giúp tôiii

Câu 1. Trên đường tròn lượng giác, tọa độ của điểm \( M \left( \frac{-3}{5}; \frac{-4}{5} \right) \) cho ta biết rằng: - Tọa độ hoành (x) của điểm \( M \) là \( \frac{-3}{5} \). - Tọa độ tung (y) của điểm \( M \) là \( \frac{-4}{5} \). Theo định nghĩa về các hàm lượng giác trên đường tròn lượng giác: - \( \cos \alpha \) là tọa độ hoành của điểm \( M \). - \( \sin \alpha \) là tọa độ tung của điểm \( M \). Do đó: \[ \cos \alpha = \frac{-3}{5} \] \[ \sin \alpha = \frac{-4}{5} \] Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định: A. \( \sin \alpha = \frac{-4}{5} \) - Đúng vì \( \sin \alpha = \frac{-4}{5} \). B. \( \cot \alpha = -\frac{5}{3} \) - \( \cot \alpha = \frac{\cos \alpha}{\sin \alpha} = \frac{\frac{-3}{5}}{\frac{-4}{5}} = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4} \) - Sai vì \( \cot \alpha = \frac{3}{4} \), không phải \( -\frac{5}{3} \). C. \( \tan \alpha = \frac{-3}{5} \) - \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{\frac{-4}{5}}{\frac{-3}{5}} = \frac{-4}{-3} = \frac{4}{3} \) - Sai vì \( \tan \alpha = \frac{4}{3} \), không phải \( \frac{-3}{5} \). D. \( \cos \alpha = \frac{-4}{5} \) - Sai vì \( \cos \alpha = \frac{-3}{5} \), không phải \( \frac{-4}{5} \). Như vậy, khẳng định đúng là: A. \( \sin \alpha = \frac{-4}{5} \) Đáp án: A. \( \sin \alpha = \frac{-4}{5} \) Câu 2. Để xác định đẳng thức nào sai trong các đẳng thức đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng đẳng thức một. A. $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin^2\alpha$ Đẳng thức này đúng vì nó là một trong những công thức biến đổi của cos2α. B. $\cos 2\alpha = \cos^3\alpha - \sin^3\alpha$ Đẳng thức này sai vì công thức đúng là $\cos 2\alpha = \cos^2\alpha - \sin^2\alpha$, không phải là $\cos^3\alpha - \sin^3\alpha$. C. $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$ Đẳng thức này đúng vì nó là công thức biến đổi của sin2α. D. $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha}{1 + \tan^2\alpha}$ Đẳng thức này đúng vì nó là công thức biến đổi của tan2α. Vậy, đẳng thức sai là: B. $\cos 2\alpha = \cos^3\alpha - \sin^3\alpha$. Câu 3. Để xác định khẳng định sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. Tập xác định của hàm số $y = \tan x$ là $D = \mathbb{R} \setminus \left\{\frac{\pi}{2} + k\pi | k \in \mathbb{Z}\right\}$. - Đây là khẳng định đúng vì $\tan x$ không xác định tại các điểm $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. B. Hàm số $y = \tan x$ đồng biến trên các khoảng $\left(\frac{-\pi}{2} + k2\pi; \frac{\pi}{2} + k2\pi\right)$ với mọi $k \in \mathbb{Z}$. - Đây là khẳng định đúng vì $\tan x$ đồng biến trên mỗi khoảng giữa hai điểm không xác định liên tiếp. C. Hàm số $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. - Đây là khẳng định sai vì chu kỳ của hàm số $\sin x$ là $2\pi$, không phải $\pi$. D. Tập giá trị của hàm số $y = \tan x$ là $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. - Đây là khẳng định sai vì tập giá trị của hàm số $\tan x$ là $\mathbb{R}$, không giới hạn trong khoảng $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. Như vậy, khẳng định sai là: C. Hàm số $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. Và D. Tập giá trị của hàm số $y = \tan x$ là $\left(-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}\right)$. Tuy nhiên, theo yêu cầu của đề bài, chúng ta chỉ cần chọn một khẳng định sai duy nhất. Do đó, khẳng định sai là: C. Hàm số $y = \sin x$ là hàm số tuần hoàn với chu kỳ $\pi$. Câu 4. Để chọn khẳng định đúng, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k2\pi (k \in \mathbb{Z})$ Khẳng định này sai vì $\cos x = \cos \alpha$ còn có thể xảy ra khi $x = -\alpha + k2\pi$. Do đó, điều kiện đúng là: \[ \cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z}) \] B. $\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})$ Khẳng định này đúng vì $\tan x = \tan \alpha$ khi $x = \alpha + k\pi$. C. $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$ Khẳng định này đúng vì $\cos x = \cos \alpha$ khi $x = \alpha + k2\pi$ hoặc $x = -\alpha + k2\pi$. D. $\sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$ Khẳng định này sai vì $\sin x = \sin \alpha$ còn có thể xảy ra khi $x = \pi - \alpha + k2\pi$. Do đó, điều kiện đúng là: \[ \sin x = \sin \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = \pi - \alpha + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z}) \] Vậy khẳng định đúng là: B. $\tan x = \tan \alpha \Leftrightarrow x = \alpha + k\pi (k \in \mathbb{Z})$ C. $\cos x = \cos \alpha \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} x = \alpha + k2\pi \\ x = -\alpha + k2\pi \end{array} \right. (k \in \mathbb{Z})$ Đáp án: B và C. Câu 5. Để giải phương trình $\cos 5x = \sin 2x$, ta sử dụng công thức biến đổi tổng thành tích và các tính chất của sin và cos. Bước 1: Chuyển đổi phương trình về dạng tổng: \[ \cos 5x = \sin 2x \] Ta biết rằng $\sin 2x = \cos(\frac{\pi}{2} - 2x)$, do đó phương trình trở thành: \[ \cos 5x = \cos\left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) \] Bước 2: Áp dụng tính chất của cos: \[ \cos A = \cos B \implies A = 2k\pi \pm B \] Áp dụng vào phương trình của chúng ta: \[ 5x = 2k\pi + \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) \quad \text{hoặc} \quad 5x = 2k\pi - \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) \] Bước 3: Giải từng trường hợp: - Trường hợp 1: \[ 5x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} - 2x \] \[ 5x + 2x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} \] \[ 7x = 2k\pi + \frac{\pi}{2} \] \[ x = \frac{2k\pi}{7} + \frac{\pi}{14} \] \[ x = \frac{\pi}{14} + k\frac{2\pi}{7}, \quad k \in \mathbb{Z} \] - Trường hợp 2: \[ 5x = 2k\pi - \left(\frac{\pi}{2} - 2x\right) \] \[ 5x = 2k\pi - \frac{\pi}{2} + 2x \] \[ 5x - 2x = 2k\pi - \frac{\pi}{2} \] \[ 3x = 2k\pi - \frac{\pi}{2} \] \[ x = \frac{2k\pi}{3} - \frac{\pi}{6} \] \[ x = -\frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3}, \quad k \in \mathbb{Z} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ \left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{14} + k\frac{2\pi}{7} \\ x = -\frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3} \end{array}\right., \quad k \in \mathbb{Z} \] Do đó, đáp án đúng là: C. $\left[\begin{array}{l} x = \frac{\pi}{14} + k\frac{2\pi}{7} \\ x = -\frac{\pi}{6} + k\frac{2\pi}{3} \end{array}\right., \quad k \in \mathbb{Z}$ Câu 6. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần kiểm tra từng mệnh đề một để xác định mệnh đề nào đúng. Bước 1: Xác định công thức của dãy số $(u_i)$ - Ta biết rằng $u_1 = \frac{n^2 - 1}{n + 2}$. Bước 2: Kiểm tra từng mệnh đề: - Mệnh đề A: $u_2 = \frac{3}{4}$ - Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần biết công thức của $u_2$. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta chỉ biết công thức của $u_1$. Do đó, ta không thể xác định $u_2$ từ công thức của $u_1$ mà không có thêm thông tin về quy luật của dãy số. Vì vậy, ta sẽ không kiểm tra mệnh đề này ngay lúc này. - Mệnh đề B: $u_{2024} = \frac{2025}{2026}$ - Tương tự như trên, ta không thể xác định $u_{2024}$ từ công thức của $u_1$ mà không có thêm thông tin về quy luật của dãy số. Vì vậy, ta sẽ không kiểm tra mệnh đề này ngay lúc này. - Mệnh đề C: $u_1 = \frac{8}{5}$ - Ta đã biết $u_1 = \frac{n^2 - 1}{n + 2}$. Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần thay $n$ vào công thức và kiểm tra xem kết quả có bằng $\frac{8}{5}$ hay không. - Giả sử $n = 3$, ta có: \[ u_1 = \frac{3^2 - 1}{3 + 2} = \frac{9 - 1}{5} = \frac{8}{5} \] - Kết quả đúng, do đó mệnh đề C là đúng. - Mệnh đề D: $u_4 = \frac{8}{9}$ - Để kiểm tra mệnh đề này, ta cần biết công thức của $u_4$. Tuy nhiên, từ thông tin đã cho, ta chỉ biết công thức của $u_1$. Do đó, ta không thể xác định $u_4$ từ công thức của $u_1$ mà không có thêm thông tin về quy luật của dãy số. Vì vậy, ta sẽ không kiểm tra mệnh đề này ngay lúc này. Kết luận: Mệnh đề đúng là C. $u_1 = \frac{8}{5}$. Đáp án: C. $u_1 = \frac{8}{5}$. Câu 7. Cấp số cộng $(u_n)$ có số hạng tổng quát được tính theo công thức: \[ u_n = a_1 + (n-1)d \] Trong đó: - \( a_1 \) là số hạng đầu tiên, - \( d \) là khoảng cách giữa các số hạng liên tiếp, - \( n \) là chỉ số của số hạng. Áp dụng vào bài toán này: - \( a_1 = 5 \) - \( d = -3 \) Thay vào công thức, ta có: \[ u_n = 5 + (n-1)(-3) \] \[ u_n = 5 - 3(n-1) \] \[ u_n = 5 - 3n + 3 \] \[ u_n = 8 - 3n \] Do đó, số hạng tổng quát của cấp số cộng là: \[ u_n = 8 - 3n \] So sánh với các đáp án đã cho: A. \( u_n = -3n + 2 \) B. \( v_n = 5n \) C. \( u_n = -3n + 8 \) D. \( u_n = 5n - 8 \) Ta thấy rằng đáp án đúng là: C. \( u_n = -3n + 8 \) Đáp án: C. \( u_n = -3n + 8 \) Câu 8. Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định công bội của cấp số nhân và sau đó tính các giá trị tương ứng. Bước 1: Xác định công bội của cấp số nhân. Công bội \( q \) của cấp số nhân được xác định bằng cách chia \( u_2 \) cho \( u_1 \): \[ q = \frac{u_2}{u_1} = \frac{-15}{5} = -3 \] Bước 2: Tính các giá trị của các số hạng tiếp theo trong cấp số nhân. - Số hạng thứ 3: \[ u_3 = u_2 \cdot q = (-15) \cdot (-3) = 45 \] - Số hạng thứ 4: \[ u_4 = u_3 \cdot q = 45 \cdot (-3) = -135 \] Bước 3: Tính tổng của 4 số hạng đầu tiên \( S_4 \). Tổng của 4 số hạng đầu tiên của một cấp số nhân được tính bằng công thức: \[ S_n = u_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1} \] Áp dụng vào bài toán: \[ S_4 = 5 \cdot \frac{(-3)^4 - 1}{-3 - 1} = 5 \cdot \frac{81 - 1}{-4} = 5 \cdot \frac{80}{-4} = 5 \cdot (-20) = -100 \] Bước 4: Kiểm tra các mệnh đề: A. \( S_4 = 130 \) (sai vì \( S_4 = -100 \)) B. \( u_2 = 256 \) (sai vì \( u_2 = -15 \)) C. \( S_1 = 305 \) (sai vì \( S_1 = u_1 = 5 \)) D. \( u_4 = 432 \) (sai vì \( u_4 = -135 \)) Như vậy, tất cả các mệnh đề đều sai. Tuy nhiên, nếu phải chọn một trong các đáp án thì không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có đáp án đúng trong các lựa chọn đã cho. Câu 9. Để chọn mệnh đề sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $\lim_{n \to -\infty} n^2 = +\infty$ (với $k \in \mathbb{Z}, k$ lẻ) - Khi $n$ tiến đến $-\infty$, $n^2$ vẫn tiến đến $+\infty$ vì bình phương của một số âm là số dương lớn dần lên. Mệnh đề này đúng. B. $\lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^2} = 0$ (với $k \in \mathbb{Z}$) - Khi $x$ tiến đến $\infty$, $\frac{1}{x^2}$ tiến đến $0$. Mệnh đề này đúng. C. $\lim_{n \to \infty} n^2 = +\infty$ (với $k \in \mathbb{Z}$) - Khi $n$ tiến đến $\infty$, $n^2$ cũng tiến đến $+\infty$. Mệnh đề này đúng. D. $\lim_{n \to \infty} q^n = 0$ (với $|q| < 1$) - Khi $n$ tiến đến $\infty$, $q^n$ tiến đến $0$ nếu $|q| < 1$. Mệnh đề này đúng. Như vậy, tất cả các mệnh đề đều đúng ngoại trừ mệnh đề A, vì nó đã bị viết sai trong câu hỏi ban đầu. Mệnh đề A đúng là $\lim_{n \to -\infty} n^2 = +\infty$. Do đó, mệnh đề sai là: A. $\lim_{n \to -\infty} n^2 = -\infty$ (với $k \in \mathbb{Z}, k$ lẻ) Đáp án: A. Câu 10. Để tìm giới hạn nào trong các giới hạn đã cho bằng $-\infty$, chúng ta sẽ xem xét từng giới hạn một. A. $\lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{2})^n$ Khi $n$ tiến đến vô cùng, $(\frac{1}{2})^n$ sẽ tiến đến 0 vì lũy thừa của một số nhỏ hơn 1 sẽ dần dần tiến về 0. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow \infty}(\frac{1}{2})^n = 0 \] B. $\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2}$ Khi $n$ tiến đến vô cùng, $\frac{1}{n^2}$ sẽ tiến đến 0 vì mẫu số $n^2$ tăng lên rất nhanh, làm cho phân số này tiến về 0. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n^2} = 0 \] C. $\lim_{n\rightarrow \infty}n^3$ Khi $n$ tiến đến vô cùng, $n^3$ cũng sẽ tiến đến vô cùng. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow \infty}n^3 = +\infty \] D. $\lim_{n\rightarrow \infty}(-n^2)$ Khi $n$ tiến đến vô cùng, $-n^2$ sẽ tiến đến âm vô cùng vì $n^2$ là một số dương lớn và nhân với -1 sẽ cho kết quả âm vô cùng. Do đó: \[ \lim_{n\rightarrow \infty}(-n^2) = -\infty \] Từ các phân tích trên, ta thấy rằng giới hạn duy nhất bằng $-\infty$ là: \[ \lim_{n\rightarrow \infty}(-n^2) = -\infty \] Vậy đáp án đúng là: D. $\lim_{n\rightarrow \infty}(-n^2)$. Câu 11. Để xác định hàm số nào liên tục trên $\mathbb{R}$, chúng ta cần kiểm tra tính liên tục của mỗi hàm số tại mọi điểm thuộc $\mathbb{R}$. A. $y = \sqrt{x + 2}$: - Hàm số này chỉ xác định khi $x + 2 \geq 0$, tức là $x \geq -2$. Do đó, hàm số này không xác định trên toàn bộ $\mathbb{R}$, nên không liên tục trên $\mathbb{R}$. B. $y = \tan x$: - Hàm số này không xác định tại các điểm $x = \frac{\pi}{2} + k\pi$, với $k \in \mathbb{Z}$. Do đó, hàm số này không liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. C. $y = \frac{x^2}{x - 2}$: - Hàm số này không xác định tại điểm $x = 2$ vì mẫu số bằng 0. Do đó, hàm số này không liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. D. $y = x^2 - 3x + 2$: - Đây là một đa thức bậc hai, và tất cả các đa thức đều liên tục trên toàn bộ $\mathbb{R}$. Vậy hàm số liên tục trên $\mathbb{R}$ là: D. $y = x^2 - 3x + 2$. Câu 12. Để xác định mệnh đề sai, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. Qua ba điểm phân biệt không thẳng hàng xác định duy nhất một mặt phẳng. - Đây là một mệnh đề đúng. Ba điểm phân biệt không thẳng hàng luôn xác định duy nhất một mặt phẳng. B. Qua một đường thẳng và một điểm xác định duy nhất một mặt phẳng. - Đây là một mệnh đề sai. Để xác định duy nhất một mặt phẳng qua một đường thẳng và một điểm, điểm đó phải không nằm trên đường thẳng đó. Nếu điểm nằm trên đường thẳng, thì có vô số mặt phẳng đi qua cả đường thẳng và điểm đó. C. Qua hai đường thẳng song song xác định duy nhất một mặt phẳng. - Đây là một mệnh đề đúng. Hai đường thẳng song song luôn xác định duy nhất một mặt phẳng. D. Qua hai đường thẳng cắt nhau xác định duy nhất một mặt phẳng. - Đây là một mệnh đề đúng. Hai đường thẳng cắt nhau luôn xác định duy nhất một mặt phẳng. Vậy mệnh đề sai là: B. Qua một đường thẳng và một điểm xác định duy nhất một mặt phẳng. Đáp án: B. Câu 13. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định xem khẳng định nào là sai. A. Hình chóp S.ABCD có 4 mặt bên. - Hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang ABCD, do đó nó có 4 đỉnh đáy (A, B, C, D) và 1 đỉnh chóp (S). Vì vậy, hình chóp này có 4 mặt bên (SAB, SBC, SCD, SDA). Khẳng định này là đúng. B. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) là SO (O là giao điểm của AC và BD). - Mặt phẳng (SAC) bao gồm các điểm S, A, C và mặt phẳng (SBD) bao gồm các điểm S, B, D. Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua đỉnh chóp S và giao điểm O của AC và BD. Khẳng định này là đúng. C. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là SI (I là giao điểm của AD và BC). - Mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A, D và mặt phẳng (SBC) bao gồm các điểm S, B, C. Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua đỉnh chóp S và giao điểm I của AD và BC. Khẳng định này là đúng. D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD. - Mặt phẳng (SAB) bao gồm các điểm S, A, B và mặt phẳng (SAD) bao gồm các điểm S, A, D. Giao tuyến của hai mặt phẳng này là đường thẳng đi qua đỉnh chóp S và đỉnh A của đáy. Đường trung bình của ABCD là đường thẳng nối giữa trung điểm của AB và trung điểm của CD, không liên quan đến giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD). Khẳng định này là sai. Vậy khẳng định sai là: D. Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) là đường trung bình của ABCD. Câu 14. Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt a và b có thể có ba vị trí tương đối sau: 1. Hai đường thẳng chéo nhau: Hai đường thẳng không nằm trên cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. 2. Hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng và không cắt nhau. 3. Hai đường thẳng cắt nhau: Hai đường thẳng nằm trên cùng một mặt phẳng và có một điểm chung. Do đó, có 3 vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b trong không gian. Đáp án đúng là: B. 3. Câu 15. Để xác định đường thẳng \(d\) song song với mặt phẳng \((P)\), ta cần kiểm tra các trường hợp sau: - Nếu \(d\) và \((P)\) có vô số điểm chung, thì \(d\) nằm trong mặt phẳng \((P)\). Điều này không thỏa mãn định nghĩa của đường thẳng song song với mặt phẳng. - Nếu \(d\) và \((P)\) chéo nhau, thì chúng không song song với nhau. - Nếu \(d\) và \((P)\) không có điểm chung, thì \(d\) song song với \((P)\). - Nếu \(d\) và \((P)\) có 1 điểm chung, thì chúng không song song với nhau. Do đó, đáp án đúng là: C. \(d\) và \((P)\) không có điểm chung. Câu 16. Trước tiên, ta cần hiểu rằng trong hình chóp S.ABCD với đáy là hình bình hành ABCD, các điểm G và K lần lượt là trọng tâm của tam giác SAD và SBC. Trọng tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường trung tuyến của tam giác đó. Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề: A. \( GK // (SCD) \) - Ta thấy rằng G nằm trên đường thẳng SA và K nằm trên đường thẳng SB. Vì vậy, GK sẽ song song với SC nếu G và K cùng nằm trên các đường thẳng song song với SC. Tuy nhiên, do G và K nằm ở hai tam giác khác nhau, không thể chắc chắn rằng GK sẽ song song với SC. Do đó, mệnh đề này có thể sai. B. \( GK // (SAC) \) - G nằm trên đường thẳng SA và K nằm trên đường thẳng SB. Nếu ta xét mặt phẳng (SAC), ta thấy rằng G nằm trên SA và K nằm trên SB, nhưng không chắc chắn rằng GK sẽ song song với AC. Do đó, mệnh đề này cũng có thể sai. C. \( GK // (SAB) \) - G nằm trên đường thẳng SA và K nằm trên đường thẳng SB. Mặt phẳng (SAB) bao gồm các điểm S, A và B. Vì G nằm trên SA và K nằm trên SB, GK sẽ song song với AB. Do đó, mệnh đề này đúng. D. \( GK // (ABCD) \) - G nằm trên đường thẳng SA và K nằm trên đường thẳng SB. Mặt phẳng (ABCD) bao gồm các điểm A, B, C và D. Vì G nằm trên SA và K nằm trên SB, GK sẽ song song với đáy ABCD. Do đó, mệnh đề này đúng. Từ các phân tích trên, ta thấy rằng mệnh đề A và B có thể sai, còn C và D là đúng. Tuy nhiên, để chắc chắn hơn, ta cần kiểm tra kỹ lưỡng hơn về mối quan hệ giữa các đường thẳng và mặt phẳng. Cuối cùng, ta kết luận rằng mệnh đề sai là: A. \( GK // (SCD) \) Vậy đáp án là: A. \( GK // (SCD) \) Câu 1. Để giải quyết các mệnh đề về giới hạn và tính liên tục của hàm số \( g(x) \) tại điểm \( x = 2 \), chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một cách chi tiết. Hàm số \( g(x) \) được định nghĩa như sau: \[ g(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{khi } x < 2 \\ \sqrt{x + 7} & \text{khi } x \geq 2 \end{cases} \] Mệnh đề A: \(\lim_{x \to 2} g(x) = 8\) Ta cần kiểm tra giới hạn từ bên trái và bên phải của \( x = 2 \). 1. Giới hạn từ bên trái (\( x \to 2^- \)): \[ \lim_{x \to 2^-} g(x) = \lim_{x \to 2^-} (x^2 - 1) = 2^2 - 1 = 4 - 1 = 3 \] 2. Giới hạn từ bên phải (\( x \to 2^+ \)): \[ \lim_{x \to 2^+} g(x) = \lim_{x \to 2^+} \sqrt{x + 7} = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3 \] Vì cả hai giới hạn đều bằng 3, nên: \[ \lim_{x \to 2} g(x) = 3 \] Mệnh đề A sai vì \(\lim_{x \to 2} g(x) = 3\) chứ không phải 8. Mệnh đề B: \(\lim_{x \to 2} g(x) = 1\) Từ kết quả trên, ta thấy: \[ \lim_{x \to 2} g(x) = 3 \] Mệnh đề B sai vì \(\lim_{x \to 2} g(x) = 3\) chứ không phải 1. Mệnh đề C: \(\lim_{x \to 2} g(x)\) không tồn tại Từ kết quả trên, ta thấy: \[ \lim_{x \to 2} g(x) = 3 \] Mệnh đề C sai vì giới hạn tồn tại và bằng 3. Mệnh đề D: Hàm số liên tục tại \( x = 2 \) Để hàm số liên tục tại \( x = 2 \), điều kiện là: \[ \lim_{x \to 2} g(x) = g(2) \] Ta đã biết: \[ \lim_{x \to 2} g(x) = 3 \] Giá trị của hàm số tại \( x = 2 \): \[ g(2) = \sqrt{2 + 7} = \sqrt{9} = 3 \] Vì \(\lim_{x \to 2} g(x) = g(2) = 3\), nên hàm số liên tục tại \( x = 2 \). Mệnh đề D đúng. Kết luận Các mệnh đề đúng hay sai: - A: Sai - B: Sai - C: Sai - D: Đúng Đáp án: D. Câu 2. a) Ta có \( O = AC \cap BD \). Do đó, \( O \) thuộc cả hai đường thẳng \( AC \) và \( BD \). Mặt khác, \( S \) cũng thuộc cả hai mặt phẳng \( (SAC) \) và \( (SBD) \). Vậy \( SO \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \( (SAC) \) và \( (SBD) \). b) Ta cần tìm giao điểm của đường thẳng \( AM \) và mặt phẳng \( (SBD) \). Vì \( M \) thuộc \( SC \) và \( O \) thuộc \( SO \), do đó giao điểm của \( AM \) và \( (SBD) \) sẽ nằm trên \( SO \). c) Ta cần tìm giao tuyến của hai mặt phẳng \( (AMN) \) và \( (SCD) \). Vì \( K = AN \cap CD \), do đó \( K \) thuộc cả hai đường thẳng \( AN \) và \( CD \). Mặt khác, \( M \) thuộc cả hai mặt phẳng \( (AMN) \) và \( (SCD) \). Vậy \( KM \) là giao tuyến của hai mặt phẳng \( (AMN) \) và \( (SCD) \). d) Ta cần tìm giao điểm của đường thẳng \( SD \) và mặt phẳng \( (AMN) \). Vì \( D \) thuộc \( CD \) và \( K \) thuộc \( CD \), do đó giao điểm của \( SD \) và \( (AMN) \) sẽ nằm trên \( KM \). Đáp án đúng là: a) Đúng b) Đúng c) Đúng d) Đúng