Giải giúp mink vs ạ

Câu 3: a) Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD nên MN // AD. Mà AD // BC nên MN // BC. Mặt khác, MN không nằm trong mặt phẳng (SBC) nên MN // (SBC). b) Ta có OM là đường trung bình của tam giác SAB nên OM // SB. Mặt khác, OM không nằm trong mặt phẳng (SBC) nên OM // (SBC). Từ a) ta đã chứng minh MN // (SBC). Vậy (OMN) // (SBC). c) Ta có E là trung điểm của AB nên E thuộc đường thẳng OE. Mặt khác, F thuộc ON nên F thuộc đường thẳng OF. Ta có OE và OF cùng thuộc mặt phẳng (ABCD) nên EF cũng thuộc mặt phẳng (ABCD). Mặt khác, từ b) ta có (OMN) // (SBC) nên EF không thể cắt (SBC). d) Ta có G thuộc (ABCD) và cách đều AB và CD nên G thuộc đường thẳng OF. Mặt khác, N thuộc SD nên N thuộc đường thẳng ON. Ta có OF và ON cùng thuộc mặt phẳng (ABCD) nên GN cũng thuộc mặt phẳng (ABCD). Mặt khác, từ b) ta có (OMN) // (SBC) nên GN không thể cắt (SAB). Câu 4: a) Giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song AB. - Sai vì giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng đi qua S và song song với CD (vì AB // CD). b) MN song song DC. - Đúng vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN // AB. Mà AB // CD nên MN // DC. c) MD song song CN. - Sai vì MD và CN không song song. MD nằm trong mặt phẳng (SAD) và CN nằm trong mặt phẳng (SBC), hai mặt phẳng này cắt nhau theo đường thẳng SD, do đó MD và CN không song song. d) Gọi P là giao điểm của mặt phẳng (OMN) và đường thẳng AD. Khi đó $\frac{AP}{AD}=\frac{1}{2}$. - Đúng vì M và N lần lượt là trung điểm của SA và SB nên MN // AB và MN = $\frac{1}{2}$ AB. Mặt phẳng (OMN) chia hình chóp S.ABCD thành hai phần bằng nhau, do đó P sẽ là trung điểm của AD, suy ra $\frac{AP}{AD}=\frac{1}{2}$. Câu 1: Để tính giá trị của biểu thức \( B = \frac{\tan\alpha + 3\cot\alpha}{\tan\alpha + \cot\alpha} \) khi biết \(\cos\alpha = \frac{3}{4}\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(\sin\alpha\) - Ta biết rằng \(\sin^2\alpha + \cos^2\alpha = 1\). - Thay \(\cos\alpha = \frac{3}{4}\) vào: \[ \sin^2\alpha + \left(\frac{3}{4}\right)^2 = 1 \] \[ \sin^2\alpha + \frac{9}{16} = 1 \] \[ \sin^2\alpha = 1 - \frac{9}{16} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{16}{16} - \frac{9}{16} \] \[ \sin^2\alpha = \frac{7}{16} \] \[ \sin\alpha = \pm \sqrt{\frac{7}{16}} = \pm \frac{\sqrt{7}}{4} \] 2. Tìm giá trị của \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\) - \(\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}\) - \(\cot\alpha = \frac{\cos\alpha}{\sin\alpha}\) Ta xét hai trường hợp: - Nếu \(\sin\alpha = \frac{\sqrt{7}}{4}\): \[ \tan\alpha = \frac{\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = \frac{\sqrt{7}}{3} \] \[ \cot\alpha = \frac{\frac{3}{4}}{\frac{\sqrt{7}}{4}} = \frac{3}{\sqrt{7}} \] - Nếu \(\sin\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{4}\): \[ \tan\alpha = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{4}}{\frac{3}{4}} = -\frac{\sqrt{7}}{3} \] \[ \cot\alpha = \frac{\frac{3}{4}}{-\frac{\sqrt{7}}{4}} = -\frac{3}{\sqrt{7}} \] 3. Thay giá trị của \(\tan\alpha\) và \(\cot\alpha\) vào biểu thức \(B\) - Với \(\tan\alpha = \frac{\sqrt{7}}{3}\) và \(\cot\alpha = \frac{3}{\sqrt{7}}\): \[ B = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot \frac{3}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{3}{\sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{9}{\sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7}}{3} + \frac{3}{\sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 9 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{7}}}{\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 3 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{\frac{7 + 27}{3 \sqrt{7}}}{\frac{7 + 9}{3 \sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{\frac{34}{3 \sqrt{7}}}{\frac{16}{3 \sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{34}{16} = \frac{17}{8} = 2.125 \] - Với \(\tan\alpha = -\frac{\sqrt{7}}{3}\) và \(\cot\alpha = -\frac{3}{\sqrt{7}}\): \[ B = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{3} + 3 \cdot -\frac{3}{\sqrt{7}}}{-\frac{\sqrt{7}}{3} + -\frac{3}{\sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{-\frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{9}{\sqrt{7}}}{-\frac{\sqrt{7}}{3} - \frac{3}{\sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{-\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 9 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{7}}}{-\frac{\sqrt{7} \cdot \sqrt{7} + 3 \cdot 3}{3 \cdot \sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{-\frac{7 + 27}{3 \sqrt{7}}}{-\frac{7 + 9}{3 \sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{-\frac{34}{3 \sqrt{7}}}{-\frac{16}{3 \sqrt{7}}} \] \[ B = \frac{34}{16} = \frac{17}{8} = 2.125 \] Vậy giá trị của biểu thức \( B \) là \( 2.13 \) (làm tròn đến chữ số thập phân thứ 2). Câu 2: Để giải phương trình $2 + 7 + 12 + ... + x = 245$, ta cần nhận biết rằng dãy số đã cho là dãy số cách đều với khoảng cách là 5. Ta có: - Số hạng đầu tiên là 2. - Số hạng thứ hai là 7. - Số hạng thứ ba là 12. - ... Nhận thấy rằng mỗi số hạng trong dãy số này có thể được viết dưới dạng công thức tổng quát: $a_n = 2 + (n-1) \times 5 = 5n - 3$. Bây giờ, ta cần tìm số hạng cuối cùng $x$ sao cho tổng của dãy số từ 2 đến $x$ bằng 245. Ta có tổng của dãy số cách đều được tính bằng công thức: \[ S_n = \frac{n}{2} \times (a_1 + a_n) \] Trong đó: - $S_n$ là tổng của dãy số. - $n$ là số lượng số hạng trong dãy số. - $a_1$ là số hạng đầu tiên. - $a_n$ là số hạng cuối cùng. Áp dụng vào bài toán: \[ 245 = \frac{n}{2} \times (2 + x) \] Biết rằng $x = 5n - 3$, thay vào ta có: \[ 245 = \frac{n}{2} \times (2 + 5n - 3) \] \[ 245 = \frac{n}{2} \times (5n - 1) \] \[ 490 = n \times (5n - 1) \] \[ 490 = 5n^2 - n \] \[ 5n^2 - n - 490 = 0 \] Giải phương trình bậc hai này: \[ n = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \times 5 \times (-490)}}{2 \times 5} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 9800}}{10} \] \[ n = \frac{1 \pm \sqrt{9801}}{10} \] \[ n = \frac{1 \pm 99}{10} \] Ta có hai nghiệm: \[ n = \frac{1 + 99}{10} = 10 \] \[ n = \frac{1 - 99}{10} = -9,8 \] (loại vì số lượng số hạng không thể âm) Vậy $n = 10$. Thay lại để tìm $x$: \[ x = 5 \times 10 - 3 = 47 \] Vậy số hạng cuối cùng $x$ là 47. Đáp số: $x = 47$. Câu 3: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các thông số của hình chóp S.ABCD. 2. Tìm diện tích đáy ABCD. 3. Xác định vị trí của điểm I trên SO. 4. Tính diện tích thiết diện qua mặt phẳng (R). Bước 1: Xác định các thông số của hình chóp S.ABCD - Đáy ABCD là hình thang cân với đáy lớn AB = 11 và đáy nhỏ CD = 7. - Cạnh bên BC = $\sqrt{5}$. Bước 2: Tìm diện tích đáy ABCD Hình thang cân ABCD có đáy lớn AB = 11 và đáy nhỏ CD = 7. Ta cần tìm chiều cao h của hình thang này. Ta chia hình thang thành hai tam giác cân ở hai đầu và một hình chữ nhật ở giữa: - Chiều dài của mỗi phần tam giác là $\frac{11 - 7}{2} = 2$. - Chiều cao h của tam giác này có thể tính bằng công thức Pythagoras trong tam giác vuông: \[ h = \sqrt{(\sqrt{5})^2 - 2^2} = \sqrt{5 - 4} = 1 \] Diện tích đáy ABCD: \[ S_{ABCD} = \frac{(AB + CD) \times h}{2} = \frac{(11 + 7) \times 1}{2} = 9 \] Bước 3: Xác định vị trí của điểm I trên SO Theo đề bài, 2SO = 5SI, tức là SI = $\frac{2}{5}$SO. Bước 4: Tính diện tích thiết diện qua mặt phẳng (R) Mặt phẳng (R) song song với đáy (ABCD) và cắt SO tại I, do đó thiết diện qua (R) cũng là hình thang cân và tỷ lệ với đáy ABCD theo tỷ lệ $\frac{SI}{SO} = \frac{2}{5}$. Diện tích thiết diện qua (R): \[ S_{thiết\ diện} = \left( \frac{SI}{SO} \right)^2 \times S_{ABCD} = \left( \frac{2}{5} \right)^2 \times 9 = \frac{4}{25} \times 9 = \frac{36}{25} = 1.44 \] Vậy diện tích thiết diện sau khi cắt thành sản phẩm hoàn chỉnh là 1.44. Câu 4: Trước tiên, ta cần hiểu rằng khi các tia nắng song song chiếu xuống, chúng tạo ra các hình bóng tương tự với các vật thể ban đầu. Điều này có nghĩa là các tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong hình ban đầu sẽ giống hệt tỷ lệ giữa các đoạn thẳng tương ứng trong hình bóng. Trọng tâm \( G \) của tam giác \( ABC \) chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, trong đó phần từ đỉnh đến trọng tâm gấp đôi phần từ trọng tâm đến cạnh đối diện. Do đó, nếu ta gọi \( M \) là trung điểm của \( BC \), thì \( AG : GM = 2 : 1 \). Khi chiếu bóng, các tia nắng song song tạo ra các hình bóng tương tự, do đó tỷ lệ giữa các đoạn thẳng trong hình ban đầu sẽ giống hệt tỷ lệ giữa các đoạn thẳng tương ứng trong hình bóng. Vì vậy, \( B'G' : G'M' = 2 : 1 \). Bây giờ, ta cần tìm tỷ lệ \( B'G' : B'D' \). Ta biết rằng \( B'D' = B'M' + M'D' \). Vì \( M' \) là trung điểm của \( B'C' \), nên \( B'M' = M'C' \). Do đó, \( B'D' = 2 \times B'M' \). Vì \( B'G' : G'M' = 2 : 1 \), ta có \( B'G' = 2 \times G'M' \). Suy ra: \[ B'G' = 2 \times \frac{1}{3} B'M' = \frac{2}{3} B'M'. \] Do đó: \[ B'G' = \frac{2}{3} \times \frac{1}{2} B'D' = \frac{1}{3} B'D'. \] Vậy \( B'G' = \frac{1}{3} B'D' \), suy ra \( a = 3 \). Đáp số: \( a = 3 \). Câu 5: Để tính giới hạn $\lim_{\alpha \rightarrow 0^+} S(\alpha)$, chúng ta sẽ làm như sau: 1. Xác định các đại lượng liên quan: - Bể bơi có dạng hình tròn với đường kính $AB = 10$ m. - Người xuất phát từ điểm $A$, bơi theo dây cung $AC$ tạo với đường kính $AB$ một góc $\alpha$. - Sau đó, người đó chạy bộ theo cung nhỏ $CB$ đến điểm $B$. - Gọi $S(\alpha)$ là tổng quãng đường người đó đã di chuyển. 2. Tính độ dài dây cung $AC$: - Độ dài dây cung $AC$ trong một hình tròn có thể được tính bằng công thức: \[ AC = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \] Trong đó, $R$ là bán kính của hình tròn, ở đây $R = \frac{10}{2} = 5$ m. \[ AC = 2 \times 5 \times \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = 10 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \] 3. Tính độ dài cung $CB$: - Độ dài cung $CB$ trong một hình tròn có thể được tính bằng công thức: \[ CB = R \theta \] Trong đó, $\theta$ là góc tâm tương ứng với cung $CB$. Vì tổng góc tâm của hình tròn là $2\pi$, nên góc tâm của cung $CB$ là: \[ \theta = \pi - \alpha \] Do đó: \[ CB = 5 (\pi - \alpha) \] 4. Tổng quãng đường $S(\alpha)$: - Tổng quãng đường người đó đã di chuyển là: \[ S(\alpha) = AC + CB = 10 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 5 (\pi - \alpha) \] 5. Tính giới hạn $\lim_{\alpha \rightarrow 0^+} S(\alpha)$: - Ta có: \[ \lim_{\alpha \rightarrow 0^+} S(\alpha) = \lim_{\alpha \rightarrow 0^+} \left[ 10 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) + 5 (\pi - \alpha) \right] \] - Khi $\alpha \rightarrow 0^+$, ta có: \[ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \rightarrow 0 \quad \text{và} \quad \pi - \alpha \rightarrow \pi \] - Do đó: \[ \lim_{\alpha \rightarrow 0^+} S(\alpha) = 10 \cdot 0 + 5 \cdot \pi = 5\pi \] Vậy, giới hạn $\lim_{\alpha \rightarrow 0^+} S(\alpha)$ là $5\pi$ m. Câu 6: Để hàm số \( T(t) \) là hàm số liên tục trên tập xác định, ta cần đảm bảo rằng tại điểm \( t = 70 \), giá trị của hai mảnh của hàm số phải bằng nhau. Ta có: \[ T(t) = \begin{cases} 20 + 4t & \text{khi } 0 \leq t \leq 70 \\ a - 2t & \text{khi } 70 < t \leq 120 \end{cases} \] Tại điểm \( t = 70 \): - Giá trị của mảnh đầu tiên là: \[ T(70) = 20 + 4 \times 70 = 20 + 280 = 300 \] - Giá trị của mảnh thứ hai cũng phải bằng 300 tại điểm này: \[ a - 2 \times 70 = 300 \] \[ a - 140 = 300 \] \[ a = 300 + 140 \] \[ a = 440 \] Vậy giá trị của \( a \) để \( T(t) \) là hàm số liên tục trên tập xác định là \( a = 440 \). Đáp số: \( a = 440 \).