Kakakskkskskskskdkdkdkd

Câu 1: Để chuyển đổi số đo của cung tròn từ radian sang độ, ta sử dụng công thức: \[ \text{Số đo bằng độ} = \text{Số đo bằng radian} \times \frac{180^\circ}{\pi} \] Áp dụng vào bài toán này, ta có: \[ \text{Số đo bằng độ} = \frac{5\pi}{3} \times \frac{180^\circ}{\pi} \] Rút gọn biểu thức: \[ \text{Số đo bằng độ} = \frac{5 \times 180^\circ}{3} = \frac{900^\circ}{3} = 300^\circ \] Vậy số đo bằng độ của cung tròn đó là \(300^\circ\). Đáp án đúng là: A. \(300^\circ\). Câu 2: Để tính giá trị của $\sin(a + b)$, ta sử dụng công thức: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] Trước tiên, ta cần tìm giá trị của $\sin a$ và $\sin b$. Ta biết rằng: \[ \cos^2 a + \sin^2 a = 1 \] \[ \cos^2 b + \sin^2 b = 1 \] Từ đó, ta có: \[ \sin^2 a = 1 - \cos^2 a = 1 - \left(\frac{5}{13}\right)^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169} \] \[ \sin a = \sqrt{\frac{144}{169}} = \frac{12}{13} \] \[ \sin^2 b = 1 - \cos^2 b = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25} \] \[ \sin b = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5} \] Bây giờ, ta thay các giá trị đã tìm được vào công thức $\sin(a + b)$: \[ \sin(a + b) = \sin a \cos b + \cos a \sin b \] \[ \sin(a + b) = \left(\frac{12}{13}\right) \left(\frac{3}{5}\right) + \left(\frac{5}{13}\right) \left(\frac{4}{5}\right) \] \[ \sin(a + b) = \frac{36}{65} + \frac{20}{65} \] \[ \sin(a + b) = \frac{56}{65} \] Vậy giá trị của $\sin(a + b)$ là $\frac{56}{65}$. Đáp án đúng là: B. $\frac{56}{65}$. Câu 3: Để tìm tập xác định của hàm số \( y = \tan(2x - \frac{\pi}{3}) \), ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu tang không thuộc các giá trị làm cho tang không xác định. Biểu thức tang không xác định khi nó bằng \(\frac{\pi}{2} + k\pi\) với \(k \in \mathbb{Z}\). Bước 1: Xác định điều kiện để biểu thức trong dấu tang không xác định: \[ 2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] Bước 2: Giải phương trình trên để tìm \(x\): \[ 2x - \frac{\pi}{3} \neq \frac{\pi}{2} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{3\pi + 2\pi}{6} + k\pi \] \[ 2x \neq \frac{5\pi}{6} + k\pi \] \[ x \neq \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2} \] Bước 3: Kết luận tập xác định của hàm số: \[ D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \) Đáp án: C. \( D = \mathbb{R} \setminus \left\{ \frac{5\pi}{12} + \frac{k\pi}{2}, k \in \mathbb{Z} \right\} \) Câu 4: Để giải phương trình $\tan(2x + 30^\circ) = \cot(3x - 40^\circ)$ trong khoảng $(0^\circ; 180^\circ)$, ta thực hiện các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - $\tan(2x + 30^\circ)$ xác định khi $2x + 30^\circ \neq 90^\circ + k \cdot 180^\circ$, với $k$ là số nguyên. - $\cot(3x - 40^\circ)$ xác định khi $3x - 40^\circ \neq k \cdot 180^\circ$, với $k$ là số nguyên. 2. Chuyển đổi phương trình: - Ta biết rằng $\cot(\theta) = \tan(90^\circ - \theta)$. Do đó, phương trình trở thành: \[ \tan(2x + 30^\circ) = \tan(90^\circ - (3x - 40^\circ)) \] - Điều này dẫn đến: \[ \tan(2x + 30^\circ) = \tan(130^\circ - 3x) \] 3. Giải phương trình lượng giác: - Nếu $\tan(A) = \tan(B)$ thì $A = B + k \cdot 180^\circ$, với $k$ là số nguyên. - Áp dụng vào phương trình của chúng ta: \[ 2x + 30^\circ = 130^\circ - 3x + k \cdot 180^\circ \] - Gộp các hạng tử liên quan đến $x$ về một vế: \[ 2x + 3x = 130^\circ - 30^\circ + k \cdot 180^\circ \] \[ 5x = 100^\circ + k \cdot 180^\circ \] - Giải ra $x$: \[ x = \frac{100^\circ + k \cdot 180^\circ}{5} \] \[ x = 20^\circ + k \cdot 36^\circ \] 4. Xác định các giá trị của $k$ để $x$ nằm trong khoảng $(0^\circ; 180^\circ)$: - Ta cần tìm các giá trị của $k$ sao cho $0^\circ < 20^\circ + k \cdot 36^\circ < 180^\circ$. - Xét các trường hợp: - Khi $k = 0$: $x = 20^\circ$ - Khi $k = 1$: $x = 56^\circ$ - Khi $k = 2$: $x = 92^\circ$ - Khi $k = 3$: $x = 128^\circ$ - Khi $k = 4$: $x = 164^\circ$ 5. Kiểm tra điều kiện xác định: - Các giá trị $x = 20^\circ, 56^\circ, 92^\circ, 128^\circ, 164^\circ$ đều thỏa mãn điều kiện xác định ban đầu. Do đó, phương trình $\tan(2x + 30^\circ) = \cot(3x - 40^\circ)$ có 5 nghiệm trong khoảng $(0^\circ; 180^\circ)$. Đáp án: D. 5. Câu 5: Để tìm số hạng thứ mấy của dãy số $(u_n)$ mà bằng $\frac{8}{15}$, ta làm như sau: Bước 1: Xác định công thức của số hạng tổng quát của dãy số: \[ u_n = \frac{n + 1}{2n + 1} \] Bước 2: Gọi số hạng cần tìm là $u_k$, ta có: \[ u_k = \frac{k + 1}{2k + 1} \] Bước 3: Đặt $u_k$ bằng $\frac{8}{15}$: \[ \frac{k + 1}{2k + 1} = \frac{8}{15} \] Bước 4: Giải phương trình này để tìm $k$: \[ \frac{k + 1}{2k + 1} = \frac{8}{15} \] Nhân cả hai vế với $(2k + 1)$ và $15$: \[ 15(k + 1) = 8(2k + 1) \] Mở ngoặc: \[ 15k + 15 = 16k + 8 \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến $k$ sang một vế và các hằng số sang vế còn lại: \[ 15 - 8 = 16k - 15k \] \[ 7 = k \] Vậy, số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ 7 của dãy số. Đáp án đúng là: C. 7. Câu 6: Để viết ba số hạng xen giữa các số 2 và 22 để được một cấp số cộng có năm số hạng, ta làm như sau: Bước 1: Xác định số hạng đầu tiên và số hạng cuối cùng của cấp số cộng. - Số hạng đầu tiên là \( a_1 = 2 \). - Số hạng cuối cùng là \( a_5 = 22 \). Bước 2: Áp dụng công thức tính số hạng thứ n của cấp số cộng: \[ a_n = a_1 + (n-1)d \] Trong đó, \( d \) là khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Áp dụng cho số hạng thứ 5: \[ a_5 = a_1 + 4d \] \[ 22 = 2 + 4d \] Bước 3: Giải phương trình để tìm khoảng cách \( d \): \[ 22 = 2 + 4d \] \[ 22 - 2 = 4d \] \[ 20 = 4d \] \[ d = \frac{20}{4} \] \[ d = 5 \] Bước 4: Tính các số hạng còn lại trong cấp số cộng: - Số hạng thứ 2: \( a_2 = a_1 + d = 2 + 5 = 7 \) - Số hạng thứ 3: \( a_3 = a_2 + d = 7 + 5 = 12 \) - Số hạng thứ 4: \( a_4 = a_3 + d = 12 + 5 = 17 \) Vậy ba số hạng xen giữa 2 và 22 để tạo thành một cấp số cộng có năm số hạng là 7, 12 và 17. Đáp án đúng là: D. 7;12;17. Câu 7: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định xem chúng có đúng hay không. (I) $\lim_{n \to +\infty} n^k = +\infty$ với $k$ nguyên dương. - Đây là khẳng định đúng vì khi $n$ tiến đến vô cùng, $n^k$ cũng tiến đến vô cùng với mọi $k$ nguyên dương. (II) $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ nếu $|q| < 1$. - Đây là khẳng định sai vì nếu $|q| < 1$, thì $q^n$ sẽ tiến đến 0 khi $n$ tiến đến vô cùng, không phải là $+\infty$. (III) $\lim_{n \to +\infty} q^n = +\infty$ nếu $q > 1$. - Đây là khẳng định đúng vì nếu $q > 1$, thì $q^n$ sẽ tiến đến $+\infty$ khi $n$ tiến đến vô cùng. Tóm lại: - Khẳng định (I) đúng. - Khẳng định (II) sai. - Khẳng định (III) đúng. Vậy có 2 khẳng định đúng. Đáp án: C. 2. Câu 8: Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra tính liên tục của hàm số \( f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - x} \). Bước 1: Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ) của hàm số: \[ x^2 - x \neq 0 \] \[ x(x - 1) \neq 0 \] \[ x \neq 0 \text{ và } x \neq 1 \] Do đó, hàm số \( f(x) \) xác định trên các khoảng \( (-\infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, +\infty) \). Bước 2: Kiểm tra tính liên tục của hàm số trên các khoảng đã xác định: - Trên mỗi khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, +\infty) \), hàm số \( f(x) \) là phân thức đại số và liên tục vì mẫu số không bằng 0 trong các khoảng này. Bước 3: Kết luận: Hàm số \( f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - x} \) liên tục trên các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, +\infty) \). Tuy nhiên, hàm số không liên tục tại điểm \( x = 0 \) và \( x = 1 \) vì tại những điểm này, mẫu số bằng 0. Vậy, kết luận đúng là: Hàm số \( f(x) = \frac{2x - 1}{x^2 - x} \) liên tục trên các khoảng \( (-\infty, 0) \), \( (0, 1) \), và \( (1, +\infty) \).