Giúp mình với

Câu 18: a) Ta có: \[ 5\sqrt{48} - 2\sqrt{108} + \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}} - 2\sqrt{147} \] Trước tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{48} = \sqrt{16 \times 3} = 4\sqrt{3} \\ \sqrt{108} = \sqrt{36 \times 3} = 6\sqrt{3} \\ \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}} = \sqrt{\frac{42}{14}} = \sqrt{3} \\ \sqrt{147} = \sqrt{49 \times 3} = 7\sqrt{3} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ 5(4\sqrt{3}) - 2(6\sqrt{3}) + \sqrt{3} - 2(7\sqrt{3}) \] Rút gọn biểu thức: \[ 20\sqrt{3} - 12\sqrt{3} + \sqrt{3} - 14\sqrt{3} \] Cộng trừ các số hạng: \[ (20 - 12 + 1 - 14)\sqrt{3} = -5\sqrt{3} \] Vậy: \[ 5\sqrt{48} - 2\sqrt{108} + \frac{\sqrt{42}}{\sqrt{14}} - 2\sqrt{147} = -5\sqrt{3} \] b) Ta có: \[ \frac{\sqrt{27} - \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{3} - 1} - \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} \] Trước tiên, ta rút gọn các căn bậc hai: \[ \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \\ \sqrt{6} = \sqrt{6} \\ \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = \sqrt{(5 - 2\sqrt{3})^2} = 5 - 2\sqrt{3} \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{3} - 1} - (5 - 2\sqrt{3}) \] Ta thực hiện phép chia cho biểu thức chứa căn: \[ \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}} = \frac{(3\sqrt{3} - \sqrt{6})(3 + \sqrt{2})}{(3 - \sqrt{2})(3 + \sqrt{2})} = \frac{9\sqrt{3} + 3\sqrt{6} - 3\sqrt{6} - 2\sqrt{3}}{9 - 2} = \frac{7\sqrt{3}}{7} = \sqrt{3} \] Phép chia tiếp theo: \[ \frac{6}{\sqrt{3} - 1} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{(\sqrt{3} - 1)(\sqrt{3} + 1)} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{3 - 1} = \frac{6(\sqrt{3} + 1)}{2} = 3(\sqrt{3} + 1) \] Thay vào biểu thức ban đầu: \[ \sqrt{3} - 3(\sqrt{3} + 1) - (5 - 2\sqrt{3}) \] Rút gọn biểu thức: \[ \sqrt{3} - 3\sqrt{3} - 3 - 5 + 2\sqrt{3} = (\sqrt{3} - 3\sqrt{3} + 2\sqrt{3}) - 8 = -8 \] Vậy: \[ \frac{\sqrt{27} - \sqrt{6}}{3 - \sqrt{2}} - \frac{6}{\sqrt{3} - 1} - \sqrt{37 - 20\sqrt{3}} = -8 \] Câu 19: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Rút gọn biểu thức \( P \) Biểu thức \( P \) được cho là: \[ P = \left( \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} \] Đầu tiên, ta sẽ quy đồng hai phân số trong ngoặc: \[ \frac{1}{\sqrt{x} + 1} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{(\sqrt{x} - 1) + (\sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \] Bây giờ, ta chia biểu thức này cho \(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1}\): \[ P = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} : \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x} - 1} = \frac{2\sqrt{x}}{x - 1} \times \frac{\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x}} = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{x - 1} \] Ta nhận thấy rằng \( x - 1 = (\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1) \), do đó: \[ P = \frac{2(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} + 1)(\sqrt{x} - 1)} = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \] Vậy biểu thức rút gọn của \( P \) là: \[ P = \frac{2}{\sqrt{x} + 1} \] b) Tìm giá trị của \( x \) để \( P = \frac{1}{2} \) Ta có: \[ \frac{2}{\sqrt{x} + 1} = \frac{1}{2} \] Nhân cả hai vế với \( 2(\sqrt{x} + 1) \): \[ 4 = \sqrt{x} + 1 \] Trừ 1 từ cả hai vế: \[ \sqrt{x} = 3 \] 平方两边： \[ x = 9 \] 因此，当 \( x = 9 \) 时，\( P = \frac{1}{2} \)。 最终答案是： \[ x = 9 \] Câu 20: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các kiến thức về tam giác vuông và tỉ số lượng giác. a) Tính khoảng cách BD từ tòa nhà đến chân tháp: - Trong tam giác vuông CDB, ta có: \[ \tan(\widehat{HCB}) = \frac{CD}{BD} \] \[ \tan(25^\circ) = \frac{35}{BD} \] - Giải phương trình để tìm BD: \[ BD = \frac{35}{\tan(25^\circ)} \] \[ BD \approx \frac{35}{0.4663} \] \[ BD \approx 75.06 \text{ m} \] b) Tính chiều cao AB của tháp truyền hình: - Trong tam giác vuông CAD, ta có: \[ \tan(\widehat{ACH}) = \frac{AD}{CD} \] \[ \tan(40^\circ) = \frac{AD}{75.06} \] - Giải phương trình để tìm AD: \[ AD = 75.06 \times \tan(40^\circ) \] \[ AD \approx 75.06 \times 0.8391 \] \[ AD \approx 63.00 \text{ m} \] - Chiều cao AB của tháp truyền hình là: \[ AB = AD + CD \] \[ AB \approx 63.00 + 35 \] \[ AB \approx 98.00 \text{ m} \] Kết luận: a) Khoảng cách BD từ tòa nhà đến chân tháp là khoảng 75 m. b) Chiều cao AB của tháp truyền hình là khoảng 98 m. Câu 21: a. Ta có: $\widehat{ABO}=\widehat{ACO}=90^\circ$ (góc giữa tiếp tuyến và bán kính) Do đó, A, B, O, C cùng thuộc đường tròn đường kính AO. b. Ta có: $\widehat{BAC}=\widehat{BOC}$ (cùng chắn cung BC) $\widehat{BAC}=\widehat{BDC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BC) $\widehat{BOC}=\widehat{BDC}$ Ta có: $\widehat{OBC}=\widehat{DBC}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung OC) $\widehat{OBH}=\widehat{DBH}$ Do đó, tam giác OBH và DBH có: - $\widehat{OBH}=\widehat{DBH}$ - BH chung - $\widehat{BOH}=\widehat{BDH}=90^\circ$ Nên tam giác OBH và DBH bằng nhau (cạnh kề 2 góc vuông) Suy ra: OH = DH Mà CD = CO + OD = 2OD Nên CD = 2OH c. Ta có: $\widehat{AHE}=\widehat{ABE}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AE) $\widehat{ABE}=\widehat{ADO}$ (góc giữa tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BE) Nên $\widehat{AHE}=\widehat{ADO}$