Cách giải chi tiết

Câu 2. Để giải phương trình $\sqrt{x^2-4x-5}=\sqrt{2x^2+3x+1}$, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với căn thức $\sqrt{x^2-4x-5}$, ta có: \[ x^2 - 4x - 5 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ x^2 - 4x - 5 = (x - 5)(x + 1) \geq 0 \] Ta có các khoảng nghiệm: \[ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 5 \] - Đối với căn thức $\sqrt{2x^2+3x+1}$, ta có: \[ 2x^2 + 3x + 1 \geq 0 \] Giải bất phương trình này: \[ 2x^2 + 3x + 1 = (2x + 1)(x + 1) \geq 0 \] Ta có các khoảng nghiệm: \[ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq -\frac{1}{2} \] Kết hợp cả hai điều kiện, ta có: \[ x \leq -1 \quad \text{hoặc} \quad x \geq 5 \] 2. Bình phương hai vế của phương trình: \[ (\sqrt{x^2-4x-5})^2 = (\sqrt{2x^2+3x+1})^2 \] Điều này dẫn đến: \[ x^2 - 4x - 5 = 2x^2 + 3x + 1 \] Chuyển tất cả các hạng tử về một vế: \[ x^2 - 4x - 5 - 2x^2 - 3x - 1 = 0 \] Rút gọn: \[ -x^2 - 7x - 6 = 0 \] Nhân cả hai vế với -1: \[ x^2 + 7x + 6 = 0 \] 3. Giải phương trình bậc hai: \[ x^2 + 7x + 6 = 0 \] Tìm nghiệm của phương trình này bằng công thức nghiệm: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] Với \(a = 1\), \(b = 7\), \(c = 6\): \[ x = \frac{-7 \pm \sqrt{49 - 24}}{2} = \frac{-7 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{-7 \pm 5}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x_1 = \frac{-7 + 5}{2} = -1 \] \[ x_2 = \frac{-7 - 5}{2} = -6 \] 4. Kiểm tra điều kiện xác định: - \(x = -1\) thỏa mãn điều kiện \(x \leq -1\). - \(x = -6\) cũng thỏa mãn điều kiện \(x \leq -1\). 5. Kiểm tra lại các nghiệm trong phương trình ban đầu: - Thay \(x = -1\) vào phương trình ban đầu: \[ \sqrt{(-1)^2 - 4(-1) - 5} = \sqrt{2(-1)^2 + 3(-1) + 1} \] \[ \sqrt{1 + 4 - 5} = \sqrt{2 - 3 + 1} \] \[ \sqrt{0} = \sqrt{0} \] Đúng. - Thay \(x = -6\) vào phương trình ban đầu: \[ \sqrt{(-6)^2 - 4(-6) - 5} = \sqrt{2(-6)^2 + 3(-6) + 1} \] \[ \sqrt{36 + 24 - 5} = \sqrt{72 - 18 + 1} \] \[ \sqrt{55} = \sqrt{55} \] Đúng. Vậy phương trình có hai nghiệm là \(x = -1\) và \(x = -6\). Tổng các nghiệm của phương trình là: \[ -1 + (-6) = -7 \] Do đó, đáp án đúng là: \[ \boxed{-7} \] Câu 3. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng Định lý Cosin và Định lý Sin. Bước 1: Tính cạnh \( a \) bằng Định lý Cosin Theo Định lý Cosin: \[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos A \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ a^2 = 7^2 + 5^2 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot \cos(120^\circ) \] \[ a^2 = 49 + 25 - 2 \cdot 7 \cdot 5 \cdot (-0.5) \] \[ a^2 = 49 + 25 + 35 \] \[ a^2 = 109 \] \[ a = \sqrt{109} \] Vậy \( a = \sqrt{109} \) cm. Bước 2: Tính \( \cos C \) bằng Định lý Sin Theo Định lý Sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \] Tính \( \sin A \): \[ \sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2} \] Thay các giá trị vào: \[ \frac{\sqrt{109}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{5}{\sin C} \] \[ \frac{2\sqrt{109}}{\sqrt{3}} = \frac{5}{\sin C} \] \[ \sin C = \frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{109}} \] Bây giờ, tính \( \cos C \) bằng công thức: \[ \cos^2 C = 1 - \sin^2 C \] \[ \cos^2 C = 1 - \left(\frac{5 \sqrt{3}}{2 \sqrt{109}}\right)^2 \] \[ \cos^2 C = 1 - \frac{75}{4 \cdot 109} \] \[ \cos^2 C = 1 - \frac{75}{436} \] \[ \cos^2 C = \frac{436 - 75}{436} \] \[ \cos^2 C = \frac{361}{436} \] \[ \cos C = \sqrt{\frac{361}{436}} \approx 0.9 \] Bước 3: Tính \( \cos B \) bằng Định lý Sin Theo Định lý Sin: \[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} \] Thay các giá trị vào: \[ \frac{\sqrt{109}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{7}{\sin B} \] \[ \frac{2\sqrt{109}}{\sqrt{3}} = \frac{7}{\sin B} \] \[ \sin B = \frac{7 \sqrt{3}}{2 \sqrt{109}} \] Bây giờ, tính \( \cos B \) bằng công thức: \[ \cos^2 B = 1 - \sin^2 B \] \[ \cos^2 B = 1 - \left(\frac{7 \sqrt{3}}{2 \sqrt{109}}\right)^2 \] \[ \cos^2 B = 1 - \frac{147}{4 \cdot 109} \] \[ \cos^2 B = 1 - \frac{147}{436} \] \[ \cos^2 B = \frac{436 - 147}{436} \] \[ \cos^2 B = \frac{289}{436} \] \[ \cos B = \sqrt{\frac{289}{436}} \approx 0.21 \] Bước 4: Tính bán kính ngoại tiếp \( R \) Theo Định lý Sin: \[ \frac{a}{\sin A} = 2R \] Thay các giá trị vào: \[ \frac{\sqrt{109}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 2R \] \[ \frac{2\sqrt{109}}{\sqrt{3}} = 2R \] \[ R = \frac{\sqrt{109}}{\sqrt{3}} \approx 6.03 \text{ cm} \] Kết luận - \( a = \sqrt{109} \) cm - \( \cos C \approx 0.9 \) - \( \cos B \approx 0.21 \) - \( R \approx 6.03 \) cm Vậy đáp án đúng là: a) \( a = \sqrt{109} \) cm b) \( \cos C = 0.9 \) c) \( \cos B = 0.21 \) d) \( R = 6.03 \) cm Câu 4. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ tính từng biểu thức theo thứ tự và kiểm tra các đáp án đã cho. Trước tiên, ta biết rằng: - \( |a| = 3 \) - \( |b| = 4 \) - Góc giữa \( a \) và \( b \) là \( 150^\circ \) Công thức tính tích vô hướng của hai vectơ \( a \) và \( b \) là: \[ a \cdot b = |a| \cdot |b| \cdot \cos(\theta) \] Trong đó, \( \theta \) là góc giữa hai vectơ. Ta có: \[ \cos(150^\circ) = -\frac{\sqrt{3}}{2} \] Do đó: \[ a \cdot b = 3 \cdot 4 \cdot \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) = -6\sqrt{3} \] Bây giờ, ta sẽ kiểm tra từng biểu thức: a) \( a \cdot b = -6\sqrt{3} \) Đúng, vì ta đã tính ở trên. b) \( (a \cdot b) \cdot (a - b) \) Ta cần tính \( a - b \): \[ |a - b|^2 = |a|^2 + |b|^2 - 2 \cdot a \cdot b \] \[ |a - b|^2 = 3^2 + 4^2 - 2 \cdot (-6\sqrt{3}) \] \[ |a - b|^2 = 9 + 16 + 12\sqrt{3} \] \[ |a - b|^2 = 25 + 12\sqrt{3} \] Tuy nhiên, để tính \( (a \cdot b) \cdot (a - b) \), ta cần biết \( a - b \). Ta sẽ không tính trực tiếp mà chỉ kiểm tra các biểu thức khác. c) \( (a + b) \cdot (a - 2b) \) \[ (a + b) \cdot (a - 2b) = a \cdot a - 2a \cdot b + b \cdot a - 2b \cdot b \] \[ = |a|^2 - 2(a \cdot b) + (a \cdot b) - 2|b|^2 \] \[ = 3^2 - 2(-6\sqrt{3}) + (-6\sqrt{3}) - 2 \cdot 4^2 \] \[ = 9 + 12\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 32 \] \[ = 9 + 6\sqrt{3} - 32 \] \[ = -23 + 6\sqrt{3} \] d) \( (3a + b) \cdot (a - 2b) \) \[ (3a + b) \cdot (a - 2b) = 3a \cdot a - 6a \cdot b + b \cdot a - 2b \cdot b \] \[ = 3|a|^2 - 6(a \cdot b) + (a \cdot b) - 2|b|^2 \] \[ = 3 \cdot 3^2 - 6(-6\sqrt{3}) + (-6\sqrt{3}) - 2 \cdot 4^2 \] \[ = 27 + 36\sqrt{3} - 6\sqrt{3} - 32 \] \[ = 27 + 30\sqrt{3} - 32 \] \[ = -5 + 30\sqrt{3} \] Vậy, các đáp án đúng là: a) \( a \cdot b = -6\sqrt{3} \) d) \( (3a + b) \cdot (a - 2b) = -5 + 30\sqrt{3} \) Đáp án: a) và d) Câu 1. Trước tiên, chúng ta cần hiểu rằng trong tam giác ABC vuông cân tại đỉnh A, góc BAC và góc ABC đều bằng 45°. Khi treo vật nặng 10 N ở điểm C, lực này sẽ tạo ra hai lực tác động vào điểm A và B, gọi là \( F_1 \) và \( F_2 \). Do tam giác ABC là tam giác vuông cân, nên hai lực \( F_1 \) và \( F_2 \) sẽ có cùng độ lớn và hướng về điểm C. Ta có thể sử dụng định lý Pythagoras để tính toán. 1. Tìm độ lớn của \( F_1 \) và \( F_2 \): - Vì tam giác ABC là tam giác vuông cân, nên \( F_1 \) và \( F_2 \) sẽ tạo thành một tam giác vuông cân với lực 10 N ở đỉnh C. - Độ lớn của mỗi lực \( F_1 \) và \( F_2 \) sẽ bằng nhau và bằng \( \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \) N. 2. Tính \( \sqrt{2} |F_1| |F_2| \): - \( |F_1| = 5\sqrt{2} \) N - \( |F_2| = 5\sqrt{2} \) N - \( \sqrt{2} |F_1| |F_2| = \sqrt{2} \times 5\sqrt{2} \times 5\sqrt{2} = \sqrt{2} \times 50 = 50 \) Vậy, \( \sqrt{2} |F_1| |F_2| = 50 \).