(˼●̙̂ ̟ ̟̎ ̟ ̘●̂˻)/╲/\( •̀ ω •́ )/\╱\

Câu 1. a) Rút gọn biểu thức \( A \): \[ A = x(1 - x^2) + (x + 1)^2 + 2(x + 1)(x - 3) + (x - 3)^2 + (x - 1)^3 \] Ta sẽ lần lượt tính từng phần của biểu thức: \[ x(1 - x^2) = x - x^3 \] \[ (x + 1)^2 = x^2 + 2x + 1 \] \[ 2(x + 1)(x - 3) = 2(x^2 - 3x + x - 3) = 2(x^2 - 2x - 3) = 2x^2 - 4x - 6 \] \[ (x - 3)^2 = x^2 - 6x + 9 \] \[ (x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \] Bây giờ, ta cộng tất cả các phần lại: \[ A = (x - x^3) + (x^2 + 2x + 1) + (2x^2 - 4x - 6) + (x^2 - 6x + 9) + (x^3 - 3x^2 + 3x - 1) \] Gộp các hạng tử giống nhau: \[ A = x - x^3 + x^2 + 2x + 1 + 2x^2 - 4x - 6 + x^2 - 6x + 9 + x^3 - 3x^2 + 3x - 1 \] \[ A = (-x^3 + x^3) + (x^2 + 2x^2 + x^2 - 3x^2) + (x + 2x - 4x - 6x + 3x) + (1 - 6 + 9 - 1) \] \[ A = 0 + 0 + (-4x) + 3 \] \[ A = -4x + 3 \] Vậy biểu thức rút gọn của \( A \) là: \[ A = -4x + 3 \] b) Tính \( A \) khi \( x = -1 \): \[ A = -4(-1) + 3 = 4 + 3 = 7 \] c) Tìm giá trị nhỏ nhất của \( A \): Biểu thức \( A = -4x + 3 \) là một biểu thức tuyến tính, nghĩa là nó sẽ giảm dần khi \( x \) tăng lên. Do đó, giá trị nhỏ nhất của \( A \) không bị giới hạn bởi \( x \) có thể là bất kỳ giá trị nào trên trục số thực. Vì vậy, biểu thức này không có giá trị nhỏ nhất cụ thể. Tóm lại: a) \( A = -4x + 3 \) b) \( A = 7 \) khi \( x = -1 \) c) Biểu thức \( A \) không có giá trị nhỏ nhất. Câu 2. a) \(4x^3 + 6x^2\) Ta thấy cả hai hạng tử đều có \(2x^2\) làm thừa số chung. Do đó, ta có thể phân tích như sau: \[4x^3 + 6x^2 = 2x^2(2x + 3)\] b) \(3(x - y) - 5x(y - x)\) Ta nhận thấy rằng \(y - x = -(x - y)\). Do đó, ta có thể viết lại biểu thức như sau: \[3(x - y) - 5x(y - x) = 3(x - y) + 5x(x - y) = (x - y)(3 + 5x)\] c) \((x - 2y)^2 - 4(x + y)^2\) Biểu thức này có dạng hiệu hai bình phương. Ta có thể viết lại như sau: \[(x - 2y)^2 - 4(x + y)^2 = (x - 2y)^2 - [2(x + y)]^2 = (x - 2y)^2 - (2x + 2y)^2\] Áp dụng công thức hiệu hai bình phương \(a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)\): \[(x - 2y)^2 - (2x + 2y)^2 = [(x - 2y) - (2x + 2y)][(x - 2y) + (2x + 2y)] = (-x - 4y)(3x)\] d) \(x^4 - 9x^3 - x^2 + 9x\) Ta nhóm các hạng tử để dễ dàng phân tích: \[x^4 - 9x^3 - x^2 + 9x = x^3(x - 9) - x(x - 9) = (x^3 - x)(x - 9) = x(x^2 - 1)(x - 9) = x(x - 1)(x + 1)(x - 9)\] e) \(x^2y + x^2 - 4y - 4\) Ta nhóm các hạng tử để dễ dàng phân tích: \[x^2y + x^2 - 4y - 4 = x^2(y + 1) - 4(y + 1) = (x^2 - 4)(y + 1) = (x - 2)(x + 2)(y + 1)\] f) \(x^2 - 4xy + 4y^2 + xz - 2yz\) Ta nhận thấy rằng \(x^2 - 4xy + 4y^2\) là một bình phương hoàn chỉnh: \[x^2 - 4xy + 4y^2 + xz - 2yz = (x - 2y)^2 + z(x - 2y) = (x - 2y)(x - 2y + z)\] Đáp số: a) \(2x^2(2x + 3)\) b) \((x - y)(3 + 5x)\) c) \((-x - 4y)(3x)\) d) \(x(x - 1)(x + 1)(x - 9)\) e) \((x - 2)(x + 2)(y + 1)\) f) \((x - 2y)(x - 2y + z)\) Câu 3. a) \( x(x+1) = x+1 \) Phương pháp giải: - Chuyển tất cả các hạng tử về một vế để tạo thành phương trình bằng 0. - Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0. Bước 1: Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x(x+1) - (x+1) = 0 \] Bước 2: Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0: \[ (x+1)(x-1) = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x+1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x-1 = 0 \] \[ x = -1 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -1 \) hoặc \( x = 1 \). b) \( (x+2)^2 - 9 = 0 \) Phương pháp giải: - Viết phương trình dưới dạng hiệu hai bình phương. - Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0. Bước 1: Viết phương trình dưới dạng hiệu hai bình phương: \[ (x+2)^2 - 3^2 = 0 \] Bước 2: Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0: \[ [(x+2) - 3][(x+2) + 3] = 0 \] \[ (x-1)(x+5) = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x-1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x+5 = 0 \] \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -5 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( x = -5 \). c) \( x^3 + 27 + (x+3)(x-9) = 0 \) Phương pháp giải: - Nhóm các hạng tử để dễ dàng phân tích. - Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0. Bước 1: Nhóm các hạng tử: \[ x^3 + 27 + (x+3)(x-9) = 0 \] \[ (x+3)(x^2 - 3x + 9) + (x+3)(x-9) = 0 \] Bước 2: Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0: \[ (x+3)[(x^2 - 3x + 9) + (x-9)] = 0 \] \[ (x+3)(x^2 - 2x) = 0 \] \[ x(x+3)(x-2) = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x+3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x-2 = 0 \] \[ x = 0 \quad \text{hoặc} \quad x = -3 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 0 \), \( x = -3 \) hoặc \( x = 2 \). d) \( x^2 + 2x - 8 = 0 \) Phương pháp giải: - Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0. Bước 1: Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0: \[ x^2 + 2x - 8 = 0 \] \[ (x+4)(x-2) = 0 \] Bước 2: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x+4 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x-2 = 0 \] \[ x = -4 \quad \text{hoặc} \quad x = 2 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -4 \) hoặc \( x = 2 \). e) \( x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 \) Phương pháp giải: - Nhóm các hạng tử để dễ dàng phân tích. - Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0. Bước 1: Nhóm các hạng tử: \[ x^3 + 2x^2 - x - 2 = 0 \] \[ x^2(x+2) - (x+2) = 0 \] Bước 2: Phân tích phương trình thành tích của các thừa số bằng 0: \[ (x+2)(x^2 - 1) = 0 \] \[ (x+2)(x-1)(x+1) = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ x+2 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x-1 = 0 \quad \text{hoặc} \quad x+1 = 0 \] \[ x = -2 \quad \text{hoặc} \quad x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = -2 \), \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \). f) \( x^4 + 2x^2 - 3 = 0 \) Phương pháp giải: - Đặt \( y = x^2 \) để chuyển đổi phương trình thành phương trình bậc hai. - Giải phương trình bậc hai để tìm \( y \). - Tìm \( x \) từ \( y \). Bước 1: Đặt \( y = x^2 \): \[ y^2 + 2y - 3 = 0 \] Bước 2: Giải phương trình bậc hai: \[ y^2 + 2y - 3 = 0 \] \[ (y+3)(y-1) = 0 \] Bước 3: Tìm nghiệm của phương trình: \[ y+3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad y-1 = 0 \] \[ y = -3 \quad \text{hoặc} \quad y = 1 \] Bước 4: Tìm \( x \) từ \( y \): - Nếu \( y = -3 \), thì \( x^2 = -3 \) (không có nghiệm thực). - Nếu \( y = 1 \), thì \( x^2 = 1 \) \[ x = 1 \quad \text{hoặc} \quad x = -1 \] Vậy nghiệm của phương trình là \( x = 1 \) hoặc \( x = -1 \).