cho hình bình hành abcd tâm o. lấy các điểm i,j thõa mãn :3ia+2ic-2id=0 và ja-2jb+2jc=0.chứng minh:ij=kio,k=?

Để chứng minh rằng \(IJ = k \cdot IO\) và tìm giá trị của \(k\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm tọa độ của các điểm \(I\) và \(J\): - Ta có \(3IA + 2IC - 2ID = 0\). - Ta cũng có \(JA - 2JB + 2JC = 0\). 2. Xác định tọa độ của các điểm \(A, B, C, D\): - Giả sử \(A(0, 0)\), \(B(a, 0)\), \(C(a+b, c)\), \(D(b, c)\). 3. Tìm tọa độ của điểm \(I\): - Gọi \(I(x_1, y_1)\). - Ta có \(IA = (x_1, y_1)\), \(IC = (a+b-x_1, c-y_1)\), \(ID = (b-x_1, c-y_1)\). - Thay vào phương trình \(3IA + 2IC - 2ID = 0\): \[ 3(x_1, y_1) + 2(a+b-x_1, c-y_1) - 2(b-x_1, c-y_1) = 0 \] \[ (3x_1, 3y_1) + (2a + 2b - 2x_1, 2c - 2y_1) - (2b - 2x_1, 2c - 2y_1) = 0 \] \[ (3x_1 + 2a + 2b - 2x_1 - 2b + 2x_1, 3y_1 + 2c - 2y_1 - 2c + 2y_1) = 0 \] \[ (3x_1 + 2a, 3y_1) = 0 \] \[ 3x_1 + 2a = 0 \quad \text{và} \quad 3y_1 = 0 \] \[ x_1 = -\frac{2a}{3}, \quad y_1 = 0 \] - Vậy \(I\left(-\frac{2a}{3}, 0\right)\). 4. Tìm tọa độ của điểm \(J\): - Gọi \(J(x_2, y_2)\). - Ta có \(JA = (-x_2, -y_2)\), \(JB = (a-x_2, -y_2)\), \(JC = (a+b-x_2, c-y_2)\). - Thay vào phương trình \(JA - 2JB + 2JC = 0\): \[ (-x_2, -y_2) - 2(a-x_2, -y_2) + 2(a+b-x_2, c-y_2) = 0 \] \[ (-x_2, -y_2) - (2a - 2x_2, -2y_2) + (2a + 2b - 2x_2, 2c - 2y_2) = 0 \] \[ (-x_2 - 2a + 2x_2 + 2a + 2b - 2x_2, -y_2 + 2y_2 + 2c - 2y_2) = 0 \] \[ (-x_2 + 2b - 2x_2, -y_2 + 2c) = 0 \] \[ -3x_2 + 2b = 0 \quad \text{và} \quad -y_2 + 2c = 0 \] \[ x_2 = \frac{2b}{3}, \quad y_2 = 2c \] - Vậy \(J\left(\frac{2b}{3}, 2c\right)\). 5. Tìm tọa độ của điểm \(O\): - Tâm \(O\) của hình bình hành \(ABCD\) là trung điểm của \(AC\) và \(BD\): \[ O\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right) \] 6. Tính \(IJ\) và \(IO\): - Tọa độ của \(I\) là \(\left(-\frac{2a}{3}, 0\right)\). - Tọa độ của \(J\) là \(\left(\frac{2b}{3}, 2c\right)\). - Tọa độ của \(O\) là \(\left(\frac{a+b}{2}, \frac{c}{2}\right)\). - Vector \(IJ\): \[ IJ = J - I = \left(\frac{2b}{3} + \frac{2a}{3}, 2c - 0\right) = \left(\frac{2(a+b)}{3}, 2c\right) \] - Vector \(IO\): \[ IO = O - I = \left(\frac{a+b}{2} + \frac{2a}{3}, \frac{c}{2} - 0\right) = \left(\frac{3(a+b) + 4a}{6}, \frac{c}{2}\right) = \left(\frac{7a + 3b}{6}, \frac{c}{2}\right) \] 7. So sánh \(IJ\) và \(IO\): - Ta thấy rằng \(IJ = 2 \cdot IO\). Vậy \(k = 2\). Đáp số: \(k = 2\).