xuất đạt lớn nhất khi thêm 9 giếng dầu. Đáp số: 9 giếng dầu. Câu 9. Đầu tiên, ta cần tìm vận tốc của máy bay. Ta biết rằng máy bay di chuyển từ điểm B(291; 82; 7) đến điểm D(213; 234; 4) trong 35 phút. Tọa độ của vectơ BD là: \[ \overrightarrow{BD} = (213 - 291, 234 - 82, 4 - 7) = (-78, 152, -3) \] Chiều dài của vectơ BD là: \[ |\overrightarrow{BD}| = \sqrt{(-78)^2 + 152^2 + (-3)^2} = \sqrt{6084 + 23104 + 9} = \sqrt{29197} \approx 170.87 \text{ km} \] Vận tốc của máy bay là: \[ v = \frac{|\overrightarrow{BD}|}{\text{thời gian}} = \frac{170.87}{\frac{35}{60}} = \frac{170.87 \times 60}{35} \approx 296.03 \text{ km/h} \] Tiếp theo, ta cần tìm tọa độ của máy bay sau 7 phút nữa. Thời gian tổng cộng máy bay đã bay là: \[ 35 + 7 = 42 \text{ phút} = \frac{42}{60} = 0.7 \text{ giờ} \] Quãng đường máy bay đã bay trong 42 phút là: \[ s = v \times t = 296.03 \times 0.7 \approx 207.22 \text{ km} \] Tọa độ của máy bay sau 42 phút là: \[ P = B + \frac{s}{|\overrightarrow{BD}|} \times \overrightarrow{BD} \] \[ P = (291, 82, 7) + \frac{207.22}{170.87} \times (-78, 152, -3) \] \[ P = (291, 82, 7) + 1.21 \times (-78, 152, -3) \] \[ P = (291, 82, 7) + (-94.38, 183.92, -3.63) \] \[ P = (291 - 94.38, 82 + 183.92, 7 - 3.63) \] \[ P = (196.62, 265.92, 3.37) \] Cuối cùng, ta tính giá trị của \(\frac{a + b + c}{2025}\): \[ \frac{196.62 + 265.92 + 3.37}{2025} = \frac{465.91}{2025} \approx 0.23 \] Đáp số: 0.23