giúp mình với nha Dạng 2. Bài toán tổng hợp,Bài 1. Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB

Question

giúp mình với nha Dạng 2. Bài toán tổng hợp,Bài 1. Cho $\Delta ABC$ nhọn $(AB<AC).$ Gọi H là giao điểm của hai dường cao BD và CE. Lấy I là trung,điểm BC. Gọi K là điểm đối xứng của H qua I.,a) Chứng minh BHCK là hình bình hành.,b) Chứng minh bốn điểm A, B, K, C cùng thuộc một đường tròn. Xác định tâm O của đường tròn đó.,c) Giả sử $R=5~cm$ và $OI=3~cm.$ Tính độ dài dây BC của đường tròn (O).,d) Chứng minh $OI//AH$,e) Chứng minh $BE.BA+CD.CA=BC^2.$

Accepted Answer

a)
K đối xứng với H qua I ⟹ I là trung điểm HK
Xét tứ giác BHCK, có:
I là trung điểm HK
I là trung điểm BC
⟹ HK và BC cắt nhau tại trung điểm mỗi đường
⟹ BHCK là hình bình hành
b)
Vì BHCK là hình bình hành $\displaystyle \Longrightarrow \begin{cases}
BK//CH & \
BH//CK &
\end{cases}$
Có: $\displaystyle \begin{cases}
BK//CH & \
CH\bot AB &
\end{cases} \Longrightarrow BK\bot AB\Longrightarrow \widehat{ABK} =90^{0}$
Có: $\displaystyle \begin{cases}
BH//CK & \
BH\bot AC &
\end{cases} \Longrightarrow CK\bot AC\Longrightarrow \widehat{ACK} =90^{0}$
Xét tứ giác ABKC, có:
$\displaystyle \widehat{ABK} +\widehat{ACK} =180^{0}$
mà hai góc này ở vị trí đối nhau
⟹Tứ giác ABKC nội tiếp đường tròn đường kính AK ⟹ O là trung điểm AK
c)
Tam giác OBC có: OB=OC=R
⟹ Tam giác OBC cân tại O
Tam giác OBC cân tại O có OI là trung tuyến
⟹ OI đồng thời là đường cao ⟹ OI$\displaystyle \bot $BC
Xét tam giác OIB vuông tại I, theo Pytago, có:
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
OI^{2} +IB^{2} =OB^{2}\
\Longrightarrow IB=\sqrt{OB^{2} -OI^{2}} =\sqrt{R^{2} -OI^{2}} =\sqrt{5^{2} -3^{2}} =4\ ( cm)\
\Longrightarrow BC=2BI=8\ ( cm)
\end{array}$
d)
Xét tam giác AHK, có:
O là trung điểm AK
I là trung điểm HK
⟹ OI là đường trung bình của tam giác AHK
⟹ OI//AH
e)
Gọi $\displaystyle AH\cap BC=M$
Có: đường cao BD và CE cắt nhau tại H⟹H là trực tâm của tam giác ABC ⟹ AM$\displaystyle \bot $BC
hay $\displaystyle \widehat{AMB} =\widehat{AMC} =90^{0}$
Xét $\displaystyle riangle ABM$ và $\displaystyle riangle CBE$, có:
$\displaystyle \hat{B}$ chung
$\displaystyle \widehat{AMB} =\widehat{CEB} =90^{0}$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow riangle ABM\backsim riangle CBE\ ( g-g)\
\Longrightarrow \frac{BM}{BE} =\frac{BA}{BC} \Longrightarrow BE.BA=BM.BC
\end{array}$
Chứng minh tương tự, có: $\displaystyle riangle CAM\backsim riangle CBD$
$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\Longrightarrow \frac{CA}{CB} =\frac{CM}{CD} \Longrightarrow CA.CD=CM.BC\
\Longrightarrow BE.BA+CD.CA=BM.BC+CM.BC=( CM+BM) .BC=BC^{2}
\end{array}$