Giup mik vs

Câu 1: a) $\lim_{x\rightarrow5}\frac{\sqrt{x+11}-4}{5-\sqrt{x+20}}$ Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của mẫu: $\lim_{x\rightarrow5}\frac{(\sqrt{x+11}-4)(5+\sqrt{x+20})}{(5-\sqrt{x+20})(5+\sqrt{x+20})}$ $=\lim_{x\rightarrow5}\frac{(\sqrt{x+11}-4)(5+\sqrt{x+20})}{25-(x+20)}$ $=\lim_{x\rightarrow5}\frac{(\sqrt{x+11}-4)(5+\sqrt{x+20})}{5-x}$ Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp của tử: $=\lim_{x\rightarrow5}\frac{((\sqrt{x+11}-4)(5+\sqrt{x+20}))(\sqrt{x+11}+4)}{(5-x)(\sqrt{x+11}+4)}$ $=\lim_{x\rightarrow5}\frac{(x+11-16)(5+\sqrt{x+20})}{(5-x)(\sqrt{x+11}+4)}$ $=\lim_{x\rightarrow5}\frac{(x-5)(5+\sqrt{x+20})}{(5-x)(\sqrt{x+11}+4)}$ $=\lim_{x\rightarrow5}\frac{-(5-x)(5+\sqrt{x+20})}{(5-x)(\sqrt{x+11}+4)}$ $=\lim_{x\rightarrow5}\frac{-(5+\sqrt{x+20})}{(\sqrt{x+11}+4)}$ $=\frac{-(5+\sqrt{5+20})}{(\sqrt{5+11}+4)}$ $=\frac{-(5+5)}{(\sqrt{16}+4)}$ $=\frac{-10}{8}$ $=-\frac{5}{4}$ b) $\lim_{x\rightarrow-2}\frac{2x^3+3x-2}{x^3+8}$ Thay $x = -2$ vào tử và mẫu: $\lim_{x\rightarrow-2}\frac{2(-2)^3+3(-2)-2}{(-2)^3+8}$ $=\frac{2(-8)+3(-2)-2}{-8+8}$ $=\frac{-16-6-2}{0}$ $=\frac{-24}{0}$ $= \text{không xác định}$ c) $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{2-5x}{\sqrt{4x^2+7}}$ Chia cả tử và mẫu cho $|x|$: $\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{2}{|x|}-\frac{5x}{|x|}}{\frac{\sqrt{4x^2+7}}{|x|}}$ $=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{2}{|x|}-5}{\sqrt{\frac{4x^2+7}{x^2}}}$ $=\lim_{x\rightarrow-\infty}\frac{\frac{2}{|x|}-5}{\sqrt{4+\frac{7}{x^2}}}$ $=\frac{0-5}{\sqrt{4+0}}$ $=\frac{-5}{2}$ $=-\frac{5}{2}$ d) $\lim_{x\rightarrow+\infty}(x-\sqrt{4x^2+7x+2})$ Nhân với biểu thức liên hợp: $\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{(x-\sqrt{4x^2+7x+2})(x+\sqrt{4x^2+7x+2})}{x+\sqrt{4x^2+7x+2}}$ $=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{x^2-(4x^2+7x+2)}{x+\sqrt{4x^2+7x+2}}$ $=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-3x^2-7x-2}{x+\sqrt{4x^2+7x+2}}$ Chia cả tử và mẫu cho $x$: $=\lim_{x\rightarrow+\infty}\frac{-3x-7-\frac{2}{x}}{1+\sqrt{4+\frac{7}{x}+\frac{2}{x^2}}}$ $=\frac{-3x-7-0}{1+\sqrt{4+0+0}}$ $=\frac{-3x-7}{1+2}$ $=\frac{-3x-7}{3}$ $=-x-\frac{7}{3}$ $=-\infty$ e) $\lim_{x\rightarrow(-1)^+}\frac{-2}{x+1}$ Khi $x$ tiến đến $-1$ từ bên phải, $x + 1$ tiến đến $0$ từ bên phải, do đó: $\lim_{x\rightarrow(-1)^+}\frac{-2}{x+1} = -\infty$ f) $\lim_{x\rightarrow\frac{1}{2}^+}\frac{x}{2x-1}$ Khi $x$ tiến đến $\frac{1}{2}$ từ bên phải, $2x - 1$ tiến đến $0$ từ bên phải, do đó: $\lim_{x\rightarrow\frac{1}{2}^+}\frac{x}{2x-1} = +\infty$ Câu 2: Để tính các giới hạn của hàm số \( f(x) \) tại điểm \( x = 1 \), chúng ta sẽ xét từng trường hợp riêng biệt dựa trên định nghĩa của hàm số. 1. Giới hạn từ bên phải (\( x \to 1^+ \)): - Khi \( x \to 1^+ \), tức là \( x \) tiến đến 1 từ phía lớn hơn 1, ta sử dụng phần định nghĩa của hàm số khi \( x \geq 1 \): \[ f(x) = x^2 - 2x \] - Do đó: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 2x) \] - Thay \( x = 1 \) vào biểu thức: \[ \lim_{x \to 1^+} (x^2 - 2x) = 1^2 - 2 \cdot 1 = 1 - 2 = -1 \] 2. Giới hạn từ bên trái (\( x \to 1^- \)): - Khi \( x \to 1^- \), tức là \( x \) tiến đến 1 từ phía nhỏ hơn 1, ta sử dụng phần định nghĩa của hàm số khi \( x < 1 \): \[ f(x) = \frac{x + 1}{x - 2} \] - Do đó: \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = \lim_{x \to 1^-} \frac{x + 1}{x - 2} \] - Thay \( x = 1 \) vào biểu thức: \[ \lim_{x \to 1^-} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{1 + 1}{1 - 2} = \frac{2}{-1} = -2 \] 3. Giới hạn hai bên (\( x \to 1 \)): - Để hàm số \( f(x) \) có giới hạn tại \( x = 1 \), thì giới hạn từ bên phải và giới hạn từ bên trái phải bằng nhau. - Ta đã tính được: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1 \] \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -2 \] - Vì \(\lim_{x \to 1^+} f(x) \neq \lim_{x \to 1^-} f(x)\), nên hàm số \( f(x) \) không có giới hạn tại \( x = 1 \). Kết luận: \[ \lim_{x \to 1^+} f(x) = -1 \] \[ \lim_{x \to 1^-} f(x) = -2 \] \[ \lim_{x \to 1} f(x) \text{ không tồn tại} \] Câu 3: a) Ta có: $AD=3AM$ nên $MD=2AM$. Lấy điểm P trên cạnh CD sao cho $DP=2CP$. Khi đó ta có $\frac{AM}{MD}=\frac{CP}{PD}$ nên $MP//AC$. Mặt khác $AC\subset (SCD)$ nên $MP\subset (SCD)$. Ta có $SB\cap (SCD)=S$, $AB\cap (SCD)=A$. Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng $(SAB)$ và $(SCD)$ là đường thẳng đi qua S và song song với MP. b) Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác SAB nên $AG=\frac{2}{3}AS$. Từ đó ta có $\frac{AG}{AS}=\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$. Do đó $GM//SD$. Mặt khác $SD\subset (SCD)$ nên $GM\subset (SCD)$. Vậy $GM//SCD$. Ta có: $N$ là trọng tâm của tam giác ABC nên $AN=\frac{2}{3}AC$. Từ đó ta có $\frac{AN}{AC}=\frac{AP}{AD}=\frac{2}{3}$. Do đó $NP//CD$. Mặt khác $CD\subset (SCD)$ nên $NP\subset (SCD)$. Vậy $NP//SCD$. Ta có: $GM\cap NP=N$ nên $(GMN)//(SCD)$. Vậy $NG//SCD$. Ta có: $N$ là trọng tâm của tam giác ABC nên $BN=\frac{2}{3}BC$. Từ đó ta có $\frac{BN}{BC}=\frac{BP}{BD}=\frac{2}{3}$. Do đó $PN//CD$. Mặt khác $CD\subset (SAC)$ nên $PN\subset (SAC)$. Vậy $PN//SAC$. Ta có: $G$ là trọng tâm của tam giác SAB nên $BG=\frac{2}{3}BS$. Từ đó ta có $\frac{BG}{BS}=\frac{BN}{BA}=\frac{2}{3}$. Do đó $GN//SA$. Mặt khác $SA\subset (SAC)$ nên $GN\subset (SAC)$. Vậy $GN//SAC$. Ta có: $PN\cap GN=N$ nên $(PNG)//(SAC)$. Vậy $NG//SAC$. Câu 4: a) Ta có \(ABCD\) và \(ABEF\) là hai hình bình hành nên \(AD \parallel BC\) và \(AF \parallel BE\). Do đó, mặt phẳng \((AFD)\) song song với mặt phẳng \((BEC)\). b) Vì \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABE\), ta có \(AM = \frac{2}{3}AE\). Mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và song song với mặt phẳng \((AFD)\). Do đó, đường thẳng \(MN\) song song với \(AF\). Trong tam giác \(AFC\), ta có: - \(MN \parallel AF\) - \(M\) là trung điểm của \(AE\) Theo định lý Thales, ta có: \[ \frac{AN}{NC} = \frac{AM}{ME} \] Vì \(M\) là trọng tâm của tam giác \(ABE\), ta có \(AM = \frac{2}{3}AE\) và \(ME = \frac{1}{3}AE\). Do đó: \[ \frac{AM}{ME} = \frac{\frac{2}{3}AE}{\frac{1}{3}AE} = 2 \] Vậy: \[ \frac{AN}{NC} = 2 \] Đáp số: \(\frac{AN}{NC} = 2\).