giúp tôi với

Bài 1. 1.1 Rút gọn biểu thức: a) \( A = \sqrt{75} - \sqrt{12} - \sqrt{27} \) Ta thực hiện rút gọn từng căn bậc hai: \[ \sqrt{75} = \sqrt{25 \times 3} = 5\sqrt{3} \] \[ \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \] \[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \] Do đó: \[ A = 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} = (5 - 2 - 3)\sqrt{3} = 0 \] b) \( B = \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} + \sqrt{4(2 + \sqrt{3})^2} - \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \) Ta thực hiện rút gọn từng phần: \[ \sqrt{(\sqrt{3} - 2)^2} = |\sqrt{3} - 2| = 2 - \sqrt{3} \] (vì \( \sqrt{3} < 2 \)) \[ \sqrt{4(2 + \sqrt{3})^2} = 2|2 + \sqrt{3}| = 2(2 + \sqrt{3}) = 4 + 2\sqrt{3} \] \[ \frac{1}{2 - \sqrt{3}} = \frac{1}{2 - \sqrt{3}} \cdot \frac{2 + \sqrt{3}}{2 + \sqrt{3}} = \frac{2 + \sqrt{3}}{(2 - \sqrt{3})(2 + \sqrt{3})} = \frac{2 + \sqrt{3}}{4 - 3} = 2 + \sqrt{3} \] Do đó: \[ B = (2 - \sqrt{3}) + (4 + 2\sqrt{3}) - (2 + \sqrt{3}) = 2 - \sqrt{3} + 4 + 2\sqrt{3} - 2 - \sqrt{3} = 4 \] 1.2 Giải phương trình \((x - 3)(2x + 5) = 0\) Phương trình này có dạng tích bằng 0, do đó ta có: \[ x - 3 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 2x + 5 = 0 \] Giải từng phương trình: \[ x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3 \] \[ 2x + 5 = 0 \Rightarrow 2x = -5 \Rightarrow x = -\frac{5}{2} \] Vậy nghiệm của phương trình là: \[ x = 3 \quad \text{hoặc} \quad x = -\frac{5}{2} \] 1.3 Giải bất phương trình \( 3x - 12 - 2x > 25 + 10x \) Rút gọn và nhóm các hạng tử: \[ 3x - 2x - 12 > 25 + 10x \] \[ x - 12 > 25 + 10x \] Di chuyển các hạng tử liên quan đến \( x \) sang một vế: \[ x - 10x > 25 + 12 \] \[ -9x > 37 \] Chia cả hai vế cho -9 (nhớ đổi dấu): \[ x < -\frac{37}{9} \] Vậy nghiệm của bất phương trình là: \[ x < -\frac{37}{9} \] Bài 2. Điều kiện xác định: \( a > 0 \) và \( a \neq 1 \). a) Rút gọn biểu thức \( C \): \[ C = \left( \frac{1}{a + \sqrt{a}} - \frac{1}{\sqrt{a} + 1} \right) : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2\sqrt{a} + 1} \] Chúng ta sẽ thực hiện từng bước một: Bước 1: Rút gọn từng phân thức trong ngoặc đơn. \[ \frac{1}{a + \sqrt{a}} = \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} \] \[ \frac{1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{1}{\sqrt{a} + 1} \] Bước 2: Tìm mẫu chung và trừ hai phân thức này. \[ \frac{1}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} - \frac{1}{\sqrt{a} + 1} = \frac{1 - \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} \] Bước 3: Chia biểu thức này cho phân thức còn lại. \[ C = \frac{1 - \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} : \frac{\sqrt{a} - 1}{a + 2\sqrt{a} + 1} \] Chúng ta biết rằng \( a + 2\sqrt{a} + 1 = (\sqrt{a} + 1)^2 \), do đó: \[ C = \frac{1 - \sqrt{a}}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)} \times \frac{(\sqrt{a} + 1)^2}{\sqrt{a} - 1} \] Bước 4: Rút gọn biểu thức. \[ C = \frac{(1 - \sqrt{a})(\sqrt{a} + 1)^2}{\sqrt{a}(\sqrt{a} + 1)(\sqrt{a} - 1)} \] \[ C = \frac{(\sqrt{a} + 1)(1 - \sqrt{a})}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] \[ C = \frac{-(\sqrt{a} - 1)(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}(\sqrt{a} - 1)} \] \[ C = \frac{-(\sqrt{a} + 1)}{\sqrt{a}} \] \[ C = -\frac{\sqrt{a} + 1}{\sqrt{a}} \] \[ C = -1 - \frac{1}{\sqrt{a}} \] b) Tính giá trị của \( C \) khi \( a = 0,25 \): \[ C = -1 - \frac{1}{\sqrt{0,25}} \] \[ C = -1 - \frac{1}{0,5} \] \[ C = -1 - 2 \] \[ C = -3 \] Đáp số: a) \( C = -1 - \frac{1}{\sqrt{a}} \) b) \( C = -3 \) khi \( a = 0,25 \) Bài 3. Gọi số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là x (sản phẩm, điều kiện: x > 0) Số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là 800 - x (sản phẩm) Số sản phẩm vượt mức của tổ I là: \[ 0,18 \times x \] Số sản phẩm vượt mức của tổ II là: \[ 0,25 \times (800 - x) \] Tổng số sản phẩm vượt mức của cả hai tổ là 165 sản phẩm, nên ta có phương trình: \[ 0,18x + 0,25(800 - x) = 165 \] Giải phương trình này: \[ 0,18x + 200 - 0,25x = 165 \] \[ -0,07x + 200 = 165 \] \[ -0,07x = 165 - 200 \] \[ -0,07x = -35 \] \[ x = \frac{-35}{-0,07} \] \[ x = 500 \] Vậy số sản phẩm theo kế hoạch của tổ I là 500 sản phẩm. Số sản phẩm theo kế hoạch của tổ II là: \[ 800 - 500 = 300 \text{ (sản phẩm)} \] Đáp số: Tổ I: 500 sản phẩm, Tổ II: 300 sản phẩm. Bài 4. Gọi số tiền ban đầu người đó gửi vào ngân hàng là \( x \) triệu đồng. Sau tháng thứ nhất, số tiền lãi người đó nhận được là: \[ 0,5\% \times x = \frac{0,5}{100} \times x = 0,005x \text{ (triệu đồng)} \] Sau tháng thứ nhất, tổng số tiền trong tài khoản của người đó là: \[ x + 0,005x = 1,005x \text{ (triệu đồng)} \] Sau tháng thứ hai, số tiền lãi người đó nhận được từ số tiền mới là: \[ 0,5\% \times 1,005x = \frac{0,5}{100} \times 1,005x = 0,005 \times 1,005x = 0,005025x \text{ (triệu đồng)} \] Theo đề bài, số tiền lãi sau tháng thứ hai không ít hơn 500 000 đồng, tức là: \[ 0,005025x \geq 0,5 \text{ (triệu đồng)} \] Giải bất phương trình này: \[ x \geq \frac{0,5}{0,005025} \] \[ x \geq 99,5025 \] Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị, ta có: \[ x \geq 100 \] Vậy, người đó phải gửi số tiền ban đầu ít nhất là 100 triệu đồng để số tiền lãi sau tháng thứ hai không ít hơn 500 000 đồng. Bài 5. 5.1 Cho tam giác ABC có đường cao $AH=6~cm;\widehat B=50^0,\widehat C=32^0.$ Tính độ dài các đoạn AB, BH, AC (làm tròn đến hàng phần mười). Để tính độ dài các đoạn AB, BH, AC, ta sẽ sử dụng các công thức lượng giác trong tam giác vuông. - Trong tam giác vuông AHB: \[ \sin(50^\circ) = \frac{AH}{AB} \implies AB = \frac{AH}{\sin(50^\circ)} = \frac{6}{\sin(50^\circ)} \] \[ \cos(50^\circ) = \frac{BH}{AB} \implies BH = AB \cdot \cos(50^\circ) \] - Trong tam giác vuông AHC: \[ \sin(32^\circ) = \frac{AH}{AC} \implies AC = \frac{AH}{\sin(32^\circ)} = \frac{6}{\sin(32^\circ)} \] Bây giờ, ta tính các giá trị cụ thể: \[ \sin(50^\circ) \approx 0.766, \quad \cos(50^\circ) \approx 0.643, \quad \sin(32^\circ) \approx 0.530 \] Do đó: \[ AB = \frac{6}{0.766} \approx 7.83 \text{ cm} \] \[ BH = 7.83 \cdot 0.643 \approx 5.04 \text{ cm} \] \[ AC = \frac{6}{0.530} \approx 11.32 \text{ cm} \] Vậy, độ dài các đoạn AB, BH, AC lần lượt là: \[ AB \approx 7.83 \text{ cm}, \quad BH \approx 5.04 \text{ cm}, \quad AC \approx 11.32 \text{ cm} \] 5.2 Một chiếc quạt giấy khi xòe ra có hình dạng của một hình quạt với bán kính 25 cm và khi xòe hết thì góc tạo bởi hai thanh nan ngoài cùng của chiếc quạt là 150°. Lấy $\pi \approx 3,14$. Tính diện tích phần giấy được dùng để làm một chiếc quạt trên biết quạt được dán bởi hai mặt giống nhau? (các mép dán coi như không đáng kể và kết quả làm tròn đến hàng phần trăm). Diện tích của một hình quạt được tính bằng công thức: \[ S_{quạt} = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2 \] Trong đó, $\theta$ là góc tâm của hình quạt, $r$ là bán kính. Áp dụng vào bài toán: \[ S_{quạt} = \frac{150^\circ}{360^\circ} \times 3,14 \times 25^2 \] \[ S_{quạt} = \frac{150}{360} \times 3,14 \times 625 \] \[ S_{quạt} = \frac{5}{12} \times 3,14 \times 625 \] \[ S_{quạt} = \frac{5 \times 3,14 \times 625}{12} \] \[ S_{quạt} = \frac{9812,5}{12} \approx 817,71 \text{ cm}^2 \] Vì quạt được dán bởi hai mặt giống nhau, nên diện tích phần giấy được dùng để làm một chiếc quạt là: \[ S_{tổng} = 2 \times S_{quạt} = 2 \times 817,71 \approx 1635,42 \text{ cm}^2 \] Vậy, diện tích phần giấy được dùng để làm một chiếc quạt là: \[ 1635,42 \text{ cm}^2 \] Bài 6. a) Ta có $\widehat{AIB} = 60^\circ$, do đó $\widehat{OIA} = \widehat{OIB} = 30^\circ$. Vì IA và IB là các tiếp tuyến từ điểm I nên IA = IB. b) Trong tam giác OIA, ta có: $\widehat{OIA} = 30^\circ$, $\widehat{OAI} = 90^\circ$ (vì IA là tiếp tuyến) Do đó $\widehat{AOI} = 60^\circ$. Tam giác OIA là tam giác vuông cân tại A, do đó: $IA = IB = R \cdot \tan(30^\circ) = R \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{R\sqrt{3}}{3}$. c) Ta cần chứng minh rằng $\widehat{MON} = 60^\circ$. - Vì IA và IB là tiếp tuyến từ điểm I nên $\widehat{OIA} = \widehat{OIB} = 30^\circ$. - Tiếp tuyến tại C cắt IA và IB lần lượt tại M và N, do đó $\widehat{MCO} = \widehat{NCO} = 90^\circ$. - Xét tam giác OMC và ONC, ta có: + OC chung. + $\widehat{MCO} = \widehat{NCO} = 90^\circ$. + $\widehat{COM} = \widehat{CON}$ (góc giữa hai tiếp tuyến từ một điểm đến đường tròn). Do đó tam giác OMC và ONC bằng nhau (cạnh huyền và một góc nhọn). - Do tam giác OMC và ONC bằng nhau nên $\widehat{OMC} = \widehat{ONC}$. - Ta có $\widehat{MON} = 180^\circ - (\widehat{OMC} + \widehat{ONC}) = 180^\circ - 2 \cdot \widehat{OMC}$. - Vì $\widehat{OMC} = \widehat{ONC}$ và $\widehat{OMC} + \widehat{ONC} = 120^\circ$ (do $\widehat{AIB} = 60^\circ$), nên $\widehat{OMC} = 60^\circ$. - Vậy $\widehat{MON} = 180^\circ - 2 \cdot 60^\circ = 60^\circ$. Đáp số: $\widehat{MON} = 60^\circ$.