Mk cần gấp

Câu 8: a) Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = \frac{x}{x+3} + \frac{2x}{x-3} - \frac{3x^2 + 9}{x^2 - 9} \] Đầu tiên, ta nhận thấy rằng \( x^2 - 9 = (x+3)(x-3) \). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( A \) dưới dạng: \[ A = \frac{x(x-3)}{(x+3)(x-3)} + \frac{2x(x+3)}{(x+3)(x-3)} - \frac{3(x^2 + 3)}{(x+3)(x-3)} \] Rút gọn các phân số: \[ A = \frac{x(x-3) + 2x(x+3) - 3(x^2 + 3)}{(x+3)(x-3)} \] Phân tích và rút gọn tử số: \[ x(x-3) + 2x(x+3) - 3(x^2 + 3) = x^2 - 3x + 2x^2 + 6x - 3x^2 - 9 = 3x - 9 \] Do đó: \[ A = \frac{3x - 9}{(x+3)(x-3)} = \frac{3(x-3)}{(x+3)(x-3)} = \frac{3}{x+3} \] b) Tính giá trị của biểu thức \( A \) tại \( x = -1002 \): \[ A = \frac{3}{-1002 + 3} = \frac{3}{-999} = -\frac{1}{333} \] c) Tìm các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( A \) có giá trị nguyên: \[ A = \frac{3}{x+3} \] Để \( A \) có giá trị nguyên, \( x + 3 \) phải là ước của 3. Các ước của 3 là \( \pm 1 \) và \( \pm 3 \). Do đó: \[ x + 3 = 1 \Rightarrow x = -2 \] \[ x + 3 = -1 \Rightarrow x = -4 \] \[ x + 3 = 3 \Rightarrow x = 0 \] \[ x + 3 = -3 \Rightarrow x = -6 \] Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để biểu thức \( A \) có giá trị nguyên là \( x = -2, -4, 0, -6 \). Đáp số: a) \( A = \frac{3}{x+3} \) b) \( A = -\frac{1}{333} \) c) \( x = -2, -4, 0, -6 \) Câu 9: a) Ta có: \(ABCD\) là hình bình hành nên \(AD \parallel BC\) và \(AD = BC\). Vì \(I\) là trung điểm của \(BC\) nên \(BI = IC\). \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(I\) nên \(AI = IE\) và \(A\) và \(E\) nằm trên đường thẳng đi qua \(I\). Do đó, \(ABEC\) là hình thoi vì các cạnh \(AB = BE = EC = CA\). b) Vì \(ABCD\) là hình bình hành và \(AB = AC\), ta có \(AB = AD = AC\). Do đó, tam giác \(ABC\) là tam giác đều, suy ra \(\angle BAC = 60^\circ\). Vì \(E\) là điểm đối xứng của \(A\) qua \(I\), ta có \(\angle DAE = \angle BAC = 60^\circ\). c) Để tứ giác \(ABEC\) trở thành hình vuông, ta cần \(ABEC\) là hình thoi và các góc ở đỉnh \(A\) và \(C\) phải là \(90^\circ\). Vì \(ABEC\) là hình thoi, các góc ở đỉnh \(A\) và \(C\) phải là \(90^\circ\). Do đó, tam giác \(ADE\) phải là tam giác vuông tại \(A\), tức là \(\angle DAE = 90^\circ\). Đáp số: a) \(ABEC\) là hình thoi. b) \(\angle DAE = 60^\circ\). c) Điều kiện của tam giác \(ADE\) để tứ giác \(ABEC\) trở thành hình vuông là \(\angle DAE = 90^\circ\). Câu 10: Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M = x^2 - 2x(y + 1) + 3y^2 + 2025 \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Ta nhóm các hạng tử liên quan đến \( x \) và \( y \) để dễ dàng biến đổi biểu thức. \[ M = x^2 - 2x(y + 1) + 3y^2 + 2025 \] Bước 2: Ta nhận thấy rằng biểu thức \( x^2 - 2x(y + 1) \) có dạng giống như một bình phương hoàn chỉnh. Ta sẽ thêm và bớt một số để tạo thành bình phương hoàn chỉnh. \[ M = x^2 - 2x(y + 1) + (y + 1)^2 - (y + 1)^2 + 3y^2 + 2025 \] Bước 3: Ta nhóm lại các hạng tử để tạo thành bình phương hoàn chỉnh. \[ M = (x - (y + 1))^2 - (y + 1)^2 + 3y^2 + 2025 \] Bước 4: Ta tiếp tục biến đổi biểu thức. \[ M = (x - (y + 1))^2 - (y^2 + 2y + 1) + 3y^2 + 2025 \] \[ M = (x - (y + 1))^2 - y^2 - 2y - 1 + 3y^2 + 2025 \] \[ M = (x - (y + 1))^2 + 2y^2 - 2y + 2024 \] Bước 5: Ta nhận thấy rằng \( (x - (y + 1))^2 \geq 0 \) và \( 2y^2 - 2y + 2024 \) là một biểu thức bậc hai theo \( y \). Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức này, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của \( 2y^2 - 2y + 2024 \). Ta sử dụng phương pháp hoàn chỉnh bình phương cho biểu thức \( 2y^2 - 2y + 2024 \): \[ 2y^2 - 2y + 2024 = 2(y^2 - y) + 2024 \] \[ = 2(y^2 - y + \frac{1}{4} - \frac{1}{4}) + 2024 \] \[ = 2((y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4}) + 2024 \] \[ = 2(y - \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{2} + 2024 \] \[ = 2(y - \frac{1}{2})^2 + 2023.5 \] Bước 6: Ta thấy rằng \( 2(y - \frac{1}{2})^2 \geq 0 \), do đó giá trị nhỏ nhất của \( 2(y - \frac{1}{2})^2 + 2023.5 \) là 2023.5 khi \( y = \frac{1}{2} \). Bước 7: Khi \( y = \frac{1}{2} \), ta thay vào biểu thức ban đầu để tìm giá trị của \( x \): \[ x - (y + 1) = 0 \] \[ x - (\frac{1}{2} + 1) = 0 \] \[ x - \frac{3}{2} = 0 \] \[ x = \frac{3}{2} \] Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là 2023.5, đạt được khi \( x = \frac{3}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \). Đáp số: Giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( M \) là 2023.5, đạt được khi \( x = \frac{3}{2} \) và \( y = \frac{1}{2} \).